精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题

高坪中学初2022级初三上期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、根指数是3，不是二次根式； B、当时，不是二次根式； C、， ∴是二次根式； D、当时，不是二次根式． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟记概念是解决此题的关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5， C. ，， D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的知识，掌握满足的三个正整数称为勾股数，是解答此题的关键． 三个正整数，当其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方时，则这三个数就是勾股数．根据勾股数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴这组数不是勾股数，不符合题意； B．4，5，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C．0.6，0.8，0.9都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D．∵，∴这组数是勾股数，符合题意． 故选：D． 3. 下列不能判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行且相等 C. 一组对边平行且一组对角相等 D. 任何一个内角都与相邻内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定可直接求解． 【详解】解：当一组对边平行且相等时，这个四边形是平行四边形， 当一组对边平行且一组对角相等时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形是平行四边形； 当任何一个内角都与相邻的内接互补时，如上图， ∵，， ∴，， 四边形是平行四边形，故A符合题意，BCD不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 4. 在一次满分为分的数学测试中，小明的分数为分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论，所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了统计量，根据中位数的意义即可求解，掌握各统计量的意义是解题的关键． 【详解】解：所用的统计量是中位数， 故选：． 5. 一次函数，下列结论错误的是（    ） A. 若两点A()，B()在该函数图象上，且，则 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 函数的图象向下平移4个单位长度得到的图象 D. 函数的图象与轴的交点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】A、因为一次函数中，因此函数值随x的增大而减小，故A选项正确； B、因为一次函数中，，因此此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B选项正确； C、由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得的图象，故C选项正确； D、令，则，因此函数的图象与x轴的交点坐标是，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键． 6. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：由关于的方程是一元二次方程，得 且． 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 7. 如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案. 解：由勾股定理得： ，，， ，即 ∴△ABC是直角三角形， 设BC边上的高为h， 则， ∴. 故选A. 点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键. 8. 如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一点，EF⊥BC，EG⊥AB，垂足分别是F，G，若BG=4，BF=5，则DE的长是( ) A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，则，正方形的边长为，，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图： 则， ，即正方形的边长为， ，， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 9. 如图，在四边形中，，，．E为的中点，F为的中点，P是一动点，从点A开始沿匀速运动，到达点C即止，记点P运动的时间为x、四边形的面积为y，y与x关系所反映的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数与图象的关系、四边形面积与点运动的位置关系，分类讨论，学会用排除法解决函数图象问题．四边形的面积的面积的面积，设的面积为，分两种情形讨论与的关系即可，用排除法即可． 【详解】解：设的面积为m， 点在上时，因为不一定平行，所以的面积是变化的，故可以排除． 当点在上时，，由题意是定值，是的一次函数，所以也是的一次函数，故、可以排除， 故选：A． 10. 如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接、，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，可知，即；延长交延长线于M，根据平行四边形的性质得到，进而得到，，证明，得到，，求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知；根据得到，可知；设，根据等边对等角得到，根据角的和差可知． 【详解】解：∵F是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，延长交延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵F为中点， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不成立； 设， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故④错误． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________． 【答案】2<m<3 【解析】 【详解】∵一次函数y=(m−2)x-3的图象经过第一、三、四象限， ∴ ，解得：2＜m＜3. 故答案为2＜m＜3. 12. 已知，，则的值为______ 【答案】5. 【解析】 【分析】将a与b分母有理化后，代入原式计算即可得到结果． 【详解】∵a2，b2，∴原式5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键． 13. 如果一组数据，，…，的方差是2，那么一组新数据，，…，的方差是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是，代入方差公式，计算即可． 【详解】解：设一组数据，，…，的平均数为，方差是，则另一组数据，，…，的平均数为，方差是， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．即如果一组数据，，…，的方差是，那么另一组数据，，，的方差是． 14. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，点E在BC上，连接AE，AE=5，EC=7，∠C=2∠DAE，则BD=__． 【答案】13 【解析】 【分析】直接利用矩形的性质结合等腰直角三角形的性质得出AB，BE的长，再利用勾股定理得出BD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠C=90°，AD∥BC， ∵∠C=2∠DAE， ∴∠DAE=45°， ∴AB=BE， ∵AE=5 ， ∴AB=BE=5， ∵EC=7， ∴AD=BC=12， ∴BD= =13． 故填：13． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理、等腰直角三角形的性质，正确得出AB，BE的长是解题关键． 15. 如图，在中，，，，是上一点，，于点，是的中点，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，得到的长，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，是的中点， ∴，， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，．…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…．依据图形所反映的规律，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点，，作轴的垂线段，在结合等腰△，可推导出的坐标；同理，可得到、的坐标；最后通过寻找这些坐标之间的规律，得到最终结果 【详解】如图，分别过点，，作轴的垂线段，垂足分别为， ，． “，且，是等腰直角三角形，∴，则， ∴，∴点的坐标为． 将点的坐标代入中，得，解得． ∴，． 同理求得，． ∵，， ，…，∴． 【点睛】在等腰三角形中，作垂线，好处是构造出一条“三线合一”的线段，利用这个性质易于求解三角形中的一些线段长度。本题还需要通过总结归纳规律，才能得到最终结果 三、解答题（共9个小题，共86分） 17. （）计算：． （）解方程：． 【答案】（）；（）， 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质和运算法则计算即可； （）把方程右边的一次项移到左边，再利用配方法解答即可； 本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 18. 如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴， 在和中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，由平行线的性质和角平分线的性质得出，可证，即可得出． 【详解】略 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键． 19. 某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 小王 60 75 100 90 75 小李 70 90 100 80 80 （1）完成下表： 姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差 小王 80 75 75 190 小李 （2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？ （3）历届比赛表明，成绩达到80分以上(含80分)就很可能获奖，成绩达到90分以上(含90分)就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由． 【答案】（1）84，80，80，104 （2）小王的优秀率为，小李的优秀率为 （3） 选小李参加比赛比较合适，理由是：小李的成绩较小王稳定，且优秀率比小王的高，因此选小李参加比赛比较合适． 【解析】 【分析】本题考查方差、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数据的方差、中位数、众数、平均数． （1）将小李的五次成绩按从小到大的顺序排列，由此可得出小李成绩的平均数、众数与中位数，再根据方差的计算公式可求出形应的方差； （2）根据方差的意义即方差反映数据的波动程度，得出方差越小越稳定，因此小李的成绩稳定；再根据80分以上(含80分)的成绩视为优秀，小王有2次优秀，小李有4次，分别计算出优秀率即可； （3）选谁参加比赛的答案不唯一，只要理由符合实际就可以． 【小问1详解】 解：小李的成绩：70、80、80、90、100， 平均成绩为：分， 众数为：80，中位数是80分； 方差为：， 故答案为：84，80，80，104． 【小问2详解】 小王的方差是190，小李的方差是104，而， 小李成绩较稳定； 小王的优秀率为，小李的优秀率为； 【小问3详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：点在直线上， 时，，即点坐标为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，有，解得， 点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为或． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据解答即可求解； （）由根和系数的关系可得，，进而由完全平方公式可得，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵方程两实数根分别为，， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，， ∵， ∴不合，舍去， ∴． 22. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 【答案】 （1）∵，， ∴四边形AEBO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴四边形AEBO是菱形； （2）∵四边形AEBO是菱形， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ， ， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵，即AF是OB边上的中线， ∴AF平分． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定可得四边形AEBO是平行四边形，再根据矩形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先根据菱形的性质、矩形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据等边三角形的判定与性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确找出两个全等三角形是解题关键． 23. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润． 【答案】（1）；（2）工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润. 【解析】 【分析】（1）利润y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2500﹣x），即0.4（2500﹣x）万元． （2）由（1）得y是x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时，利润y最大． 【详解】（1）. （2）由题意得：，解得. 又因为，所以. 由（1）可知，，所以的值随着的增加而减小. 所以当时，取最大值，此时生产乙种产品（吨）. 答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨，时，能获得最大利润. 【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一． 24. 如图1，四边形是正方形，点是边上任意一点，于点，且交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，探究线段与的关系并证明； （3）图1中，若，求长． 【答案】（1）见解析 （2）且 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键． （1）根据垂直的定义和平行线的性质求出，根据正方形的性质可得，再利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得； （2）根据同角的余角相等求出，根据全等三角形对应边相等可得，根据正方形的性质可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据垂直的定义证明即可； （3）先利用勾股定理，求出的长，再根据面积的两种算法，求出的长度，根据勾股定理求出的长度，由，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵ ， 是正方形， ， ， ， ， 在和中 ， ∴， ； 【小问2详解】 解：且． 理由如下：∵， ， ， ， 又∵四边形是正方形， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ． 25. 如图1，直线分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E． (1) 点B的坐标为__________，不等式的解集为___________ (2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标； (3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式． 【答案】（1）(3，0)，x＜3；（2）D()；（3） 【解析】 【分析】（1）用坐标轴上点的特点及不等式的解法求解即可； （2）设点D 的纵坐标为,由S△COE＝S△ADE可得S△AOB＝S△CBD，求出 ，进而求出； （3） 连接CF, AC由全等三角形的判定可得△CAF≌△CBD得到AF∥x轴，设出点D 的坐标结合直线得到关于m的方程，进而求解． 【详解】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0， 解得x＝3， 令x＝0，则y＝3， 故点B的坐标为（3,0）、点A（0,3）； ∵﹣x+3＞0，故x＜3， 故答案为：（3，0），x＜3； (2) ∵S△COE＝S△ADE ∴S△AOB＝S△CBD 即，yD＝ 当y＝时， ∴D() (3) 连接CF，AC，AF， ∵AB＝AC＝BC＝6， ∴△ABC为等边三角形 ∵∠CDF＝60°，菱形CDFG， ∴△CDF为等边三角形， CF＝DC，∠FCD＝∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝∠DCB， ∴△CAF≌△CBD（SAS） ∴∠CAF＝∠CBD＝60° ∴AF∥x轴 设D(m，) 过点D作DH⊥x轴于H ∴BH＝3－m，DB＝6－2m＝AF ∴F(2m－6，) 由平移可知：G(m－9，) 令 ∴点G在直线上． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及菱形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学初2022级初三上期入学考试 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5， C. ，， D. 7，24，25 3. 下列不能判断一个四边形是平行四边形的条件是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行且相等 C. 一组对边平行且一组对角相等 D. 任何一个内角都与相邻内角互补 4. 在一次满分为分的数学测试中，小明的分数为分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论，所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 5. 一次函数，下列结论错误的是（    ） A. 若两点A()，B()在该函数图象上，且，则 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 函数的图象向下平移4个单位长度得到的图象 D. 函数的图象与轴的交点坐标是 6. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ） A. B. 3 C. D. 不能确定 7. 如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上一点，EF⊥BC，EG⊥AB，垂足分别是F，G，若BG=4，BF=5，则DE的长是( ) A. 3 B. 6 C. D. 9. 如图，在四边形中，，，．E为的中点，F为的中点，P是一动点，从点A开始沿匀速运动，到达点C即止，记点P运动的时间为x、四边形的面积为y，y与x关系所反映的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，F是的中点，作，垂足E在线段上，连接、，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①② D. ①②④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知一次函数y=（m-2）x+m-3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是________． 12. 已知，，则的值为______ 13. 如果一组数据，，…，的方差是2，那么一组新数据，，…，的方差是__________． 14. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，点E在BC上，连接AE，AE=5，EC=7，∠C=2∠DAE，则BD=__． 15. 如图，在中，，，，是上一点，，于点，是的中点，则___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，．…均在直线上．设，，，…的面积分别为，，，…．依据图形所反映的规律，则_______． 三、解答题（共9个小题，共86分） 17. （）计算：． （）解方程：． 18. 如图，在中，平分，交于点E；平分，交于点F．求证：． 19. 某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全市知识竞赛，在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 小王 60 75 100 90 75 小李 70 90 100 80 80 （1）完成下表： 姓名 平均成绩(分) 中位数(分) 众数(分) 方差 小王 80 75 75 190 小李 （2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以上(含80分)的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？ （3）历届比赛表明，成绩达到80分以上(含80分)就很可能获奖，成绩达到90分以上(含90分)就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 22. 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． （1）求证：四边形AEBO是菱形； （2）若∠ADB＝30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 23. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润． 24. 如图1，四边形是正方形，点是边上任意一点，于点，且交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，探究线段与的关系并证明； （3）图1中，若，求长． 25. 如图1，直线分别与y轴、x轴交于点A、点B，点C的坐标为(－3，0)，D为直线AB上一动点，连接CD交y轴于点E． (1) 点B的坐标为__________，不等式的解集为___________ (2) 若S△COE＝S△ADE，求点D的坐标； (3) 如图2，以CD为边作菱形CDFG，且∠CDF＝60°．当点D运动时，点G在一条定直线上运动，请求出这条定直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $