精品解析：江苏省泰州市姜堰区城西实验学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

城西学校教育集团八年级数学第一次独立作业 一、选择题 1. 许多数学符号蕴含着对称美，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（ ） A. 点A与点D是对称点 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与点D是对称点，，，， 而不一定成立． 故选：D． 3. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点， ∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD， ∴EH∥FG，EF=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 假设AC=BD， ∵EH=AC，EF=BD， 则EF=EH， ∴平行四边形EFGH是菱形， 即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形， 故选：D． 【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键． 4. 如图，已知的对角线和相交于点O．若，，则的长可能是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，构成三角形的条件；由平行四边形的性质得，，由构成三角形的条件得，即可求解；掌握平行四边形的性质，构成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点、关于点对称，先求出点的坐标，再根据关于某点对称的点的特点，求出点的坐标． 【详解】解：∵、关于点对称， ，， ∴点的坐标为． 设点， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转对称，掌握“点关于点的对称点是”是解决本题的关键． 6. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长，交于点，交于点，连接，交于点，先根据正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，再根据矩形的判定与性质可得，由此可判断①；先根据三角形全等的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，由此可判断③；根据直角三角形的性质可得，从而可得，由此可判断②；先根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再解直角三角形可得的最小值，从而可得的最小值，由此可判断④． 【详解】解：如图，延长，交于点，交于点，连接，交于点， 四边形是正方形，， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，即结论①正确； ， ， ，即结论③正确； ， ， ， ，即，结论②正确； 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时在中，， 又， 的最小值与的最小值相等，即为，结论④错误； 综上，正确的结论为①②③，共有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 二、填空题 7. 在中，，则的度数为________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，则，则，再根据，求出，，最后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． 8. 用反证法证明：“在中，若，则”，则应先假设__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键． 根据反证法证明命题的步骤求解即可． 【详解】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论 所以先假设 故答案为：． 9. 如图，在中，，平分，交边于点E，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意得，，则有，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 10. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，使点落在边上，则旋转角为_______度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 证明为等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵绕点C顺时针旋转到，使得点恰好落在上， ∴，等于旋转角， ∴为等边三角形， ∴， 即旋转角度为． 故答案为：60． 11. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，M，N分别是，的中点．若，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线定理，根据中位线的性质得到，进而根据矩形的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴在矩形中，． 故答案为：8． 12. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是________．         【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 13. 如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是___． 【答案】2 【解析】 【分析】连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，设DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】如图所示，连接AE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD=AD=6，∠B =∠C=∠D=90° ∵G为BC的中点 ∴BG=GC=3 由折叠的性质可得AF=AB=6，BG=GF=3， 在Rt△ADE和Rt△AFE中， ∵AE=AE，AF=AD=6 ∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL） ∴DE=EF 设DE=EF=x，则EC=6-x 在Rt△CEG中，GC2+EC2=GE2，即 解得 故答案为：2． 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF，然后利用勾股定理建立方程是解题的关键． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，菱形的面积公式，关键是掌握菱形的性质．由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出的长，由菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形面积，最后再由菱形的面积求出． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，． ，， ，， ． 菱形的面积， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接于点P，连接和，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形性质及应用，全等三角形判定与性质；延长，交于，证明，可得，再证，可得为斜边上的中线，故，即得，，进而求解即可． 【详解】解：延长，交于，如图： 四边形是正方形， ，， ，是，的中点， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取中点，连接并延长，交于，则是的中位线，可得点P的运动轨迹是线段，如图，连接，，证明四边形是正方形，则，，可知的最小值为，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接并延长，交于， ∴是的中位线， ∴且 ， ∴点的运动轨迹是线段， 如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 由勾股定理得，， 故答案是：． 【点睛】本题考查了中位线，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．明确的最小值的情况是解题的关键． 三、解答题 17. 如图，在中，点E、F在上，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴； （2） 证明：∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】此题查看了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平行四边形得到，，然后证明出，进而证明； （2）由得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，四边形中，已知，，O为对角线上一点，过点O作直线与、的延长线分别相交于点E，F，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，首先证明出四边形是平行四边形，得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，为三个顶点分别是，，． （1）画出向左平移5个单位得到的； （2）画出绕点C逆时针旋转后得到的； （3）在平面上存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）设，分三种情况：当为对角线时， 当为对角线时，当为对角线时，借助中点坐标公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图即为所求； 【小问2详解】 解：如图即为所求； 【小问3详解】 解：设， 当为对角线时，则，解得，则D的坐标为：； 当为对角线时，则，解得，则D的坐标为：； 当为对角线时，则，解得，则D的坐标为：； 符合条件的点D的坐标为：或或． 【点睛】本题考查作图-平移变换，旋转变换，中点坐标公式，解题的关键是正确作出图形，牢记中点坐标公式． 20. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 【答案】（1）① （2） 证明：（添加的条件是） ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． （添加条件 ） ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为菱形． 【解析】 【分析】（1）添加合适的条件即可； （2）证，得，再由菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：添加的条件是（或）． 故答案为：①（或③）． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD=∠ADF， ∵∠AEO=∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）； （2） 解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO=DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD=90°， ∴平行四边形AODF为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可； （2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）先由矩形性质得，可以通过证明，再通过对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． （2）结合菱形性质，得，再根据勾股定理列式代入数值，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 已知 ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形 ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 设菱形的边长为， 则， 在中 即 解得 ∴菱形的周长为20． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质、菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形得到，然后由得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）如图所示，延长到H，使得，连接，证明得到，，再证明得到，再根据线段之间的关系即可证明结论． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，在中，．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．） （1）如图①，若点D在边上，求作平行四边形，使得点E、F分别在、上； （2）如图②，求作正方形，使得点D、E、F分别在、、上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作平行线的作法，过点D作的平行线交于为E，得到，然后以C为顶点，在上截取线段，使，连接，即可得到平行四边形； （2）根据角平分线的作法，作出的角平分线，交于点F，连接，作线段的垂直平分线，分别与、交于点、，根据垂直平分线的性质，得到，又因为，即可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 解：平行四边形即为所求； 【小问2详解】 解：正方形即为所求． 【点睛】本题考查了复杂作图——过直线外一点作平行线、角平分线、垂直平分线，平行四边形的判定，正方形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． 25. 【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且． 【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明． 小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F． 小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M． 【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________． 【答案】 （1）小明的方法：如图，过点C作的平行线交的延长线于点F． 则； 点是的中点， ； ， ， ，； ； 点是的中点， ； ； ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 小华的方法：如图，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M．则； 点是的中点， ； ， ； 即； 点是的中点， ； 即； ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； （2）相等且垂直时，四边形是正方形； 证明：∵点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点， ∴， ， ， 即四边形是菱形； ∵点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点， ，； ，， ； ， ， ∴四边形是正方形； （3）7 【解析】 【分析】（1）小明的方法：证明，得，；再证明四边形是平行四边形，则，，从而得结论； 小华的方法：，得；再证明四边形是平行四边形，得，从而得，，则得四边形是平行四边形，则，从而得结论； （2）相等时，则可得四边形是菱形，垂直时得四边形是矩形，从而是正方形； （3）连接并延长交的延长线于点G，证明，则，，得是中位线，则由三角形中位线定理可求得结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接并延长交的延长线于点G； ， ； 分别为的中点， ， ， ，， 即F点是的中点， ∵点E是的中点， 是中位线， ， ． 故答案为：7． 【点睛】本题是三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，构造全等三角形是本题的关键． 26. 在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： （1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）； ①双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． （2）如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”； （3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上且，是否存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②③ （2）证明见详解； （3）或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“双直四边形”的定义依次判断即可； （2）证明，得到，由余角的性质可证，可得结论； （3）根据“双直四边形”的定义分当时，当时，当时三种情况讨论，分别求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵正方形是“双直四边形”，正方形的对角线相等． 故①不正确． ∵“双直四边形”的对角线互相垂直， ∴“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半． 故②正确． 中心对称的四边形是平行四边形，再根据“双直四边形”的定义得到四边形是正方形． 故③正确； 故答案为：②③； 【小问2详解】 证明：设与交于点， 正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为“双直四边形”． 【小问3详解】 解：设如图②，设与交于点， 点，， ，， ，， ， ， ， 点， 四边形是“双直四边形”， ， ， ，即点是的中点， 点，， 点， 设直线的表达式为， ， 解得：， 直线的表示为：， 当，点的横坐标为， ， 点， 当时， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 点， 当时，如图③，过点作于点，于点， 是的垂直平分线， ， 平分， ， ， ， 设，则，， 即点坐标为， 代入， 得， 为， 综上所述，点的坐标或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城西学校教育集团八年级数学第一次独立作业 一、选择题 1. 许多数学符号蕴含着对称美，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（ ） A. 点A与点D是对称点 B. C. D. 3. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( ) A. 菱形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 矩形 D. 对角线相等的四边形 4. 如图，已知的对角线和相交于点O．若，，则的长可能是（ ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 5. 如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论： ①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 7. 在中，，则的度数为________． 8. 用反证法证明：“在中，若，则”，则应先假设__________. 9. 如图，在中，，平分，交边于点E，若，则的长为________． 10. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转到，使点落在边上，则旋转角为_______度． 11. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O，M，N分别是，的中点．若，则的长为________． 12. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是________．         13. 如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是___． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为______． 15. 如图，在正方形中，点E、点F分别是和边的中点，连接于点P，连接和，若，则的度数为________． 16. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是________． 三、解答题 17. 如图，在中，点E、F在上，，．求证： （1）； （2）． 18. 如图，四边形中，已知，，O为对角线上一点，过点O作直线与、的延长线分别相交于点E，F，求证：． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，为三个顶点分别是，，． （1）画出向左平移5个单位得到的； （2）画出绕点C逆时针旋转后得到的； （3）在平面上存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标． 20. 如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形． （1）你添加的条件是______（填序号）； （2）添加了条件后，请证明为菱形． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 22. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交、于E、F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的周长． 23. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且． （1）求的度数； （2）求证：． 24. 如图，在中，．用直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹．） （1）如图①，若点D在边上，求作平行四边形，使得点E、F分别在、上； （2）如图②，求作正方形，使得点D、E、F分别在、、上． 25. 【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且． 【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明． 小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F． 小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M． 【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________． 26. 在学习了“中心对称图形…平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题： （1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有 （把所有正确的序号都填上）； ①双直四边形”的对角线不可能相等： ②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半； ③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形． （2）如图①，正方形中，点、分别在边、上，连接，，，，若，证明：四边形为“双直四边形”； （3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点，，点在线段上且，是否存在点在第一象限，使得四边形为“双直四边形”，若存在；求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $