精品解析：江苏省泰州市2025届高三下学期适应性调研测试（1.5模）数学试题

江苏省泰州市2025届高三下学期适应性调研测试（1.5模）数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 3. 若展开式中的常数项为60，则常数a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 我国数学名著《九章算术》第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何?”意思是：现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈，则它的体积单位：立方丈是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 函数的定义域为R，其图象是一条不间断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 不一定存在零点 C. 4是的一个周期 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 8. 一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（ ） A. 第二次摸出红球的概率为 B. 第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C. 第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D. 第三次摸出黄球的概率为 9. 已知函数 甲：函数的最小值是； 乙：函数的周期是； 丙：函数的图象关于对称; 丁：，若甲、乙、丙、丁中有且只有一个是错误的，则下列结论正确的是（ ） A. 的值唯一确定 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上的最小值是 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到的图象关于对称 10. 已知正项数列满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 存在，使得 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为__________. 12. 如图，点为椭圆：的左焦点，直线分别与椭圆交于、两点，且满足，为坐标原点，，则椭圆的离心率______． 13. ，，则实数a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. （1）在中，已知，若最长边的长为，求最短边的长. （2）在中，，点D在BC的延长线上，，，，求AD的长. 15. 某校随机调查了100名同学的日运动时间分钟，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求该100名同学的平均日运动时间; （2）为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数X的分布列和数学期望. 16. 如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， （1）求二面角的余弦值; （2）为线段EF上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段FQ的长. 17. 已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，， （1）求双曲线C的方程; （2）若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点 (i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标; (ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值. 18. 已知函数 （1）当时，求函数的极值; （2）对于任意的正整数 (ⅰ)不等式恒成立，求整数M的最小值; (ⅱ)证明：为自然对数的底数 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州市2025届高三下学期适应性调研测试（1.5模）数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知a，b为实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论. 【详解】由，可得且， 则由“”可得“”， 但是不能由“”得到“”，因为b可能为0， 则“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数模的性质计算．即， 【详解】因为 则 所以 故选:B. 3. 若展开式中的常数项为60，则常数a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于60求得实数a的值． 【详解】展开式的通项公式为， 令，求得，可得它的常数项为，. 故选：A. 4. 已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出弦心距不大于1，由点到直线距离公式解不等式可得． 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 当弦长时，弦心距， 若，则， 即，解得， 故选：C. 5. 我国数学名著《九章算术》第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何?”意思是：现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈，则它的体积单位：立方丈是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算圆台上下底面圆的半径，再计算体积. 【详解】解：由题意得，下底半径丈，上底半径(丈)，高丈， 所以它的体积立方丈 故选： 6. 在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积求出对角线夹角的余弦再得正弦值，然后求得对角线的长度后，结合三角形的面积公式计算可得． 【详解】由题意，得， ，， 设与夹角为， 则， 可得， 可得该四边形的面积为 故选：A． 7. 函数的定义域为R，其图象是一条不间断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 不一定存在零点 C. 4是的一个周期 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对称性得，结合已知并利用替换思路得出，可判断C，然后由奇函数的定义判断A，结合函数的图象是不间断曲线判断B，利用求出判断D． 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 所以 则，即 可得， 即①， 用代替x，则②， 由①得， 代入②可得：， 化简得， 所以4不是的周期， C选项错误; 由， 用代，得， 结合， 可得，即， 所以不是奇函数，A选项错误； 由， 令得， 令得， 所以中一定既有正值也有负值， 又因为的图象是一条不间断的曲线， 所以当x变化时，一定存在使得，B选项错误； 由，， 则， 所以， 由， 令，，即， 所以，D选项正确. 故选：D． 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的性质，解题方法是赋值法，赋值时注意函数的性质与要求的性质，如奇偶性问题中一般要出现和，周期性中要出现与，单调性中需要先令，然后出现等等．这就需要对已知等式中的变量进行赋值，替换操作以达到目的． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 8. 一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（ ） A. 第二次摸出红球的概率为 B. 第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为 C. 第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为 D. 第三次摸出黄球的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用全概率公式求解；B利用条件概率求解；C 利用概率的乘法公式求解；D必备知识：无论第几次抽取黄球，其概率均为. 【详解】解：对于A、第二次摸出红球分两种情况： 第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为 第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为， 可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确； 对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件， 由选项A的分析可知，， 根据条件概率公式，所以选项B正确； 对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为， 所以选项C错误； 对于D、因为袋子里共有个球，其中黄球有7个， 所以每次摸出黄球的概率都是，即第三次摸出黄球的概率为，所以选项D正确. 故选：ABD. 9. 已知函数 甲：函数的最小值是； 乙：函数的周期是； 丙：函数的图象关于对称; 丁：，若甲、乙、丙、丁中有且只有一个是错误的，则下列结论正确的是（ ） A. 的值唯一确定 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上的最小值是 D. 函数的图象向右平移个单位长度得到的图象关于对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】假设甲错误，利用乙，丙可得，结合已知无解；假设乙错误，甲，丙可求得，可判断A，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】假设甲错误， 由乙：函数的周期，可得， 由丙：函数的图象关于对称， 则，即， 即，即，， 得， 又因为，此时无解，所以假设不成立. 假设乙错误， 由甲：函数的最小值是，可得 由丙：函数的图象关于对称， 则，即， 即，① 由丁：，即， 即，② ②-①得：， 即，即，，， 因为，所以 把代入①得：，， 又因为，所以， 则， 所以的值唯一确定，故A正确； 当时，， 所以函数在区间上单调递减，故B错误； 由B可得函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最小值是，故C正确； 函数的图象向右平移个单位长度， 得到y的图象，其关于对称，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：因为只有1名同学错误，在假定一名同学错误的基础上求解，若得出矛盾，说明假设错误，直到能正确求解得到函数解析，再结合各选项的条件求解. 10. 已知正项数列满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 存在，使得 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知可得，设，结合已知可求得判断A；计算判断B；，累加可判断C；令，求导可证，进而得，计算可判断D. 【详解】由， 展开可得， 移项得到， 两边同时除以因为是正项数列，， 则，即， 所以是等差数列. 已知，设，则， 设的公差为d， 因为， 所以，易知， 所以， 即，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以是递减数列，故A错误； ，故B正确； ， 所以 ， 令，得，解得，故C正确； 设， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，， 即，所以， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于构造，证明不等式，利用放缩法求得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为__________. 【答案】480 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①，将2、4、5、6四个数全排列，有  种排法， ②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有 种情况， 则有个符合题意的六位数. 故答案为：. 12. 如图，点为椭圆：的左焦点，直线分别与椭圆交于、两点，且满足，为坐标原点，，则椭圆的离心率______． 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的另一个焦点为，则为平行四边形，由条件可得，然后由椭圆的定义可得，再在用勾股定理，进而求出离心率． 【详解】如图，设椭圆的另一个焦点为，连接， 根据椭圆的对称性可得，为平行四边形， 由FA⊥AB，在中, ∠ABF＝∠AFO， ，得， 在中有，,得， ，，由椭圆的定义有：， 在中：，即 化简整理得:,两边同时除以化为：， 解得： . 所以椭圆的离心率为： 故答案为：. 13. ，，则实数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，当时，显然不成立，故，分析可知只需考虑的情况，令，求导可得其单调性，进而可得时，恒成立，求得的最大值即可. 【详解】，，变形为，即， 显然若，当时，，不等式不成立，故， 从而，此时，若，则，故不等式恒成立， 故只需考虑的情况. 令，则， 因，所以，则在上递增， 又时，，，而即， 从而时，恒成立，也即时，恒成立， 令，则， 当时，，在上递增， 当时，，上递减， 则有最大值为， 所以，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于求不等式恒成立时的参数范围，一般有三种方法： 一是参变分离法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过求函数的最值解决问题； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论解决问题； 三是数形结合，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定参数范围. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. （1）在中，已知，若最长边的长为，求最短边的长. （2）在中，，点D在BC的延长线上，，，，求AD的长. 【答案】（1）；（2）7 【解析】 【分析】（1）由两角和的正切确定，，再结合正弦定理即可求解； （2）由正弦定理求得，在中，由余弦定理即可求解； 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以，所以，， 所以，， 故c为最长边，即 因为，且A，B为锐角，所以A为最小角，故a为最短边， 由得，且，所以 由正弦定理得， 即最短边的长为； （2）在中，由正弦定理得 ， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 即AD的长为 15. 某校随机调查了100名同学的日运动时间分钟，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求该100名同学的平均日运动时间; （2）为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用各矩形面积之和为1求得a，再利用平均数公式求解； （2）易得X可取0，1，2，再求得相应的概率，列出分布列，然后求期望. 【小问1详解】 由题意得， 所以 所以该100名同学的平均日运动时间为： 分钟， 【小问2详解】 日运动时间在内的同学人数分别为2，4，4， 所以X可取0，1，2，  ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望 16. 如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上， （1）求二面角的余弦值; （2）为线段EF上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段FQ的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值； (2)根据为线段EF上一点，设，利用空间向量法求直线和平面所成角的正弦值列式即可求解. 【小问1详解】 由四边形PDCE为正方形得，因为平面平面ABCD，平面平面， 平面PDCE，，所以平面ABCD， 又DA，DC在平面ABCD内，所以，， 由得， 以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则即 取，则， 设平面ABP的一个法向量为， 则即 取，则， 所以， 因为二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为 【小问2详解】 设， 则， 因为BQ与平面BCP所成角的正弦值为， 所以， 解得或， 因为，所以， 故 17. 已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，， （1）求双曲线C的方程; （2）若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点 (i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标; (ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值. 【答案】（1） （2）(i)；(ⅱ)4 【解析】 【分析】（1）利用已知可得的关系式，求解即可； （2）设，则直线PA的方程为，联立方程组，由根与系数的关系求得的坐标，(i)由已知可得，求解即可；(ⅱ) 直线PB的方程为，与双曲线方程联立方程组求得的坐标，进而求得直线MN的方程，可得直线MN过定点，从而可求得线段OG的最大值. 【小问1详解】 由题意得， 所以，， 所以双曲线C的方程为 【小问2详解】 设，则直线PA的方程为， 由，得， 当时，有，此时直线PA与双曲线的渐近线平行， 故直线PA与双曲线只有一个交点，舍去. 当时，有， 所以，所以， (i)因为，， 由，得， 所以， 即点P的坐标为； (ⅱ)直线PB的方程为， 由，得， 因为，所以，即， 所以， 当时，有，所以MN的方程为； 当时，直线MN的斜率， 所以直线MN的方程为， 即， 所以直线MN恒过定点， 又，所以点G在以HO为直径的圆上， 所以当MN垂直于x轴时，点 G与点H重合， 所以，所以线段OG的最大值为. 18. 已知函数 （1）当时，求函数的极值; （2）对于任意的正整数 (ⅰ)不等式恒成立，求整数M的最小值; (ⅱ)证明：为自然对数的底数 【答案】（1）有极小值，无极大值 （2）ⅰ2； ⅱ证明如下： 设，， 则， 所以在上单调递增， 所以，即，， 由(ⅰ)知，， 所以，， 令，得， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，令，求解，判断其单调性，可求极值； （2）(ⅰ) 当时，，求导可得，可得，累加可得结论； (ⅱ) 设，，求导可证，结合，可得，累加可得结论. 【小问1详解】 当时，， 则， 由得， x 2 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 因此，当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 (ⅰ)当时，，， 则，由得， 当时，，所以在上单调递增; 当时，，所以在上单调递减; 所以即，当且仅当时取等号. 所以， 所以， 所以， 当时，， 所以 所以整数M的最小值为 (ⅱ)略 【点睛】方法点睛：涉及不等关系的证明，恒成立问题的求解，解决的方法是对不等式左侧的式子根据所证函数不等式关系的结论进行合理的放缩可求解问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $