18.1：平行四边形【9大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

18.1：平行四边形 【考点梳理】 · 考点一：平行四边形的性质 · 考点二：平行四边形的性质求解 · 考点三：判断平行四边形 · 考点四：添加条件为平行四边形 · 考点五：证明平行四边形 · 考点六：三角形中位线问题 · 考点七：三角形中位线的实际应用 · 考点八：三角形中位线的证明问题 · 考点九：平行四边形判定和性质综合问题 【知识梳理】 知识点01：平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 如图,在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 知识点02:平行四边形的性质： (1)对边平行且相等； (2)对角相等、邻角互补； (3)对角线互相平分； （4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 【解题技巧】 (1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． （4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE． （6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 知识03：平行四边形的判定： 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 知识点04：三角形的中位线 (1)三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (2)三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点。则DE∥BC,且DE=1/2 BC 【题型归纳】 题型一：平行四边形的性质 1．（2025八年级下·全国）如图，在中，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东惠州）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：平行四边形的性质求解 4．（24-25九年级下·山西长治·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025八年级下·全国）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 6．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三：判断平行四边形 7．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 8．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 题型四：添加条件为平行四边形 10．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 题型五：证明平行四边形 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 14．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点E在上，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求长． 题型六：三角形中位线问题 16．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 17．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 18．（23-24八年级下·全国·单元）如图，的周长为36，对角线、相交于点O，E是中点，的周长是13，则的长为（　　）    A．10 B．8 C．6 D．4 题型七：三角形中位线的实际应用 19．（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 20．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（    ） A．32米 B．24米 C．20米 D．18米 21．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，两地中间有一个池塘，为测量两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别取、的中点．若测量的长为54m，则两地的距离为（  ） A．54m B．81m C．108 m D．216 m 题型八：三角形中位线的证明问题 22．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 23．（23-24八年级下·全国·期中）如图，点为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长度． 24．（23-24八年级下·四川成都）已知，如图1，中，，为的中位线，为边上一点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点． (1)求证：； (2)若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图2，延长交于点，若为2，求为何值时为直角三角形． 题型九：平行四边形判定和性质综合问题 25．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 26．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 27．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·期末）已知D，E，F分别为三边的中点，若的周长为3，则的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在平行四边形中，点F是边上任意一点，分别连接交于E，则下列各组三角形中面积不一定相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，沿直线将翻折，使点A落在点处，交于F，则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 8．（24-25九年级上·黑龙江大庆）如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的对角线交于点O，平分交于点E，且连接．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 1．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 4．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 6．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 三、解答题 1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 2．（24-25八年级下·江苏南通）如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 3．（24-25八年级下·福建福州）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 6．（23-24八年级上·北京海淀·期末）平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1：平行四边形 【考点梳理】 · 考点一：平行四边形的性质 · 考点二：平行四边形的性质求解 · 考点三：判断平行四边形 · 考点四：添加条件为平行四边形 · 考点五：证明平行四边形 · 考点六：三角形中位线问题 · 考点七：三角形中位线的实际应用 · 考点八：三角形中位线的证明问题 · 考点九：平行四边形判定和性质综合问题 【知识梳理】 知识点01：平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 如图,在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。平行四边形ABCD记作“□ABCD”,读作“平行四边形ABCD” 知识点02:平行四边形的性质： (1)对边平行且相等； (2)对角相等、邻角互补； (3)对角线互相平分； （4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 【解题技巧】 (1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． （4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE． （5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE． （6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． 知识03：平行四边形的判定： 判定方法 数学语言 图形 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） 四边形是平行四边形. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. （或）， 四边形是平行四边形. 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ， 四边形是平行四边形. 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 四边形是平行四边形. 知识点04：三角形的中位线 (1)三角形的中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (2)三角形中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点。则DE∥BC,且DE=1/2 BC 【题型归纳】 题型一：平行四边形的性质 1．（2025八年级下·全国）如图，在中，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的对边平行和平行线的性质可对A进行判断；根据平行四边形的对角相等可对B进行判断；根据平行四边形的对边相等可对A进行判断；根据平行四边形的对角线互相平分可对D进行判断． 【详解】解：A、在中， ∵， ∴， ∴该选项的结论正确，故不符合题意； B、在中，，所以该选项的结论正确，故不符合题意； C、在中，，所以该选项的结论正确，故不符合题意； D、在中，，， ∵平行四边形的对角线不一定互相垂直， ∴选项的结论错误，故符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质依次验证即可． 【详解】解：A.四边形平行四边形， ， ，故选项正确，不符合题意； B.四边形平行四边形， ，故选项正确，不符合题意； C.四边形平行四边形， ， 与的高相等， ，故选项正确，不符合题意； D.四边形平行四边形， 与不一定相等，故选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形．熟知平行四边形的性质是解题的关键．平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等． 根据平行四边形性质逐一判断，即得． 【详解】A．； ∵中，， ∴A选项不正确； B．； ∵中，， ∴B选项正确； C．； ∵中，， ∴， ∴C选项不正确； D．； ∵中，， ∴D选项不正确． 故选：B． 题型二：平行四边形的性质求解 4．（24-25九年级下·山西长治·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则（　　）度． A．40 B．35 C．30 D．50 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出的度数是解题的关键． 由平行四边形的性质得，再由三角形的外角性质得，则，然后由折叠的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∵将沿折叠至处， ， ， 故选：A． 6．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型三：判断平行四边形 7．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； ，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 8．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     B. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；         C. ，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故该选项符合题意；     D. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     故选：C． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）四边形中，对角线，相交于点O，给出下列四组条件：①；②，；③，；④，；其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法分别判断得出即可．此题主要考查了平行四边形的判定方法，准确无误的掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图， ①根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判定这个四边形是平行四边形； ②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②不能判定这个四边形是平行四边形； ③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判定这个四边形是平行四边形； ④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判定这个四边形是平行四边形； 一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有2组， 故选：C． 题型四：添加条件为平行四边形 10．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 11．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故C正确． D．∵， ∴， ∴无法判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 12．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， ， 当时，四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 当时，，四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 当时，四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 当时，不能推出四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 题型五：证明平行四边形 13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．先用证明得，．再根据得出，即可由平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】证明：，， ． 在与中，， ． ，． 又， ． ． 又， 四边形是平行四边形． 14．（2025·湖南娄底·一模）已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 15．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，点E在上，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质以及勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）证，再由，即可得出结论； （2）先由，再由勾股定理求出，然后由角平分线的性质得，最后由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴． 题型六：三角形中位线问题 16．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故选：B． 17．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的周长为38，对角线相交于点O，点E是的中点，的周长为15，则的长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．23 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 由平行四边形的性质及周长为38得到 ，由点E是的中点得到是的中位线，，则，由的周长为15得到，求出，即可得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，其周长为38，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵的周长为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，的周长为36，对角线、相交于点O，E是中点，的周长是13，则的长为（　　）    A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形性质，三角形中位线性质，线段中点的特点，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．根据题意得到，结合平行四边形性质，线段中点的特点，三角形中位线性质得到，，，再根据的周长是13，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：的周长为36， ， 对角线、相交于点O， ，， E是中点， ，， 的周长是13， ， 即， 解得， ． 故选：B． 题型七：三角形中位线的实际应用 19．（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 20．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（    ） A．32米 B．24米 C．20米 D．18米 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线的应用，根据三角形的中位线性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵的中点分别为点M，N， ∴， ∵米， ∴米， 故选：A． 21．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，两地中间有一个池塘，为测量两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别取、的中点．若测量的长为54m，则两地的距离为（  ） A．54m B．81m C．108 m D．216 m 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理．根据三角形中位线定理，由的长即可求得两地的距离为的长的2倍． 【详解】解：分别是、的中点 是的中位线 m m． 故选：C． 题型八：三角形中位线的证明问题 22．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，和的角平分线，交于边上的点． (1)求证：E为的中点； (2)若点F为的中点，连接交于点G．写出与间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，，而，，所以，，则，，所以，则为的中点； （2）取的中点，连接，由三角形的中位线定理得，，即可证明，，推导出，则，得，由，，得，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 点在边上，且平分，平分， ，， ，， ，， ， 为的中点． （2）解：，理由如下： 取的中点，连接， 点为的中点， ，， ∵，，且， ，， ， 在和， ， ， ， ， ∵， ， ，且， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 23．（23-24八年级下·全国·期中）如图，点为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接、、， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ． 24．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知，如图1，中，，为的中位线，为边上一点，连接，以为一边在右侧作，使，且，连接并延长交直线于点． (1)求证：； (2)若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图2，延长交于点，若为2，求为何值时为直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)理由见解析 (3)的长为或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由等腰三角形的性质可得，由全等三角形的性质和平行线的性质可得，可证即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解 【详解】（1）证明：∵ ∵为的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴在和中， ∴ （2）解：理由如下， 连接 ∵，点E是的中点， ∵， ∵ ∴； （3）解：如图，设与的交点为 ∴ ∴当点Q与点N重合时，为直角三角形， ∴ ∵点D是的中点， ∴ ∴ 当时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 综上，的长为或． 题型九：平行四边形判定和性质综合问题 25．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知和均是等边三角形，点D在线段上，过点E作，交B于点F，交于点G，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识正确的识别图形是解题的关键． （1）由证明得出， ，由平行线的性质得出，得出，证出，得出，即可得出结论； （2）由（1）得到，，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 26．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是． 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点G，因为，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再根据三角形中位线定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 27．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，在等边中，、两点分别在边、上，连接，以为边向右作等边，连接． 【初步发现】（1）求证：为等边三角形； 【深入探究】（2）求证：四边形为平行四边形； 【拓展延伸】（3）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（）根据等边三角形得和，以及和，则，可证，有，，再证，即可得出结论； （）由等边三角形得和，则，可得，进一步得，即可得出结论； （）过作于，则，由（）可知，，求得，结合等边三角形求得和，利用勾股定理得，然后用面积公式即可求解． 【详解】证明：（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图，过作于， 则， 由（）可知，， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·期末）已知D，E，F分别为三边的中点，若的周长为3，则的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，进行求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴为的中位线， ∴分别为三边长的一半， ∵的周长为3， ∴， ∴的周长； 故选C． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在平行四边形中，点F是边上任意一点，分别连接交于E，则下列各组三角形中面积不一定相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形对边相等且平行是解题的关键． 根据平行四边形得到对边相等且平行，继而得到平行线间的距离处处相等，那么根据共高三角形面积问题化为底的问题即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴和面积相等； ∵，， ∴和等底等高，因此面积相等； ∵， ∴和共底等高， ∴和面积相等， ∵和含有公共部分， ∴和面积相等， 对于和的面积证明不了相等， ∴A、B、D正确，不符合题意，C错误，符合题意， 故选：C． 3．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，平行四边形中，，，沿直线将翻折，使点A落在点处，交于F，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及翻折变换，根据翻折变换以及平行四边形的性质找出是解题的关键．由平行四边形的性质可得出，进而得出，再根据翻折的性质以及三角形内角和即可求出，此题得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 由翻折可知：，． ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，点为上的动点，点，分别为，的中点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短问题，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，先根据勾股定理求出，由题意可知，是的中位线，得到，当最小时，的值最小，当时，最小，利用等面积法求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当最小时，的值最小， 当时，最小， 此时，， 即， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可判断结论①正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论②和④正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论③正确． 【详解】解：∵，， ∴和都是直角三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，即，结论①正确； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，结论②和④都正确； 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，结论③正确； 综上，结论正确的个数有4个， 故选：D． 7．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，对角线相交于点为的四等分点，为的中点．若，则的长是（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行四边形得到为的中点，继而得到为的中位线，为的中位线，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点， ∵点为的四等分点，的中点， ∴点为的中点， ∵为的中点， ∴， ∵的中点，为的中点， ∴， 故选：C． 8．（24-25九年级上·黑龙江大庆）如图，点E、F分别是的边、上的点，，，将四边形沿翻折，得四边形，交于点G，则的周长为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定，根据平行四边形的性质得到，由平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，推出是等边三角形，于是得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，得到，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长， 故选：D． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的对角线交于点O，平分交于点E，且连接．下列结论：①；②；③，④，成立的个数有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中位线的性质，解本题的关键在证得是等边三角形． 利用平行四边形的性质可得，利用角平分线的性质证明是等边三角形，然后推出，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 平分， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴，故①正确； ， ， ， ∴，故②正确； ， ∴是的中点， ，故③错误； ， ， ， ，故④正确， 故正确的个数有3个， 故选：C． 二、填空题 1．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，平分，于点D，点E为的中点．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，延长，交于点，证明，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长，交于点，    ∵平分， ∴ ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：2． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，为上一点，，平分，，分别是，的中点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、角平分线的性质．首先根据三角形中位线的性质可知，根据平行四边形的性质可知，根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证，根据等角对等边可得，从而可得． 【详解】解：，分别是，的中点，， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵点分别为三边的中点， 是周长为2的三角形， ， 的周长， 故答案为1． 4．（24-25八年级上·上海·期中）如图所示，已知是平行四边形的边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，如果的周长为，的周长为，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及翻折变换，由折叠性得，， 根据题意可得，， 则，再根据平行四边形的性质可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性得，， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴的周长的周长平行四边形的周长， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，G，H分别为的中点，连接．若，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查三角形中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线，理解当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大是解题关键．连接，由G，H分别为的中点，结合三角形中位线定理可知．最后根据当时，最短，即此时最小；当点F与点C重合时，最长，即此时最大解答即可． 【详解】解：如图，连接． ∵G，H分别为的中点， ∴． 当时，最短，即此时最小，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 当点F与点C重合时，最长，即此时最大，如图，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 故答案为：，． 三、解答题 1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点作，交于点P，交于点，得四边形是平行四边形，构造，证明，，再由勾股定理求出即可解答． 此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作，交于点P，交于点，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∵ ，由（1）知，， ∴， ∴，， 同理可得： ∴ ∴在中，， 即， 故， ∴． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若与交于点G，且，，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证； （2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵等边和等边， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 过G作于H， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键． 3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 【分析】（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明； （2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点为中点， ∴， 由翻折得：， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．    (1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________． (2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解． （2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由折叠知， 由折叠知， ∵， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， 故答案为：，； （2）证明：由折叠知，，． ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ， ， ， ，点在延长线上， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·北京海淀·期末）平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）取的中点P，连接，证，得，再证，进而证，然后证是等边三角形，得，即可得出结论； （2）①依题意补全图形即可； ②过点A作于点G，过M作于点H，证和是等腰直角三角形，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）如图1， 取的中点P，连接， 则， ∵M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的度数为； （2） ①依题意补全图形如图2， ②，证明如下： 如图3， 如图 3，过点作于点，过作于点， 则， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$