精品解析：河南省郑州市金水区河南省实验中学2024-2025学年下学期学业诊断1（月考） 七年级 数学试题

河南省实验中学2024－2025（下）学业诊断1 七年级 数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较小的数，牢记科学记数法的表示形式是解题的关键：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值；确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值时，是正数，当原数的绝对值时，是负数，据此确定的值以及的值即可． 按照科学记数法的表示形式求解即可． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故选：． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，完全平方公式，合并同类项和积的乘方运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据平方差公式，完全平方公式，合并同类项和积的乘方运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：①由于和是同位角，则①可判定； ②由于和是内错角，则②可判定； ③由于和既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定； ④由于和是同旁内角，则④可判定； 即①②④可判定． 故选A． 4. 公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛扩展后的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式运算的应用．先求得改变后花坛的长为，宽为，再利用长方形的面积公式列式即可． 【详解】解：由题意得：改变后花坛的长为，宽为， 则这个花坛扩展后的面积为， 故选：D． 5. 若，则多项式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查单项式与多项式的乘法．根据被除数等于除数乘以商，然后利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：C． 6. 利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点P和已知直线平行”的直线．下列解释正确的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 以上解释都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点的直线，根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如图， 由题图（2）的操作可知， 所以， 由题图（3）的操作可知， 所以， 所以， 所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行判定， 故选：D． 7. 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列各图中，与互余的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的互余关系，正确理解互余是解题的关键． 【详解】解：A、根据同角的余角相等，，故本选项不符合题意； B、与不互余，故本选项错误； C、根据等角的补角相等，故本选项不符合题意； D、，互余，故本选项符合题意； 故选D． 8. 若展开合并后不含项，则的值为（  ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式的法则，利用多项式乘多项式法则计算，然后根据合并后不含项，得出，然后进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ∵展开合并后不含项， ∴， ∴． 故选：C． 9. 下列说法中正确的个数为（ ） ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④平行同一直线的两直线平行． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行线的定义，垂线的性质和平行公理进行判定即可． 【详解】解：①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线是正确的， ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的． ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故是错误的． ④满足平行公理的推论，正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的定义，垂线的性质和平行公理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据，得，所以，再根据，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 填空： ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握该运算规则是解题的关键．利用即可求得答案． 【详解】解： 故答案为：． 12. 定义一种新运算：规定．若，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，同底数幂的乘法，读懂题意是解题的关键．根据题意可知，，然后解方程即可． 【详解】解： 故答案为：1． 13. 如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角性质，角的和差，由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知多项式是完全平方式，则m的值为_________． 【答案】6或0 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ， ∴， ∴或0， 故答案为：6或0． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 15. 如图，点O为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点O旋转一周，当的度数是________时，直线与直线互相平行． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据在左边或右边分别画出图形，利用平行线的性质得到的度数，再求出的度数即可． 【详解】解：当在右边时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 当在左边时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当的度数是或时，直线与直线互相平行， 故答案为：或． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）简便运算：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方差公式的应用． （1）先算乘方，负整数指数幂和算零指数幂运算，再算加减法； （2）先将写成，再用平方差公式计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 18. 如图，直线分别与直线，直线相交于点、点，已知，，，．与平行吗？与平行吗？请说明理由． 【答案】与平行，与平行，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用，同位角相等，可判定与平行，再证明，同位角相等，可判定与平行． 【详解】解：与平行，与平行，理由如下： 设点在的延长线上，如图所示： ， （同位角相等，两直线平行） ， ， （同位角相等，两直线平行） 19. 利用网格画图． （1）过点C画的平行线； （2）过点C画的垂线，垂足为E； （3）线段的长度是点C到直线 的距离； （4）连接，，在线段，，中，线段 最短，理由： ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4）；垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； （2）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （3）根据点到直线的距离概念回答； （4）根据垂线段最短直接回答即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的平行线； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的垂线； 【小问3详解】 解：线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； 【小问4详解】 解：连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 20. 如图，某公园现有两条直道和交于点，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路上的点，再修建一条直道． （1）尺规作图：以点为顶点，为一边，作；（不写作法，保留作图痕迹；） （2）猜想与的位置关系，并给出证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析，或相交 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的方法按要求作图即可． （2）根据平行线的判定可得答案． 【小问1详解】 解：（1）如图，即为所求． 或 【小问2详解】 ． ∵ ∴（依据：内错角相等，两直线平行）． 或与相交 21. 观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用； （1）计算出92-62的结果，即可； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为，再利用平方差公式计算，即可； （3）设这个数为，比大3的数为，再利用平方差公式计算，即可． 【详解】（1）， ∴是3的15倍； 故答案为：； （2）由题意得偶数为，比偶数大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴能被3整除； （3）余数为3，理由如下： 设这个数为，比大3的数为， 所以被6整除余3，余数为3． 22. 阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． （1）判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； （2）结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． （3）运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 【答案】（1）六，15 （2）①；② （3）星期三 【解析】 【分析】本题考查了杨辉三角，整式乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1 故答案为：六，15； 【小问2详解】 解：① 故答案为：； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故答案为：； 【小问3详解】 解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期二往后数天是星期三， 答案为：是星期三． 23. 【知识技能】 已知：；； 填空：（1）①______；②______． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则， ∴． 【解决问题】 （2）①若x满足，则______； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形，的面积． 【答案】（1）①，②；（2）①，②，③ 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①设，，由题意得，，根据进行计算即可； ②设，，由题意得，，根据代入计算即可； ③设，，根据题意得，，，由，代入计算即可． 【详解】解：（1）①， ， 故答案为：； ②；； ， 故答案为：； （2）①设，， ，， ； ②设，， ，， ； ③由题意得，， 设，， ，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省实验中学2024－2025（下）学业诊断1 七年级 数学 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 4. 公园里有一个长方形花坛，原来长为，宽为，现在要把花坛四周均向外扩展，则这个花坛扩展后的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则多项式等于（ ） A. B. C. D. 6. 利用如图所示的方法，可以折出“过已知直线外一点P和已知直线平行”的直线．下列解释正确的是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 以上解释都正确 7. 如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列各图中，与互余的是（ ） A. B. C. D. 8. 若展开合并后不含项，则的值为（  ） A. B. 4 C. D. 3 9. 下列说法中正确的个数为（ ） ①在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； ②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④平行同一直线的两直线平行． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 填空： ________ 12. 定义一种新运算：规定．若，则的值为________． 13. 如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ______． 14. 已知多项式是完全平方式，则m的值为_________． 15. 如图，点O为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点O旋转一周，当度数是________时，直线与直线互相平行． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）简便运算：． 17 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，直线分别与直线，直线相交于点、点，已知，，，．与平行吗？与平行吗？请说明理由． 19. 利用网格画图． （1）过点C画的平行线； （2）过点C画的垂线，垂足为E； （3）线段的长度是点C到直线 的距离； （4）连接，，在线段，，中，线段 最短，理由： ． 20. 如图，某公园现有两条直道和交于点，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路上的点，再修建一条直道． （1）尺规作图：以点为顶点，为一边，作；（不写作法，保留作图痕迹；） （2）猜想与的位置关系，并给出证明． 21. 观察：；． 嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的______倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6整除的余数是几？请说明理由． 22. 阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． （1）判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； （2）结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． （3）运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 23 【知识技能】 已知：；； 填空：（1）①______；②______． 【数学理解】 若x满足，求值． 解：设，， 则， ∴． 【解决问题】 （2）①若x满足，则______； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形，的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$