精品解析：山西省汾阳中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

汾阳中学2024级高一第二学期第一次月考 数学试题 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，梅小迪5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，利用两角和与差的余弦公式求解值，判断选项. 【详解】由终边上一点坐标为，则， 则. 故选：D. 2. 在中，点D在边上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】因为点D在边上，且， 所以. 故选：C. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故， 所以. 故选：D 4. 已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍. 【详解】因为与共线，所以，解得或. 若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去； 若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式及余弦二倍角公式即可求解； 【详解】由， 可得， 即， 所以， 故选：C 6. 为了得到函数的图象，只需要把函数上所有的点（ ） A. 向右平移个单位，横坐标变为原来的倍 B. 向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍 C. 横坐标变为原来的倍，向左平移个单位 D. 横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】由，依据函数 的图象平移伸缩变换的规则逐一判定即可. 【详解】，向右平移个单位，，横坐标变为原来的倍， 可得 故选：A 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称 D. 将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象得最小正周期，得，利用五点作图法求出，根据求出，可得B不正确；A不正确；再根据图象变换规律可得C正确；D不正确. 【详解】由图可知，则，则，， 由五点作图法可知，，即，故B不正确； 由，得，得，故A不正确； 由以上得，将的图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，其图象关于轴对称，故C正确； 将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象，故D不正确. 故选：C 8. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（ ） A. 转动后点距离地面 B. 第和第点距离地面的高度相同. C. 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D. 转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 【答案】B 【解析】 【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断. 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，， 所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ， ， 所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则， 由，解得， 考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得 当时，，当时，， 即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误； 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设都是非零向量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若的夹角为钝角，则 B. 若，则 C. 若，则的夹角为锐角 D. 若，则与同向 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义判断A、C；向量的加减法几何意义判断B；共线向量的充要条件判断D. 【详解】对的夹角为钝角，则， 所以，正确； 对，当时，易知：以为邻边的平行四边形是矩形，所以正确； 对，当同向共线时，有，所以错误； 对，所以与反向，错误. 故选： 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则m取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数性质一一判断即可. 【详解】由函数图象可得，由，解得，故A正确； 所以，又函数过点，即， 所以，，即，，又，所以， ∴， 对于B：当时，， 所以的图象不关于点对称，故B错误； 对于C：将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D：当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又，，， 故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误． 故选：AC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的周期为 C. 是的一个对称中心 D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】先用倍角公式合并，再作出图象，利用图象性质进行判断. 【详解】，画出函数图象，如图所示： 根据图象，过最值点和零点的垂线都是对称轴，， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 函数周期，故B正确； ，则是的一个对称轴，无对称中心，故C错误； 当时，，此时，且单调递减，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量与夹角为，，， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量为． 故答案为：. 13. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，根据题意，利用向量的线性运算可得，由三点共线可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 取中点，则，， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 故答案为：. 14. 若将函数的图象向右平移个单位得到图象，且图象过点，若关于的方程在上恰有一个实数解，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数，结合函数图象变换，得到，进而得到，根据题意，转化为在上恰有一个实数解，得到不等式，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，函数， 函数的图像向右平移个单位得到， 因图像过点，可得， 又因为，可得，所以， 又由关于的方程在上恰有一个实数解， 即在上恰有一个实数解， 因为，可得， 则满足， 可得， 若不存在时，则满足或，解得或； 若存在时，则， 当时，可得，解得， 当时，可得，此时不存在， 综上可得，的取值范围是. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法： 1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式； 2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量、，若，，. （1）求向量、的夹角； （2）若且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在等式两边平方，结合平面向量数量积的运算性质可求得向量、的夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围即可得解； （2）由已知可得，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得. 【小问1详解】 解：因为，则 ，所以，， 又因为，因此，，即向量、的夹角为. 【小问2详解】 解：因为且，则 ，解得， 因此. 16. 已知函数． （1）补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 【答案】（1）答案见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可； （2）根据三角函数图象平移变换求出的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可． 【小问1详解】 0 x 0 2 0 0 【小问2详解】 易知， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以对称中心的坐标为 17. 已知函数，，是函数的零点，且的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，若，，求的值. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；(Ⅱ)根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果. 【详解】(Ⅰ) 的最小值为 ,即 (Ⅱ)由(Ⅰ)知： 又 ， 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型. 18. 已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y. （1）写出y与x的函数关系式，并化简； （2）求矩形面积的最大值，并求此时x的取值. 【答案】（1）， （2）当时， 【解析】 【分析】（1）利用锐角三角函数表示出，，，再根据及三角恒等变换将函数化简，即可得到函数关系式； （2）根据正弦函数的性质计算可得； 【小问1详解】 解：在直角中，，， 在直角中，， 又， 所以， 所以 ， 即，. 【小问2详解】 解：因为，所以，所以当，即时，. 19. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为. （1）若，求AB之间的曼哈顿距离和余弦距离. （2）已知，若 ①求； ②若动点满足，求围成封闭图形的面积. 【答案】（1），余弦距离为. （2）①；②200 【解析】 【分析】（1）利用曼哈顿距离和余弦距离的公式求解； （2）①先利用余弦相似度求得，，再利用曼哈顿距离求解；②由求得动点围成的封闭图形是正方形求解. 【小问1详解】 解：； 故余弦距离为. 【小问2详解】 ①因为； 所以； 因为，所以； ； 因为，则 ； ； ，即； ②，则， 所以 动点围成的封闭图形是正方形，如图所示： 其边长为，故围成的面积为200. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于理解距离新定义，结合和角的正余弦公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汾阳中学2024级高一第二学期第一次月考 数学试题 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，梅小迪5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，点D在边上，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7 4. 已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了得到函数图象，只需要把函数上所有的点（ ） A. 向右平移个单位，横坐标变为原来的倍 B. 向左平移个单位，横坐标变为原来2倍 C. 横坐标变为原来的倍，向左平移个单位 D. 横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 将的图象向左平移个单位后得到的函数的图象关于轴对称 D. 将的图象上每个点的横坐标缩小为原来的后得到的图象 8. 如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（ ） A. 转动后点距离地面 B. 第和第点距离地面的高度相同. C. 转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D. 转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设都是非零向量，则下列命题中正确的是（ ） A. 若的夹角为钝角，则 B. 若，则 C. 若，则夹角为锐角 D. 若，则与同向 10. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确是（ ）． A. B. 的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的周期为 C. 是的一个对称中心 D. 在区间上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为______． 13. 已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是______． 14. 若将函数的图象向右平移个单位得到图象，且图象过点，若关于的方程在上恰有一个实数解，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量、，若，，. （1）求向量、的夹角； （2）若且，求. 16. 已知函数． （1）补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x （2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 17. 已知函数，，是函数零点，且的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，若，，求的值. 18. 已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y. （1）写出y与x的函数关系式，并化简； （2）求矩形面积的最大值，并求此时x的取值. 19. 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为. （1）若，求AB之间的曼哈顿距离和余弦距离. （2）已知，若. ①求； ②若动点满足，求围成封闭图形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $