精品解析：广东省深圳市罗湖区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市罗湖区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上） 1. 在实数，，，3.14中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：，是整数，3.14是有限小数，它们不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：B． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 1的平方根是1 B. C. 4的算术平方根是2 D. 9的立方根是3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根、算式平方根和立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 的平方根是，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C. 的算术平方根是，故该选项符合题意； D. 的立方根是，故该选项不符合题意； 故选：C ． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：D． 4. 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些代数式，若图中横行､竖行及斜行上的三个数之和都相等，则的值为（ ） x y 2 6 0 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了整式加减的应用．首先根据各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，可得：，据此求解即可． 【详解】解：∵各行、各列及对角线上的三个数之和都相等， ∴， ∴ 故选：A． 5. 下列四个命题中，属于真命题的是（ ） A. 同角（或等角）的补角相等 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】解：A、同角（或等角）的补角相等，正确，为真命题； B、三角形一个外角大于任何一个不相邻的内角，原命题错误，为假命题； C、同旁内角互补，两直线平行，原命题错误，为假命题； D、如果∠1=∠2，那么∠1和∠2不一定是对顶角，原命题错误，为假命题， 故选A. 6. 已知一次函数，y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图像和性质选取答案即可． 【详解】解：由题意可得， ∵y随着x的增大而减小， ∴必过二四象限， ∵， ∴函数图像过一、二、四象限， 故选A． 【点睛】本题考查根据一次函数性质选择图像，解题的关键是熟知：一次函数必过一三象限，必过二四象限，向上平移，向下平移． 7. 有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，再分别根据这两数的和为39和两位数放在一位数的前面得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，即可得出方程组． 【详解】解：设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，依题意得： ， 故选D． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知正确的表示出两个三位数是解题关键． 8. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A. 17 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设，根据题意可推出，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设 根据题意可知，，，， 在中， ，即 解得： 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 比较大小：________．(填“”，“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 10. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，根据题意得出关于a的方程，即可解题． 【详解】解：将，代入， 得：， 解得：， 故答案为：2． 11. 如图，在中，，，则的度数是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．利用平行线的性质求得，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点，若，，则的度数是______． 【答案】##155度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则的长为 _________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，含和含角直角三角形的性质，勾股定理，二弄清线段之间的关系，熟练运用相关图形的性质是解题的关键．先根据勾股定理求出，进而求出，，证明出，即可求出，，解决问题． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，其中14题8分，15题6分，16题7分，17题8分，18题10分，19题10分，20题12分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算，最后根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可； 【详解】 解：①×2得 ③ ③-②得，解得 将代入①得 解得 ∴原方程组的解为 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 16. 2024年，我国成功发射火星探测器，开始了对火星的探测任务，这是中国在航天领域取得的重大突破．为弘扬航天科学精神，普及航天科学知识，某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“航天科普知识竞赛”，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩（单位：分）： 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数/分 a 7.4 中位数/分 b 8 众数/分 7 c 根据以上信息，解答下列问题； （1） ， ， ； （2）请计算八年级抽取的20名学生竞赛成绩的合格率； （3）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数． 【答案】（1）7.4，7.5，8 （2） （3）200人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数的意义和样本估计总体，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数的定义． （1）分别由平均数公式、中位数和众数的定义求解即可； （2）八年级抽取的20名学生中6分及以上的人数除以20即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：由图表可得：， ， ； 故答案为：7.4，7.5，8； 【小问2详解】 解：八年级抽取的20名学生竞赛成绩的合格率为； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人． 17. 已知一次函数，当时，当时． （1）求该一次函数的表达式； （2）请按列表、描点、连线的步骤完成本小题，先补充完整函数值表，然后再在平面直角坐标系中描点，连线作一次函数的图象． 自变量x … 0 … 函数值y＝kx+b … 0 … （3）该一次函数图象与x轴，y轴的交点分别是A，B，坐标原点为O，试猜想y轴上是否存在点D，使得若存在，请直接写出满足条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，点D的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象、一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）根据题意，先补充完整函数值表，再画出即可． （3）根据得出的长，据此求出点D的坐标． 【小问1详解】 解：由题知， ， 解得， 所以一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由（1）中所求函数表达式可知， 当时，；当时，． 描点、连线，如图所示， 【小问3详解】 解：存在． 由（2）知， 点A坐标为，点B坐标为， 所以， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以， 则，， 所以点D的坐标为或． 18. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需元． （1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？ （2）若该景区需要购买两种型号的帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），其中B种帐篷数量不少于顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）每顶种型号帐蓬元,每顶种型号帐䈽元 （2）购买A种型号帐篷4顶，购买B种型号帐篷顶，总费用最低，最低总费用为元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设每顶种型号帐蓬元,每顶种型号帐蓬元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，列出方程，即可解得答案； （2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，B种帐篷数量不少于顶，可，而，根据一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解:设每顶种型号帐蓬元,每顶种型号帐蓬元, 根据题意得:, 解得:, 故：每顶种型号帐蓬元,每顶种型号帐䈽元； 【小问2详解】 设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷顶， 种帐蓬数量不少于顶 解得：, 根据题意得:, 随的增大而减小, 当时,取最小值,最小值为(元), 答：购买A种型号帐篷4顶，购买B种型号帐篷顶，总费用最低，最低总费用为元． 19. 【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）当A、C、E'三点共线时，取得最小值17；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出； （2）作点E关于的对称点，得，根据题意，得，故当A、C、三点共线时，的值最小，以为一边构造矩形，得到利用勾股定理计算即可； （3）由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．在坐标系中画出图形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在直角三角形和直角三角形中，由勾股定理得： ，， ∴， 作点E关于的对称点，得，根据题意，得， 故当A、C、三点共线时，的值最小，如图， 以为一边构造矩形，得到 ∴在中，由勾股定理得： ， ∴当A、C、三点共线时，的值最小，且最值为17； （3）解：由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 作点B关于的对称点，得，且， 根据题意，得， 故当A、P、三点共线时，的值最小，且最小值为， 根据两点间距离公式，得 ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路线，两点之间线段最短，两点间距离公式，以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 20. 【综合探究】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②由于D是正比例函数图象上动点，根据垂线段最短，当时，取得最小值，利用勾股定理求得，证明，可得； （2）过点作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E,可证得，设，则，，建立方程求得，可得，再运用待定系数法即可求得答案； （3）设，，过点P作轴于点E，过点Q作于点F，证得，分两种情况：当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，分别求得点Q的坐标即可． 【详解】解：（1）①在中，令，得， 解得：， ∴， 令，得， ∴， 故答案为：，； ②∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，当时，取得最小值，如图1， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， 在中，， ∴AD最小值是， 故答案为：； （2）∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点， ∴，， 将直线绕点A逆时针旋转得到直线，如图2， 过点B作于点F，过点F作轴于点G，过点A作于点E， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线l的解析式为， 把，分别代入得， 解得：， ∴直线l对应的函数表达式为； （3）设，，又， ∵是以为斜边等腰直角三角形， ∴，， 当点P在直线的右侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 当点P在直线的左侧，点Q在直线的下方时，如图1， 过点P作轴于点E，过点Q作于点F， 则，，，， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省深圳市罗湖区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上） 1. 在实数，，，3.14中，无理数是（　　） A. B. C. D. 3.14 2. 下列说法正确的是（　　） A. 1的平方根是1 B. C. 4算术平方根是2 D. 9的立方根是3 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的方格内填入了一些代数式，若图中横行､竖行及斜行上的三个数之和都相等，则的值为（ ） x y 2 6 0 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 下列四个命题中，属于真命题的是（ ） A. 同角（或等角）的补角相等 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角 6. 已知一次函数，y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，钟摆的长度是（　　） A. 17 B. 24 C. 26 D. 28 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 比较大小：________．(填“”，“”或“”) 10. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为______． 11. 如图，在中，，，则度数是 ________． 12. 凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线交于点，点为焦点，若，，则的度数是______． 13. 如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则的长为 _________________． 三、解答题（本大题共7题，其中14题8分，15题6分，16题7分，17题8分，18题10分，19题10分，20题12分，共61分） 14 计算： （1）； （2）． 15. 解方程组： 16. 2024年，我国成功发射火星探测器，开始了对火星的探测任务，这是中国在航天领域取得的重大突破．为弘扬航天科学精神，普及航天科学知识，某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“航天科普知识竞赛”，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 八年级抽取的学生的竞赛成绩（单位：分）： 4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数/分 a 7.4 中位数/分 b 8 众数/分 7 c 根据以上信息，解答下列问题； （1） ， ， ； （2）请计算八年级抽取20名学生竞赛成绩的合格率； （3）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数． 17. 已知一次函数，当时，当时． （1）求该一次函数表达式； （2）请按列表、描点、连线的步骤完成本小题，先补充完整函数值表，然后再在平面直角坐标系中描点，连线作一次函数的图象． 自变量x … 0 … 函数值y＝kx+b … 0 … （3）该一次函数图象与x轴，y轴的交点分别是A，B，坐标原点为O，试猜想y轴上是否存在点D，使得若存在，请直接写出满足条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需元． （1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？ （2）若该景区需要购买两种型号的帐篷共顶（两种型号的帐篷均需购买），其中B种帐篷数量不少于顶，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 19. 【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 20. 【综合探究】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 【解决问题】 ①则点A坐标为 ；点B坐标为 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； （2）如图②，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，A两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【迁移拓展】 （3）如图③，直线的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与y轴交于点D．点P，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$