精品解析：江苏省东台市第一高级中学2024-2025学年高三下学期二模热身考试数学试题

高三年级二模热身考试 数学试题 考试时间120分钟，总分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，B，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】解不等式得：，则， 解不等式得：，则，， 所以. 故选：C 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算，再利用复数的除法运算求，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】， 所以， 则. 故选：D 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据再利用分段函数定义即可求得的值. 【详解】由题意可知，，满足 所以. 故选：B 4. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率计算公式直接计算即可. 【详解】，. 故选：D. 5. 已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为P，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆和双曲线的定义，求出，由椭圆，得，利用向量数量积的定义结合余弦定理求. 【详解】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，有，解得， 由椭圆方程，得， 所以. 故选：B. 6. 若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】计算出、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差. 【详解】由题意可知，数据、、、的平均数为，则，则 所以，数据、、、的平均数为 ， 方差为， 所以，， 将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为 ， 方差为 . 故选：A. 7. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 60 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】分社区只有甲和社区还有另一个志愿者两种类型，利用分步计数原理结合排列组合知识求不同的安排方法数. 【详解】分两种情形：①社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有； ②社区还有另一个志愿者，此时有， ，甲恰好被安排在 A 社区有60种不同安排方法. 故选：C. 8. 若正数，，满足（为自然对数底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令可知在上单调递增，即可判断，再令，即可判断. 【详解】令，显然在上单调递增， 又，，为正数，所以，即，所以， 令，则在上单调递增，又，即，所以， 综上可得. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由已知得， 所以或， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 最小的10个正零点之和为 C. 是的一个周期 D. 在处的切线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断A；令，求出对应最小的10个正零点的和可判断B；利用周期定义可判断C；求出，求出在处的切线方程可判断D． 【详解】对于A，因为，所以不是奇函数，故A错误； 对于B，令，得，即， 所以或或或， 即，当时，对应最小的10个正零点为 ， 它们的和为，故B正确； 对于C，由于，故C正确； 对于D，，，，所以在处的切线方程为，故D正确． 故选：BCD. 11. 下列物体，能够被半径为的球体完全容纳的有（ ） A. 所有棱长均为的四面体 B. 底面棱长为，高为的正六棱锥 C. 底面直径为，高为的圆柱 D. 上､下底面的边长分别为，高为的正四棱台 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出正四面体外接球的半径，将此半径与所给球的半径比较大小即可判断A；可假设正六棱锥的外接球半径为2m，底面棱长为1m，求出此时正六棱锥的高，将求出的高与所给高进行比较可判断B；求出底面直径为，高为的圆柱外接球的半径可判断C；求出上､下底面的边长分别为，外接球的半径为正四棱台的高可判断D. 【详解】对于A，设所有棱长均为的四面体的外接球的球心为，顶点在底面的射影为， 外接球的半径为，则，， 因为，所以，解得，故A正确； 对于B，底面棱长为的正六棱锥的底面外接圆的半径为， 并设此时的外接球的半径为设球心到底面的距离为， 则由球的性质可知，解得或（舍去）， 此时正六棱锥的高的最大值为，故B正确； 对于C，圆柱的底面半径为，高的一半为，设其外接球的半径为， 所以，故C错误； 对于D，正四棱台中，上底面的对角线长为，上底面外接圆的半径长为， 下底面的对角线长为，下底面外接圆的半径长为， 易知外接球的球心在正四棱台的上、下底面中心的连线上，且在上底面的下方， 设球心到上底面的距离为，球的半径为， 当球心在两底面之间时，球心到下底面的距离为， 则，解得，符合题意； 当球心在下底面上或下方时，球心到下底面的距离为， 则，解得，不符合题意， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题解题的思路是利用空间几何体的结构特征、外接球结合每个选项的条件，逐一对各个选项分析判断. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得展开式的通项为，令，运算求解即可. 【详解】因为的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数是. 故答案为：. 13. 在等比数列中，已知，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】设数列的公比为，由条件结合等比数列性质可得，分类讨论求解即可. 【详解】设数列的公比为，由于，则， 若，则矛盾， 则，此时，符合． 所以. 故答案为：. 14. 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先求某产品两轮检测合格的概率，X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算. 【详解】由题意得该产品能销售的概率为,易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B， 所以， 所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝ ， P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝， P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝, 故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解； （2）先利用正弦定理求出，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：， 即， 由余弦定理得：， 因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理：， ， 则， 又因为代入得： ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3． 16. 已知，，，. （1）讨论的单调性； （2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）分析和时函数的单调性可得结果. （2）根据导数的几何意义表示切线斜率，结合两函数值域之间的包含关系可求b的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，函数定义域为. ∵，∴. 若，则，在上单调递减. 若，令得， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，， ∵，∴， ∴曲线上任意一点处的切线斜率为，曲线上的任意一点处的切线斜率为. 由题意得，对任意的，总存在，使得等式成立， 将等式变形为，则函数的值域是函数值域的子集. 由得，，故函数的值域为， ∴. ∵， ∴，解得或， ∴实数b的取值范围是. 17. 如图，在四棱台中，已知，. （1）证明：平面； （2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 在四边形中，， ，，， 又平面， 平面而平面，. 又平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的定义证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据四棱台的体积写出各点坐标即可计算出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 如图建系， ， ，设平面的一个法向量， ，取，则， 平面的一个法向量，设二面角的平面角为， 显然为锐角，. 18. 设数列满足：对任意正整数，有. （1）求数列的通项公式； （2）若抽去数列中的第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，记数列的前项和为.已知对于任意的正整数，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求解即可； （2）利用分组求和，求出，然后利用函数的单调性求最小值即可. 【小问1详解】 当时，由题意得. 当时，， 得，即. 经验证可知也满足上式，所以的通项公式为. 【小问2详解】 数列为：，，，，，，，，… 所以奇数项是以为首项，为公比的等比数列， 偶数项是以为首项，为公比的等比数列. . . ，显然是关于的增函数， 所以.又对于任意的正整数，恒成立，即恒成立， 所以的最大值为. 19. 已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． （1）求的方程． （2）若过点的直线与的左、右两支分别交于两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值， 【解析】 【分析】（1）首先根据离心率，和双曲线方程，列式即可求解； （2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为． 由题意可得，解得， 所以的方程为． 【小问2详解】 为定值，理由如下： 由（1）知，设直线， 联立方程得，消去，整理可得， ， ，同理． 直线过点且与的左、右两支分别交于两点， 两点在轴同侧，，此时，即． ， ，为定值． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线联立，解决定值的问题，本题的关键是利用坐标表示和，并求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级二模热身考试 数学试题 考试时间120分钟，总分150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 设全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆和双曲线的公共焦点为，在第一象限内的交点为P，则（ ） A. B. C. D. 6. 若一组样本数据、、、的平均数为，另一组样本数据、、、的方差为，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 60 D. 96 8. 若正数，，满足（为自然对数底数），则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 最小的10个正零点之和为 C. 是的一个周期 D. 在处的切线方程为 11. 下列物体，能够被半径为的球体完全容纳的有（ ） A. 所有棱长均为的四面体 B. 底面棱长为，高为的正六棱锥 C. 底面直径为，高为的圆柱 D. 上､下底面的边长分别为，高为的正四棱台 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数是____________． 13. 在等比数列中，已知，则______． 14. 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的最小值． 16. 已知，，，. （1）讨论的单调性； （2）若，曲线的任意一条切线，都存在曲线的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围. 17. 如图，在四棱台中，已知，. （1）证明：平面； （2）若四棱台的体积为，求二面角的余弦值. 18. 设数列满足：对任意正整数，有. （1）求数列的通项公式； （2）若抽去数列中的第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，记数列的前项和为.已知对于任意的正整数，恒成立，求的最大值. 19. 已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． （1）求的方程． （2）若过点的直线与的左、右两支分别交于两点（不同于双曲线的顶点），问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $