精品解析：广东省河源市紫金县2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024—2025学年度第一学期期末综合测评 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般式，则，，值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 4. 关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定根的情况 5. 如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 图象与坐标轴没有交点 C. 图象是一条直线 D. 的值随的值增大而减小 7. 一张正方形纸片在太阳光下的影子不可能是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 线段 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若AD＝1，AB＝2，则DE：AC的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（ ） A 4 B. 1 C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果，那么______． 12. 如图，矩形的对角线和相交于点，，则______． 13. 如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是______． 14. 若，是方程的两个根，则代数式______． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 解方程：． 17. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 18. 某村2018年的人均收入为30000元，2020年的人均收入为36300元． （1）求2018年到2020年该村人均收入年平均增长率； （2）假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多少元？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度． 20. 如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 21. 在月日“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：时），把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 档和档所有数据是：，，，，，，，，，，，； 图和图是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共名学生，请你估计该校档的学生人数； （3）该校要从档的名学生中随机抽取名分享读书经验，已知这名学生中，名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标． 23. 【问题背景】如图，点是菱形的对角线上一点，连接，延长后交于点，交的延长线于点． 【知识技能】 （1）求证：； 【数学理解】 （2）若点为的中点，求的值； 【拓展探索】 （3）若菱形的边长为，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末综合测评 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断． 【详解】A．圆柱的主视图和左视图都是长方形，故此选项不符合题意； B．圆锥的主视图和左视图都是三角形，故此选项不符合题意； C．球的主视图和左视图都是圆，故此选项不符合题意； D．长方体的主视图是长方形，左视图可能是正方形，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握确定三视图的方法是解答的关键． 2. 把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式是解题的关键． 一元二次方程一般式为，由此即可求解． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 故选：B ． 3. 一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，它们除颜色不同外，其余均相同．从盒子中随机摸出一个球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到白球．由此估计盒子中的白球大约有（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率估算数量，掌握频率的计算方法是解题的关键． 根据题意，共试验200次，其中有120次摸到白球，得到摸出白球的频率，由此即可求解． 【详解】解：共试验200次，其中有120次摸到白球 ∴摸出白球的频率为， ∵不透明的盒子中装有红球和白球共20个， ∴白球的数量为, 故选：C ． 4. 关于的方程的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的计算是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式“，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根”进行判定即可． 【详解】解：关于的方程中，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A ． 5. 如图，，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，，若，，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，分式的性质，掌握其计算方法是解题的关键． 根据题意可得，，由此代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 当时，原分式有意义， ∴的长为， 故选：C ． 6. 关于反比例函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 图象与坐标轴没有交点 C. 图象是一条直线 D. 的值随的值增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 7. 一张正方形纸片在太阳光下的影子不可能是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行投影的性质，进行判断即可． 【详解】解：一张正方形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形， 故选C． 【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握平行投影的性质，是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似图形，相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，位似比是解题的关键． 根据点，相似比为，点在第三象限即可求解． 【详解】解：，相似比为，以点为位似中心， ∴，即， 故选：C ． 9. 如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若AD＝1，AB＝2，则DE：AC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠得，由相似三角形的对应边成比例得，再设，则，即可利用勾股定理求解． 【详解】矩形沿直线折叠，点落在点处， ，， 矩形的对边， ， ， 设与相交于，则， ， 即， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系是解题的关键． 根据题意，设，则，，根据平行四边形的面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：在反比例函数的图象上， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， 解得，， 故选：D ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的性质，掌握比例、分式的性质的计算是解题的关键． 根据题意可得，，代入式子，运用分式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 12. 如图，矩形的对角线和相交于点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的内角和定理、邻补角的定义，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 先根据矩形的对角线相等且互相平分证明，从而根据已知角求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据邻补角的定义求出即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，若，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再画出两个函数的图象，然后根据正比例函数和反比例函数的图象与性质可得两个函数图象的另一个交点的坐标为，据此结合函数图象即可得出答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 则反比例函数的解析式为， 画出两个函数的图象如下： 由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为， ∴结合函数图象得：若，则的取值范围是或 故答案为：或 14. 若，是方程的两个根，则代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据一元二次方程的解的定义得到，即，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， ，是方程的两个根， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵ ∴． 则． ，． 17. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 18. 某村2018年的人均收入为30000元，2020年的人均收入为36300元． （1）求2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设2021年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2021年该村的人均收入是多少元？ 【答案】（1）10%；（2）39930元 【解析】 【分析】（1）设2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为x，根据2018年及2020年该村人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据2021年该村的人均收入=2020年该村的人均收入×（1+增长率），即可求出结论． 【详解】解：（1）设2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为x， 依题意，得：30000（1+x）2=36300， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）． 答：2018年到2020年该村人均收入的年平均增长率为10%． （2）36300×（1+10%）=39930（元）． 答：预测2021年该村的人均收入是39930元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例计算解题即可． 【详解】解:根据题意可知, 均垂直于地面, ， ， ， ， ， 解得 ， ∵小明恰好看到在镜子里点 和点 重合 ， ， ， ， ， 解得 米． 20. 如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，勾股定理，掌握平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）结合平行四边形的性质，利用“”证明全等即可； （2）由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再由勾股定理得到，从而得出，证明四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 21. 在月日“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：时），把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：．根据调查情况，给出了部分数据信息： 档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，； 图和图是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将条形统计图补充完整； （2）已知该校共名学生，请你估计该校档的学生人数； （3）该校要从档名学生中随机抽取名分享读书经验，已知这名学生中，名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率． 【答案】（1）人，见解析 （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算出档人数，则利用档人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，接着计算出档人数，然后补全条形统计图； （2）用乘以样本中档人数所占的百分比即可； （3）先列出表格展示种等可能的结果，再找出抽到的名学生来自不同年级的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：档和档共有个数据，而档有人， 档共有（人）， 本次调查的学生人数为（人）， 档的人数为（人）， 补全条形统计图如下： ； 【小问2详解】 解：（人）， 故该校档的学生人数为； 【小问3详解】 解：用表示七年级学生，用和分别表示八年级学生，用表示九年级学生，列表如下： 由上表可知，共有种等可能出现的结果，其中抽到的名学生来自不同年级的结果有种， 所以抽到的名学生来自不同年级的概率． 【点睛】本题考查了画条形统计图、样本估计总体、列表法、概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求面积； （3）在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题、求一次函数解析式、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标为，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．先求出直线的解析式，即可得解． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ． 一次函数的解析式为． 将点代入，得， ． 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：在反比例函数中，令，得． 点的坐标为． ． 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求． 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为． 令，得． 点的坐标为． 23. 【问题背景】如图，点是菱形的对角线上一点，连接，延长后交于点，交的延长线于点． 【知识技能】 （1）求证：； 【数学理解】 （2）若点为的中点，求的值； 【拓展探索】 （3）若菱形的边长为，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得，，利用即可得证； （2）由中点的定义得，结合菱形的性质证明，得，证明，得，可得结论； （3）根据菱形的性质及三角形内角和定理，，继而推出，，，证明，得，继而得到，即，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形且点是菱形的对角线上一点， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：∵点为的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，． ∴， ∴， 即的值为； （3）∵菱形的边长为，，， ∴， ，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， 解得：（舍去），， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等角对等边等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$