精品解析：江苏省徐州市鼓楼区徐州市东苑中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年第二学期第一次学情调研数学试题 （全卷共140分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列无理数，与3最接近的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 天空出现三个太阳 D. 三角形内角和 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A B. C. D. 7. 如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 我国2021年粮食产量约13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数法表示为________亿斤． 10. 81的平方根是________． 11. 因式分解：________． 12. 使有意义的的取值范围是 _____． 13. 若是方程的两个根，则_________． 14. 方程的解为_______． 15. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______． 16. 如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________． 三、解答题（本大题共有7小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）解方程：． （2）解不等式组：． 19. 为了解本校学生对新闻（A）、体育（B）、动画（C）、娱乐（D）、戏曲（E）五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图 解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中，C类节目所对应的扇形圆心角的度数为 度； （3）该校共有1200名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生数． 20. 某乳品公司最近推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味，若送奶员连续三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？ （请用“画树状图”的方法给出分析过程，并求出结果） 21. 某工程队计划修一条长1200米的道路，实际每天比原计划多修20米，结果提前2天完成，求原计划每天修路多少米． 22. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 23. 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． ①若点在第一象限内，试问：线段长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由； ②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积． 25. 如图，和中，，，． （1）如图1，当时，连接，求证：； （2）如图2，当时，交于点F，连接，求证：； （3）如图3，当时，，D是的中点，将绕点A旋转得到，，当B，，三点在同一条直线上时，直接写出点C到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期第一次学情调研数学试题 （全卷共140分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相反数的含义，根据仅仅只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：B 2. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法法则对选项逐一判断即可 【详解】A. ，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意 故选A 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，熟悉以上运算法则是解题的关键． 4. 下列无理数，与3最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先比较各个数平方后的结果，进而即可得到答案． 【详解】解：∵32=9，()2=6，()2=7，()2=10，()2=11， ∴与3最接近的是， 故选C． 【点睛】本题主要考查无理数估计，理解算术平方根与平方的关系，是解题的关键． 5. 下列事件中的必然事件是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 打开电视，正在播放新闻 C. 天空出现三个太阳 D. 三角形内角和为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类：必然事件、不可能事件和随机事件，熟记各个事件的定义，在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件；在一定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，根据三种事件的定义逐项验证即可得到答案，熟记必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，这是随机事件，不符合题意； B、打开电视，正在播放新闻，这是随机事件，不符合题意； C、天空出现三个太阳，这是不可能事件，不符合题意； D、三角形内角和为，这是必然事件，符合题意； 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减，由将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到平移后的拋物线对应的函数表达式，熟记函数图象的平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为， 故选：D． 7. 如图是一次函数与的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用一次函数图象求不等式的解集，现将不等式变形可得，再由的解集可以看作一次函数图象在的图象下方部分对应的的取值范围，数形结合即可得到答案，熟练掌握用一次函数图象求不等式的解集的方法是解决问题的关键． 【详解】解：不等式变形可得， 的解集可以看作一次函数图象在的图象下方部分对应的的取值范围， 如图所示： 在右侧，一次函数图象在的图象下方， 则不等式的解集是， 故选：B． 8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数法表示为________亿斤． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 10. 81平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的知识，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴81的平方根是， 故答案为：． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，掌握是解题的关键． 直接利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 使有意义的的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴，则， 故答案为：． 13. 若是方程的两个根，则_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 故答案是：-3． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是一元二次方程的两个根，则，是解题的关键． 14. 方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后记得分式方程必须验根即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 两边同时乘以最简公分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 当时，最简公分母， 是原分式方程的解， 故答案为：． 15. 圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为______． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得， 解得， 所以侧面展开图的圆心角为． 故答案为：． 16. 如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________． 【答案】（2，3） 【解析】 【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），进而列出方程求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴设D点坐标（m，），则A点坐标为（ ，）， ∴m-（）=，解得：m=±2（负值舍去）， 经检验，m=2是方程的解， ∴D点坐标为（2，3）， 故答案是：（2，3）． 【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 三、解答题（本大题共有7小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用乘方、绝对值、负整数次幂、算术平方根化简，然后再计算即可； （2）按照分式混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： = =． 【小问2详解】 解： = = =． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、分式的混合运算、负整数次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 18. （1）解方程：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法、一元一次不等式组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程的解法进行计算； （2）根据一元一次不等式组的解法进行计算． 【详解】解：（1） 或 ∴，． （2） 由①得： 解得： 由②得： 解得： ∴原不等式组的解集为． 19. 为了解本校学生对新闻（A）、体育（B）、动画（C）、娱乐（D）、戏曲（E）五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图 解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计图中，C类节目所对应的扇形圆心角的度数为 度； （3）该校共有1200名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生数． 【答案】（1）见解析；（2）108；（3）96人 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可知“D娱乐”的人数36人，占调查人数的36%，可求出调查人数，进而求出“动画C”的人数，补全条形统计图； （2）求出“动画C”所占整体的百分比即可求出相应的圆心角的度数； （3）求出样本中“A新闻”所占的百分比即可． 【详解】解：（1）36÷36%＝100（人），100﹣8﹣20﹣36﹣6＝30（人）， 补全条形统计图如下： （2）360°×＝108°， 故答案为：108； （3）1200×＝96（人）， 答：该校共有1200名学生中最喜爱新闻节目的有96人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键． 20. 某乳品公司最近推出一款果味酸奶，共有红枣、木瓜两种口味，若送奶员连续三天，每天从中任选一瓶某种口味的酸奶赠送给某住户品尝，则该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率是多少？ （请用“画树状图”的方法给出分析过程，并求出结果） 【答案】 【解析】 【详解】分析：画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出至少有两瓶为红枣口味的结果数，然后根据概率公式求解． 详解：画树状图为： 共有8种等可能的结果数，其中至少有两瓶为红枣口味的结果数为4， 所以该住户收到的三瓶酸奶中，至少有两瓶为红枣口味的概率=． 点睛：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 21. 某工程队计划修一条长1200米的道路，实际每天比原计划多修20米，结果提前2天完成，求原计划每天修路多少米． 【答案】原计划每天修路100米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设原计划每天修路米，则实际每天修路米，根据提前2天完成建立方程即可求解，注意检验． 【详解】解：设原计划每天修路米， 由题意得：， 解得：或， 经检验，，都是原方程的解，但不符合题意，舍去 答：原计划每天修路100米． 22. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使两点重合．点落在点处．已知，． （1）求证：是等腰三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得,则,因为折叠，，即可得证； （2）设用含的代数式表示，由折叠，，再用勾股定理求解即可 【详解】（1）四边形是矩形 因为折叠，则 是等腰三角形 （2）四边形是矩形 , 设，则 因折叠，则，, 在中 即 解得： 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键． 23. 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度． 【答案】(170+60)cm 【解析】 【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可． 【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F， 在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°， 则DF=CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×=90（cm）， 由题意得：=，即=， 解得：EF=135， ∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm， 则=， 解得：AB=170+60， 答：立柱AB的高度为(170+60)cm． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算． 24. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． ①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由； ②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积． 【答案】（1） （2）①存在，线段的长度的最大值为，此时；②点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为． 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：，，且点、在抛物线上， ∴， 解得， 该抛物线所对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①存在，理由如下： 令，得， 解得：， ， 如图2中， 已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 点在抛物线上，且轴，点N在直线的上， 设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在第一象限， ∴ ， ∵ 当时， 线段的长度的最大值为； ②解：如图3中， 由题意知，点在线段的垂直平分线上， 又由①知，， 的中垂线同时也是的平分线， ∴点P到坐标轴的距离相等， 设点的坐标为， 又点在抛物线上，于是有， ， 解得，， 点的坐标为：或， 若点的坐标为，此时点在第一象限， 在和中，， ， 若点的坐标为，此时点在第三象限， 则． 综上所述：点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为． 25. 如图，在和中，，，． （1）如图1，当时，连接，求证：； （2）如图2，当时，交于点F，连接，求证：； （3）如图3，当时，，D是的中点，将绕点A旋转得到，，当B，，三点在同一条直线上时，直接写出点C到直线的距离． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出都是等边三角形，得出，再证出，即可证明； （2）过点作交于，根据题意可得出，即可得，证出，根据相似三角形性质得出，根据“8字模型”即可得出，从而得出，证明，得出，即可证明； （3）证出，得，，从而得出即可得出即可解答，同理，得出． 【小问1详解】 ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ． ∴． 【小问2详解】 证明：过点作交于， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ． 【小问3详解】 ①当，绕点A逆时针旋转得到时，当B，，三点在同一条直线上，，D是的中点， 由题意得， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 得，， ， ∴， 则， ， ， ， ②当，绕点A顺时针旋转得到时，当B，，三点在同一条直线上， 同理，如图根据①可得， ， ， ， ， ． 综上，点C到直线的距离为或． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$