专题08 简单几何题的证明与计算（讲练，3考点+11题型+方法指导+命题预测）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（江苏专用）

专题08 简单几何题的证明与计算 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 相交线与平行线 ►题型01 相交线及其所成的角 ►题型02 平行线的性质和判定 考点二 三角形的基础 ►题型01 三角形的三边关系 ►题型02 与三角形有关线段的综合问题 ►题型03 三角形内角和定理与外角和定理综合问题 考点三 特殊三角形的性质和判定 ►题型01 线段垂直平分线的性质与判定 ►题型02 角平分线的性质与判定 ►题型03 等腰三角形的性质与判定 ►题型04 等边三角形的性质与判定 ►题型05 直角三角形的性质与判定 ►题型06 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 三角形的基础 三角形的基本定义与性质 三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸. 特殊三角形的性质与判定 特殊三角形的性质和判定 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 相交线与平行线 ►题型01 相交线及其所成的角 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【知识点】垂线段最短、两点确定一条直线、垂线的定义理解、平行公理的应用 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则，    而， ∴四边形不是平行四边形， ∴，不平行，故A不符合题意； 如图，取格点，连接，    由勾股定理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，故B符合题意； 如图，取格点，    根据网格图的特点可得：， 根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键． 3．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键． ►题型02 平行线的性质和判定 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用矩形的性质求角度、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，再根据邻补角求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，根据题意得出，再由平角即可得出结果，熟练掌握平行线的性质是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B 4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 【答案】30 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：30． 1．（2023·江苏盐城·一模）在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（    ） ①图1，的角平分线 ②图2，过点P垂直于直线l的垂线 ③图3，点M与点N的对称中心 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】判断中心对称图形的对称中心、角平分线的有关计算、画垂线 【分析】由角平分线所在的直线是这个角的对称轴可判断①；根据垂直的性质可判断②；根据成中心对称的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分可判断③． 【详解】①经过点O进行折叠，使与重合，折痕纪委角平分线，故①能通过折叠透明纸实现； ②经过点P折叠，使折痕两边的直线l重合，折痕即为过点P垂直于直线l的垂线，故②能通过折叠透明纸实现； ③经过点N，M折叠，展开，展开，然后再折叠使点N，M重合，两次折痕的交点即为点N，M的对称中心，故③能通过折叠透明纸实现． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的对称性，垂线的性质，中心对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 2．（2023·江苏扬州·二模）某同学制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在五角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器：对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角α为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与平行线有关的三角形内角和问题、垂线的定义理解 【分析】由平行线的性质、垂线的定义得到，，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查垂线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 【答案】46 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点B作射线，再根据，得出，，再根据即可求解． 【详解】解：过点B作射线，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：46． 4．（2024·江苏扬州·三模）如图，直线，若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先根据三角形外角性质，得到，再根据平行线的性质，得出． 【详解】解：如图所示， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是 °． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，，再利用三角形的外角的性质解答即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴． 故答案为： 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点C落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点D，与直尺的两边分别交于点E、F．若，则的度数为 ． 【答案】70 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】此题考查了平行线的性质，首先求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵直尺的对边平行 ∴ 故答案为：70． 考点二 三角形的基础 ►题型01 三角形的三边关系 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 【答案】4 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：设第三边的长为x，则有，即， ∵该三角形的边长均为整数， ∴第三边的长可以为3、4、5、6、7， 故答案为4（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 3．（2023·江苏连云港·中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可） 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 则， 故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 4．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 【答案】6 【知识点】等腰三角形的定义、确定第三边的取值范围 【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3 ∴AB=AC 当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”； 当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 【解题技巧】 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． ►题型02 与三角形有关线段的综合问题 1．（2023·江苏扬州·二模）如图，，，分别是的中线，角平分线，高．则下列各式中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵，，分别是的中线，角平分线，高， A、 ，故该选项正确，不符合题意； B、 不一定相等，故该选项不正确，符合题意； C、 ，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的定义是解题的关键． 2．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积． 【详解】解：是边上的中线，为的中点， 根据等底同高可知，的面积的面积， 的面积的面积的面积， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算． 3．（2024·江苏南京·三模）如图，在中，是中位线，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】根据三角形中线求面积、相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 可证明，则，再用共高三角形面积比等于底之比即可求解． 【详解】解：∵是中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线， ∴点D为中点， ∴， ∵共以为底的高， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2023·江苏淮安·三模）如图，、分别是的中线和角平分线，于点，，则 ．    【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、三角形角平分线的定义 【分析】先利用全等三角形的判定与性质求出，再求出的面积，并得到各个小三角形的面积，最后利用勾股定理求出，并求出，即可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 连接， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、三角形的角平分线与中线的概念等知识，解题关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积，以及利用面积之间的关系进行转化，得到线段之间的关系． 三角形有关的线段的性质： 高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE） ∠ADB=∠ADC=90° BD=CD S△ABD=S△ADC ∠BAD=∠DAC=∠BAC AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系． 2. 常见三角形的高： 3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系. ►题型03 三角形内角和定理与外角和定理综合问题 1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：设交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 【答案】/10度 【知识点】三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 根据题意得：平分， 所以， 因为为高， 所以， 所以, 所以， 故答案为：． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 2．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是边上的中线，点是重心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）光线以如图所示的角度α，照射到平面镜I上，然后在平面镜I、II之间来回反射，已知则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】光线照射到平面镜上的入射角等于反射角，并根据三角形内角和求解．此题主要考查了镜面对称，根据镜面反射原理，入射角与反射角相等的性质求出． 【详解】解：如图所示，分别过入射点作垂线，根据入射角等于反射角可知： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 4．（2024·江苏镇江·二模）一副三角板如图放置，，，，则 °． 【答案】75 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，而，，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 故答案为：75． 5．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ． 【答案】3 【知识点】重心的有关性质 【分析】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．先判断点为的重心，然后利用三角形重心的性质求出，从而得到的长． 【详解】解：、分别是，的中点， 点为的重心， ， ． 故答案为3． 6．（2023·江苏苏州·二模）定义：一个三角形的一个角是另一个角的倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”若直角是“倍角三角形”，，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，分当时，当时，当时，三种情况根据三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 当时， ， ， ， ， 当时，同理可得，则； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 考点三 特殊三角形的性质和判定 ►题型01 线段垂直平分线的性质与判定 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． ►题型02 角平分线的性质与判定 3．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．    【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出． 【详解】如图：过点作于点，    ， 由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如下图：即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. ►题型03 等腰三角形的性质与判定 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【知识点】公式法解一元二次方程、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． ►题型04 等边三角形的性质与判定 7．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 【答案】(1)菱形 (2) (3)，理由见解析 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为； （3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵点E是的中点， ∴， ∴为过的圆的直径， 又∵， ∴为过的圆的直径， ∴点H为圆心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴两张纸片重叠部分的形状是菱形； （2）解：∵都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等边三角形， 过点E作， ∴设，则，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接， ∵都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴由勾股定理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键． 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形= ►题型05 直角三角形的性质与判定 8．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、已知两点坐标求两点距离、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 令， 则：， ∴点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， ∴点E所经过的路径长为； 故答案为：． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) ►题型06 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题 9．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 1）因为正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1,然后应用勾股定理来进行计算. 2）网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形(或正方形)的面积减去直角三角形面积. 1．（2023·江苏扬州·三模）一元二次方程两根是等腰三角形两边长，则等腰三角形的周长是（   ） A．17 B．17或16 C．18或16 D．18 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 运用因式分解法求一元二次方程的根，再根据等腰三角形的性质判定边长大小，最后计算周长． 【详解】解： 因式分解得，， ∴当时，；当时，； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 故选B． 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理． 过点B作于点，连接并延长，过点O作交延长线于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出x的值，即可得正弦值． 【详解】解：如图，过点B作于点，连接并延长，过点O作交延长线于点， 在中， ，，， 由勾股定理可知：， 同理，在中，由勾股定理可知：， 设， 在中，由勾股定理可知：； 同理，在中，，， ， ， ， 解得，即， ， ， 故选：D． 3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的定义得到，过B作于P，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过B作于P，    ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，正三角形的边长为2，D是边的中点，连接，点E在线段上，连接，以点B为旋转中心顺时针旋转得，连接．点E从A到D，点F经过的路径长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、等边三角形的性质 【分析】由正三角形的边长为2，D是边的中点，可得，，，，由勾股定理得，，如图，连接，由旋转的性质可知，，，证明，则，可知点E从A到D，点F经过的路径长为的长，然后作答即可． 【详解】解：∵正三角形的边长为2，D是边的中点， ∴，，，， 由勾股定理得，， 如图，连接， 由旋转的性质可知，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴点E从A到D，点F经过的路径长为的长，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．确定点F的运动轨迹是解题的关键． 5．（2023·江苏常州·模拟预测）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得． 【感知】 （1）如图2，在中，若，，则______． 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 【答案】（1）35；（2），见解析；（3）或2 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解； （2）将沿折叠，根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论 （3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，①若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；②若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为： ，理由如下， （2）如图，将沿折叠， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即； （3）依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形，则点不为直角顶点，分两种情况讨论， ①若，如图，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ②若，如图， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴， 综上所述，或 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，连接，；求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，连接，，、、三点在一条直线上，与交于点； ①求的大小； ②若且，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，点为的中点，交于点，连接，若，且为，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）利用证明即可； （）由和均为等腰直角三角形，可得，进而得出，即可求得答案； 过点作于，于，过点作于，可证得，设 ，可得 ，，， ，再利用勾股定理建立方程求得，，再根据即可求得答案； （）连接，先证得，得出， ，进而可得，推出，进而得到，由，即可求解． 【详解】（）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （）①解：∵，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴； ②解：如图，过点作于， 于，过点作于，则 ，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，(舍 去)， ∴， ， ∴； （）解：如图，连接，， ∵，， ，                                                                                                   ∴ 和均为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定和性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是熟练掌握等腰直角三角形性质等相关知识，合理添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． $$专题08 简单几何题的证明与计算 试卷第1页，共3页 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 相交线与平行线 ►题型01 相交线及其所成的角 ►题型02 平行线的性质和判定 考点二 三角形的基础 ►题型01 三角形的三边关系 ►题型02 与三角形有关线段的综合问题 ►题型03 三角形内角和定理与外角和定理综合问题 考点三 特殊三角形的性质和判定 ►题型01 线段垂直平分线的性质与判定 ►题型02 角平分线的性质与判定 ►题型03 等腰三角形的性质与判定 ►题型04 等边三角形的性质与判定 ►题型05 直角三角形的性质与判定 ►题型06 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题 01考情透视·目标航 中考考点 新课标要求 命题预测 三角形的基础 三角形的基本定义与性质 三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸. 特殊三角形的性质与判定 特殊三角形的性质和判定 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一 相交线与平行线 ►题型01 相交线及其所成的角 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 3．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ►题型02 平行线的性质和判定 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，直线，直线分别与直线、交于点E、F，且，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线，直线，，则 ． 1．（2023·江苏盐城·一模）在三张透明纸上，分别有、直线l及直线l外一点P、两点M与N，下列操作能通过折叠透明纸实现的有（    ） ①图1，的角平分线 ②图2，过点P垂直于直线l的垂线 ③图3，点M与点N的对称中心 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 2．（2023·江苏扬州·二模）某同学制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在五角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器：对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角α为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 4．（2024·江苏扬州·三模）如图，直线，若，则的度数是 ． 5．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是 °． 6．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点C落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点D，与直尺的两边分别交于点E、F．若，则的度数为 ． 考点二 三角形的基础 ►题型01 三角形的三边关系 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 2．（2023·江苏徐州·中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）． 3．（2023·江苏连云港·中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是 ．（只填一个即可） 4．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 【解题技巧】 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． ►题型02 与三角形有关线段的综合问题 1．（2023·江苏扬州·二模）如图，，，分别是的中线，角平分线，高．则下列各式中错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是 ． 3．（2024·江苏南京·三模）如图，在中，是中位线，若，则 ． 4．（2023·江苏淮安·三模）如图，、分别是的中线和角平分线，于点，，则 ．    三角形有关的线段的性质： 高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE） ∠ADB=∠ADC=90° BD=CD S△ABD=S△ADC ∠BAD=∠DAC=∠BAC AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系． 2. 常见三角形的高： 3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系. ►题型03 三角形内角和定理与外角和定理综合问题 1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 2．（2024·江苏盐城·一模）如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．（2024·江苏南京·模拟预测）光线以如图所示的角度α，照射到平面镜I上，然后在平面镜I、II之间来回反射，已知则等于（　　） A． B． C． D． 4．（2024·江苏镇江·二模）一副三角板如图放置，，，，则 °． 5．（2024·江苏盐城·二模）如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则 ． 6．（2023·江苏苏州·二模）定义：一个三角形的一个角是另一个角的倍，这样的三角形叫做“倍角三角形”若直角是“倍角三角形”，，，则的度数为 ． 考点三 特殊三角形的性质和判定 ►题型01 线段垂直平分线的性质与判定 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来． ►题型02 角平分线的性质与判定 3．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．    4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. ►题型03 等腰三角形的性质与判定 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 图③ 1 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°. 3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a . 6. 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°-2∠B，∠B=∠C= 7. 底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．（即顶角36°，底角72°）. 8. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． ►题型04 等边三角形的性质与判定 7．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H． (1)如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________； (2)如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值； (3)如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由． 等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等. 2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形. 2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴． 3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合． 4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形． 5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． 6. 等边三角形面积的求解方法：S正三角形= ►题型05 直角三角形的性质与判定 8．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) ►题型06 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题 9．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 10．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 1）因为正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1,然后应用勾股定理来进行计算. 2）网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形(或正方形)的面积减去直角三角形面积. 1．（2023·江苏扬州·三模）一元二次方程两根是等腰三角形两边长，则等腰三角形的周长是（   ） A．17 B．17或16 C．18或16 D．18 2．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，在平行四边形中，．利用尺规在上分别截取，使；分别以E、F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内，交于点G；作射线交于点H．若，则的长为 ．    4．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，正三角形的边长为2，D是边的中点，连接，点E在线段上，连接，以点B为旋转中心顺时针旋转得，连接．点E从A到D，点F经过的路径长为 ． 5．（2023·江苏常州·模拟预测）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得． 【感知】 （1）如图2，在中，若，，则______． 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______． 6．（2024·江苏扬州·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，连接，；求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，连接，，、、三点在一条直线上，与交于点； ①求的大小； ②若且，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，，，点为的中点，交于点，连接，若，且为，求的长． $$