精品解析：广西壮族自治区百色市田阳区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024－2025学年度上学期期末学业水平测试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1、答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象如图所示，则方程的解可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（　　） A. 点一定在第四象限 B. 若，则点表示原点 C. 已知点轴，且，则B点的坐标为 D. 已知点与点，则直线平行y轴 7. 如图，已知在中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　　） A. 1.8 B. 2.2 C. 3.5 D. 3.8 9. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 11. 小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度与图形个数之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（ ）时，与全等． A. 3 B. 4 C. 5 D. 3或5 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题2分，共12分） 13. 一次函数的图象不经过第______象限． 14. 命题“若，则”的逆命题是___________（填“真”或者“假”）命题． 15. 如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的________． 16. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个） 17. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为_____． 18. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是______ 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤） 19. 如图，平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴的对称图形； （2）画出向左平移4个单位长度后得到的； （3）如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是______． 20. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．将该“函数求值机”得到的几组与的对应值记录在下面表格中． 输入 …． 0 1 … 输出 … m 1 7 … （1） ． （2）表格中有一个的值记录错误，这个错误的值是 ，应改为 ． （3）利用正确的数据求出与的值． 21. 如图所示，在中，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． （2）连接，求的周长． 22. 如图，过点的直线与直线交于． （1）求点的坐标． （2）直线上是否存在点，使得的面积为5．若存在，请求出点的坐标． 23. 如图 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，从点A向东走到点B，测得， 如图2，从点A向东走到点B并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点C，再向南走到达点D，恰好使得树、标杆、人在同一条直线上． 如图3，从点A出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得， 测量示意图 （1）第二小组认为只要测得的长就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 24. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 25. 随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况． （1）若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为，元，请你直接写出两个草莓园付款金额，于采摘草莓的重量千克的函数表达式及自变量的取值范围． （2）佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？如果不正确请通过计算说明． 26. 经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期期末学业水平测试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟；满分：120分） 注意事项： 1、答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑；答第Ⅱ卷时，请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是基础，找到对称轴是关键． 2. 下列函数中，是的正比例函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、不是正比例函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项不符合题意； D、，是正比例函数，故本选项符合题意； 故选：D. 【点睛】此题主要考查了正比例函数的定义，注意把握正比例函数的概念是解题关键． 3. 如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，熟练掌握象限内点的坐标特征是解本题的关键．象限内点的坐标特征：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）．根据象限内点的坐标特征，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，这个点在第二象限， ∵在第一象限， 故A不符合题意； ∵在第二象限， 故B符合题意； ∵在第三象限， 故C不符合题意； ∵在第四象限， 故D不符合题意． 故选：B． 4. 如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 由三角形三边之间的关系可得，即，再结合各选项数据即可得出答案． 【详解】解：由三角形三边之间的关系可得： ， 即：， ，之间的距离不可能是， 故选：． 5. 已知一次函数的图象如图所示，则方程的解可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．观察图形得：当时，，即可求解． 【详解】解：观察图形得：当时，， 观察四个选项，方程的解可能是． 故选：C． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 点一定在第四象限 B. 若，则点表示原点 C. 已知点轴，且，则B点的坐标为 D. 已知点与点，则直线平行y轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题的关键．本题直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析即可得出答案． 【详解】A．当时，点在x轴上，故该选项错误，不符合题意； B．若，则点可能在轴上，可能在y轴上，也可能表示原点，故该选项错误，不符合题意； C．已知点轴，且，则B点的坐标为或，故该选项错误，不符合题意； D．已知点与点，则直线平行轴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，已知在中，，嘉淇通过尺规作图作的角平分线，交于点，已知的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图及角平分线的性质，掌握基本的尺规作图和角平分线的性质是解题的关键．过作,根据作角平分线的基本作法可得平分,根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图：过作, 由作图可得平分,, 的面积为. 故选：C 8. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　　） A. 1.8 B. 2.2 C. 3.5 D. 3.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解． 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°， ∴AC＝AB＝×4＝2， ∵点P是BC边上的动点， ∴2≤AP≤4， ∴AP的值不可能是1.8． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键． 9. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比．因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 10. 如图，在和中，，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④．则上述结论中正确的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质，即可推出，可得，，即可推出，然后可得，即可推出． 【详解】解：，， 和为等边三角形， ， ， 则在和中，， ，故①符合题意； ， 则在和中，， ，故②符合题意； ， 则在和中，， ，故③符合题意； 但不一定成立，故④不符合题意； 故选：B． 11. 小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度与图形个数之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，根据规律即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 当两个图拼接时，总长度为：； 当三个图拼接时，总长度为：； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：， ∴y与x的关系式为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图形的拼接规律得出y与x的关系式是解题的关键． 12. 如图，已知中，，．点在线段以的速度由点向终点运动，同时，点在线段以的速度由点向终点运动，点在线段上以的速度由点向终点运动．当点D，P，Q任意一点到达终点时，三点同时停止运动．当的值为（ ）时，与全等． A. 3 B. 4 C. 5 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 首先根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为，设运动时间为t，则，，，然后表示出，，，然后根据题意分两种情况讨论：和，然后分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴根据题意得，点D的运动时间为，点P的运动时间为， 设运动时间为t，则，， ∴，， ∵ ∴ ∴当时 ∴， ∴， ∴， ∴当时 ∴， ∴， ∴（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为5时，与全等． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每小题2分，共12分） 13. 一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据一次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵一次函数的k<0，b<0， ∴函数经过第二、三、四象限， 故答案为：一． 【点睛】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 14. 命题“若，则”的逆命题是___________（填“真”或者“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了逆命题与判断命题的真假，写出逆命题，举出反例，由此即可得出答案． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”， 不妨设，，满足，但， ∴“若，则”是假命题， 故答案为：假． 15. 如图，把手机放在一个支架上面，可以使它稳固起来，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可完成解答． 【详解】由于三角形具有稳定性，所以这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的这一特性是关键． 16. 如图，，相交于点，，要使≌，添加一个条件是______．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【详解】解：，，， ∴≌（SAS）， 要使≌，添加一个条件是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 17. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用一次函数图象交点求不等式的解集，正确理解一次函数图象的交点与不等式的解集的关系是解题的关键．根据不等式, 即为, 即为直线的图象在直线图象的上方（含交点）的的值，根据图象直接解答即可． 【详解】解：由图象得，直线与直线交点的横坐标为2， 当时，直线的图象在直线图象的上方（含交点）， 不等式的解集为， 故答案为：． 18. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是______ 【答案】12° 【解析】 【详解】设∠A=x， ∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A， ∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x． ∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∠P3P2P4=∠P11P13P12=3x， ……， ∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x． ∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x． 在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°． 解得x=12°，即∠A=12°． 故答案为：12° 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，说明过程或演算步骤） 19. 如图，平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于x轴的对称图形； （2）画出向左平移4个单位长度后得到的； （3）如果上有一点经过上述两次变换，那么对应上的点的坐标是______． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2）如图所示，即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向左平移4个单位长度，再把得到的点首尾顺次连接即可； （3）根据“关于x轴对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数”及“右加左减、上加下减”求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 上有一点关于x轴的对称的点为，向左平移4个单位长度后得到的点的坐标是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点． 20. 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．将该“函数求值机”得到的几组与的对应值记录在下面表格中． 输入 …． 0 1 … 输出 … m 1 7 … （1） ． （2）表格中有一个的值记录错误，这个错误的值是 ，应改为 ． （3）利用正确的数据求出与的值． 【答案】（1） （2）1，2 （3）， 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． （1）将代入，求出答案即可； （2）将，代入得二元一次方程组，解方程组得出答案； （3）由（2）即可得到结论． 【小问1详解】 解：由时，，可得 当时，； 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察表格可知，输入时，的值是错误的， 把，和，代入得： ， 解得， ∴， 当时，， ∴表格中有一个的值记录错误，这个错误的值是1，应改为2； 故答案为：1，2； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∴，． 21. 如图所示，在中，． （1）尺规作图：作边的垂直平分线交、于D、E两点． （2）连接，求的周长． 【答案】（1） 如图所示，是边的垂直平分线． （2）的周长是 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图之作线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，前后弧相交，然后过弧交点作直线交于E，于D即可； （2）由垂直平分得，从而即可求得的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是边的垂直平分线， ， ， 又， ， 答：的周长是． 22. 如图，过点的直线与直线交于． （1）求点的坐标． （2）直线上是否存在点，使得的面积为5．若存在，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）直线上存在点或，使得的面积为5 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）联立方程组即可求解； （2）先求出，再求得，设点，则，解得．再求解即可． 【小问1详解】 解：由已知得， 解得， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 解：直线上存在点，使得的面积为5． 把代入， 则， 解得， 所以， 又， ， 设点， 则，解得． 当时，，解得， 所以． 当时，，解得， 所以 答：直线上存在点或，使得的面积为5． 23. 如图 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 如图1，从点A向东走到点B，测得， 如图2，从点A向东走到点B并插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点C，再向南走到达点D，恰好使得树、标杆、人在同一条直线上． 如图3，从点A出发，沿着南偏东的方向走到点B，测得， 测量示意图 （1）第二小组认为只要测得的长就能得到河宽，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． （2）请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出河宽． 【答案】（1） 证明：第二小组的方案可行，理由如下， ∵点在点的正北方，从点向正东走到点， ∴， ∵点在点的正东，从点向南走到点， ∴点三点共线，， ∴， ∵树，标杆，人在一条直线上， ∴，且， ∴， ∴， ∴第二小组的方案可行； （2） 第一小组，根据题意，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴河宽； 第三小组，根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴河宽． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意可得，可证，所以，由此即可求解； （2）选择第一小组，可证是等腰直角三角形，可得，可得河宽；选择第三小组，可证是等腰三角形，可得，可得河宽． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）先求得，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 25. 随着人们生活水平的提高，大家更加注重周末娱乐生活的质量，而以“亲近自然”为主题的周末休闲生活方式深受人们喜爱．近期，又是到草莓上市的季节，各草莓园纷纷推出采摘草莓优惠活动．以下是两个草莓采摘园的活动情况． （1）若欣欣草莓园和乐乐草莓园的付款金额分别记为，元，请你直接写出两个草莓园付款金额，于采摘草莓的重量千克的函数表达式及自变量的取值范围． （2）佳佳一家人计划周末去草莓园进行采摘草莓体验．佳佳妈妈根据欣欣草莓园和乐乐草莓园的活动方案，认为去乐乐草莓园摘草莓更划算！请问：佳佳妈妈的说法正确吗？如果不正确请通过计算说明． 【答案】（1）， （2） 解：佳佳妈妈的说法不正确． 当时，， ∴ ∴去乐乐草莓园摘草莓更划算． 当时，当时，，解得 所以，当采摘草莓小于4千克时，去乐乐草莓园划算； 当时，，解得 所以，当采摘草莓大于4千克时，去欣欣草莓园摘草莓更划算． 当时，，解得 所以，当采摘草莓4千克时，两家一样划算． 综上，佳佳妈妈的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用-方案问题，解不等式，熟练掌握一次函数与不等式的关系是解题的关键． （1）根据付款金额=数量×单价或付款金额=数量×单价×打折率，列函数关系式，注意：计算欣欣草莓园付款金额时，分两种情况：当时，当时，分别求解； （2）根据当时，；当时， ；；；分别列不等式与方程求解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：当时，， 当时，， ∴， ． 【小问2详解】 略 26. 经过顶点的一条直线，．分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，， 则 ； （填“”，“”或“”）； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 【答案】（1）①；； ②所填的条件是：． 证明：在中，． ，． 又，． 又，， ． ，． 又，． （2）． 【解析】 【详解】（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|； ②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°． （2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $