（八大易错点+六大培优点）第三单元 长方体和正方体（1）长方体和正方体的认识-五年级下册数学同步易错精讲+重难点培优练（原卷版＋解析版）人教版

人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第三单元 长方体和正方体（1）长方体和正方体的认识 思维导图 易错讲解 易错点1：对长方体棱的特征理解有误 一个长方体的棱长总和是48厘米，长是6厘米，宽是4厘米，高是多少厘米？ 【错误解答】：（48 - 6 - 4）÷4 = 9.5（厘米） 【错因分析】：长方体棱长总和 =（长 + 宽 + 高）×4，错误解答在计算时直接用棱长总和减去长和宽后除以4，没有正确理解公式中长、宽、高都需要乘以4这一特征。 【正确解答】：48÷4 - 6 - 4 = 2（厘米） 易错点2：对长方体棱长分组情况混淆 一个长方体棱长总和为72厘米，它的长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ 【错误解答】：72÷(3 + 2 + 1)=12（厘米），长：12×3 = 36（厘米），宽：12×2 = 24（厘米），高：12×1 = 12（厘米） 【错因分析】：长方体的棱长总和是4组长、宽、高的和，错误解答没有除以4，直接按一组长、宽、高的和去计算。 【正确解答】：72÷4 = 18（厘米），18÷(3 + 2 + 1)=3（厘米），长：3×3 = 9（厘米），宽：3×2 = 6（厘米），高：3×1 = 3（厘米） 易错点3：长方体面的形状判断失误 长方体的6个面一定都是长方形吗？ 【错误解答】：一定。 【错因分析】：忽略了特殊情况，长方体可能有两个相对的面是正方形，其余四个面是长方形。 【正确解答】：不一定，长方体可能有两个相对的面是正方形。 易错点4：计算长方体棱长时单位不统一 一个长方体的长是5分米，宽是40厘米，高是3分米，求它的棱长总和。 【错误解答】：（5 + 40 + 3）×4 = 192（分米） 【错因分析】：在计算时没有统一单位，宽的单位是厘米，要先将40厘米换算为4分米，再进行计算。 【正确解答】：40厘米 = 4分米，（5 + 4 + 3）×4 = 48（分米） 易错点5：对长方体顶点与棱的关系理解偏差 从一个长方体的一个顶点出发，最多能引出几条棱？ 【错误解答】：6条。 【错因分析】：没有正确理解长方体顶点与棱的连接关系，从一个顶点出发，只能引出三条棱，分别是长方体的长、宽、高。 【正确解答】：3条。 易错点6：判断正方体展开图出错 下面的图形能折成正方体吗？（图形为一个“田”字形） 【错误解答】：能。 【错因分析】：不熟悉正方体展开图的特征，“田”字形的图形不符合正方体展开图的规律，正方体展开图中不会出现“田”字形状。 【正确解答】：不能。 易错点7：关于长方体面的大小比较错误 一个长方体，前面的面积和上面的面积相等，这个长方体一定是正方体吗？ 【错误解答】：一定是。 【错因分析】：前面面积 = 长×高，上面面积 = 长×宽，前面和上面面积相等只能说明宽和高相等，但不能就此判定长也与宽、高相等，所以不一定是正方体。 【正确解答】：不一定是。 易错点8：计算长方体棱的长度关系出错 一个长方体的长是宽的2倍，宽是高的3倍，棱长总和是80厘米，求长方体的长、宽、高分别是多少。 【错误解答】：设高为x厘米，宽为3x厘米，长为6x厘米，（x + 3x + 6x）×4 = 80，解得x = 2，所以高2厘米，宽6厘米，长12厘米。 【错因分析】：在列方程时，棱长总和公式应用错误，应该是（长 + 宽 + 高）×4 = 棱长总和，而错误解答中括号内没有乘以4。 【正确解答】：设高为x厘米，宽为3x厘米，长为6x厘米，（x + 3x + 6x）×4 = 80，10x = 20，x = 2，所以高2厘米，宽6厘米，长12厘米。 重难点培优 包扎礼物问题 在包扎礼物时，通常涉及到长方体或正方体形状的礼物盒。包扎所需彩带长度一般包括长方体或正方体的部分棱长之和，以及打结部分的长度。 对于长方体礼物盒，常见的包扎方式是沿长、宽、高的方向包扎，彩带长度可能是2条长、2条宽、4条高再加上打结长度；设长为，宽为，高为，打结长度为。若包扎方式是横竖各绕一圈（类似常见的十字包扎），则彩带长度 ；若包扎方式不同，可根据实际绕的方向确定包含的长、宽、高的数量来计算彩带长度。 对于正方体礼物盒，若按常见包扎方式，彩带长度可能是8条棱的长度加上打结长度。设棱长为，打结长度为。若常见包扎方式，彩带长度 ；若包扎方式变化，同样根据实际绕的棱的数量来计算彩带长度，再加上打结长度。 要给3个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的总长至少要 分米。（其中x＝7分米，y＝4分米，z＝2分米。） 【答案】126分米 【分析】图示有些眼花缭乱，其中，虚线是被挡住我们看不见的长方体的长、宽、高，也有打包带的痕迹；实线中既有我们能够看见的长方体的轮廓，也有打包带的打包方式，在复杂的线条中，我们一点点能够确定打包带长度为x的有2条，长度为y的有4条，长度为z的有6条。再结合x、y、z的具体长度就能够计算出一个箱子的打包带长度。再×3就是题目的答案了。 【解析】（2×7＋4×4＋2×6）×3 ＝（30＋12）×3 ＝42×3 ＝126（分米） 【总结】图示是如此的纷乱，需要我们具备极大的耐心，或者换个方式去思考，打包时就是要平行于长、宽、高去捆绑，这样一来，数出捆绑了几个长、宽、高，再计算这几个长、宽、高的总和就是打包带的总长。这样思考或许在心理上能降低些难度，变得更耐心一些。 1．一个棱长是40厘米的正方体礼物盒（如下图），像这样用丝带捆扎起来（打结处需25厘米），至少需要丝带的长度是（    ）。 A．240厘米 B．265厘米 C．480厘米 D．505厘米 2．笑笑用一根彩带捆扎礼品盒（如图），接头处的彩带长 2分米，笑笑至少要准备多少厘米的彩带？ 2．把一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的礼品盒用彩带捆扎起来（如下图所示），打结部分共用了12厘米，这根彩带至少长多少厘米？ 4．包装礼盒时，需要在外面系上彩带（如下图），已知打结部分长23厘米。包装这个礼品盒需要多少彩带？（单位：厘米） 长方体与正方体棱长转换问题 若将长方体框架变为正方体框架，首先计算长方体的棱长总和，公式为。因为正方体的12条棱长度相等，所以用长方体的棱长总和除以12，得到正方体的棱长。 若将正方体框架变为长方体框架，已知正方体棱长为，则正方体棱长总和为。可以根据题目给定的条件，如长方体长、宽、高的关系，来分配这的长度。 用一根铁丝刚好焊成一个棱长10厘米的正方体框架，如果把它改成一个长14厘米，宽8厘米的长方体框架。长方体框架的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。 【解析】10×12÷4－14－8 ＝120÷4－14－8 ＝30－14－8 ＝16－8 ＝8（厘米） 答：长方体框架的高是8厘米。 1.有一根铁丝，正好可以做成一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体框架．如果用这根铁丝做一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 2．一根铁丝扎成了一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架，如果用这根铁丝扎成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米。 3．一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长( )cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是( )cm。 截取正方体问题 当长方体截成正方体后，通过画示意图，直观地分析新增棱的数量和长度。若已知新增棱长总和，可先求出单条新增棱的长度，再结合正方体棱长与原长方体棱长的关系，推导出原长方体的长、宽、高，进而计算原长方体棱长总和。 一个长方体从中间截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和和原来长方体的棱长之和相比，增加了18cm。原来长方体的长、宽、高分别是多少厘米? 【解析】：判断面和棱的数量的变化是解决问题的关键。长方体截成两个完全相同的正方体， 经分析可以得出，18cm正好是正方体8条棱的长度之和，可以求出正方体一条棱的长度，这样的两条棱的长度之和就是长方体的长。 【答案】：18÷8=2.25(cm) 2.25×2=4.5(cm) 答：原来长方体的长是4.5cm,宽是2.25 cm,高是2.25cm。 1.一个宽和高相等的长方体被截成3个完全相同的正方体(如图)。3个正方体的棱长总和比原长方体的棱长总和增加了160厘米，原长方体的长是多少厘米? 2.一个长方体的铁块，被截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来长方体棱长之和增加了16厘米。求原来长方体的长是多少厘米？ 3．一个长方体木块被截成4个完全相同的正方体。4个正方体的棱长之和比原来的棱长之和增加了168厘米，求原来长方体的长是多少厘米？ 排除法判断正方体相对面上的字母或图案 利用“相邻不相对”的原则，在正方体的摆放图中，先找出与已知面相邻的所有面，这些相邻面不可能是已知面的相对面，那么剩下未出现的面就是已知面的相对面。 一块立方体积木，6个面分别写着字母A，B，C，D，E，F．   （1）C对面的字母是： ．     （2）E对面的字母是： ．     （3）A对面的字母是： ． 【答案】 D B F 【解析】本题用排除法：如与C相邻的面有A、B、E、F，相对的面只剩下D，同样的方法可以找出E、A的对面为B、F 1.一个正方体6个面写着A、B、C、D、E、F，根据下面的三种摆放情况，判断每个字母对面的字母是什么。 字母D的对面是( )，A的对面是( )，B的对面是( )。 2．如图，一个正方体积木的6个面分别写A，B，C，D，E，F。请仔细观察，积木字母排列的情况可以推断：C对面的字母是 ，A对面的字母是 ，E对面的字母是 。 3．正方体的6个面分别写着A、B、C、D、E、F六个字母： 由上图可知，A的对面是( )，D的对面是( )，F的对面是( )。 长方体和正方体的展开图及折叠问题 展开图规律总结 正方体：正方体展开图有11种，可分为四类。 “1 - 4 - 1”型：中间4个正方形排成一排，两侧各有1个正方形，共6种。 “2 - 3 - 1”型：中间3个正方形相连，一侧有2个正方形，另一侧有1个正方形，共3种。 “2 - 2 - 2”型：每层2个正方形，共3层，仅1种。 “3 - 3”型：两行各有3个正方形，只有1种。 长方体：长方体展开图遵循相对面完全相同的规律。长方体有6个面，展开后会出现3组相对的长方形（特殊长方体可能存在两个相对面是正方形）。 判断展开图能否折叠成正方体或长方体 正方体：若展开图中出现“田”字格或“凹”字形结构，则无法折叠成正方体。 长方体：首先确定展开图中是否有3组相对的长方形（特殊情况有两个相对面是正方形），且各面边长关系合理，才可能折叠成长方体。 折叠问题解题思路 明确折叠前后图形的对应关系，即哪些面会重合，哪些边会重合。在正方体折叠中，能根据展开图判断面在正方体中的位置及相邻关系。长方体折叠时，确定各面折叠前后对应情况，尤其是特殊长方体中正方形面与长方形面的折叠关系。 借助空间想象在脑海中折叠展开图，或动手制作模型辅助理解折叠过程和结果。 1.下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城”字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【答案】 明 文 左 右 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明”字相对，“城”字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。 【解析】根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文”字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。 【总结】本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 2．下图是一个长方体的展开图，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ 【答案】长8cm，宽6cm，高4cm 【分析】由图可知，长方体的长是8cm，宽是6cm，两条高的长度＋长＝16cm。据此计算即可。 【解析】（16－8）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 答：这个长方体的长是8cm，宽是6cm，高是4cm。 【总结】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征。 1.如图所示，这个展开图能折成一个长方体（字母露在外面），如果F面在前面，从左面看是B面，那么( )面在上面，( )面在后面。 2．在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右面，那么“5”是( )面。“6”的对面是( )。 3．下图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长和是( )厘米。 4．我们学习数学，要学会用数学的眼光去观察，用数学的方法去分析，用数学的语言去表达。数形结合进行观察分析，联系相关数学知识进行解答。 如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米，请问原来长方形纸的面积是多少平方厘米？ 长方体和正方体沿棱走最长最短路径问题 将立体图形展开成平面图形 正方体：从正方体一个顶点沿棱到另一个顶点，展开正方体，最短路径是展开图中连接两点且经过棱最少的路线。 长方体：长方体沿棱走最短路径，先展开长方体，依起点和终点位置选合适展开方式。 确定并计算最短路径长度 正方体：在展开图中数出从起点到终点经过的棱数，乘正方体棱长得最短路径长度。 长方体：不同展开方式下，分别算出从起点到终点经过棱的长度总和，比较后最小的为最短路径长度。 注意事项 准确判断展开图中最短路径经过的棱，不遗漏、不重复。 复杂的长方体问题，考虑所有展开方式，比较确定最短路径。 一只蚂蚁，沿一个长宽高分别为10cm、8cm、5cm的长方体木块的棱爬行。如果8个顶点都要经过，那么这只蚂蚁最短的爬行路程是(    )cm。 A．92 B．56 C．49 D．46 【答案】D 【分析】长方体有12条棱，8个顶点。一只蚂蚁沿长方体木块的棱爬行，8个顶点都要经过，要想爬行路程最短，就不要爬重复的路线，尽量爬较短的棱。沿着长方体的一个面的棱爬行，只要爬3条棱就可经过4个顶点，这3条棱最短是5＋5＋8＝18cm，这个面即左（或右）面。因此这一只蚂蚁可以沿长方体木块右面的一个顶点开始爬3条棱即18cm，再经过一条长（10cm）爬到左面，再爬3条棱即18cm，就是最短路程。 【解析】根据分析作最短的爬行路线图如下： 5×4＋8×2＋10 ＝20＋16＋10 ＝46（cm） 那么这只蚂蚁最短的爬行路程是46cm。 故答案为：D 有一个棱长为10厘米的正方体，一只小虫从顶点A沿棱长爬行，如要求不走重复的路程，小虫回到A点所走的最长路径是（    ）厘米。 A．120 B．100 C．90 D．80 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册易错讲解＋重难点培优 第三单元 长方体和正方体（1）长方体和正方体的认识 思维导图 易错讲解 易错点1：对长方体棱的特征理解有误 一个长方体的棱长总和是48厘米，长是6厘米，宽是4厘米，高是多少厘米？ 【错误解答】：（48 - 6 - 4）÷4 = 9.5（厘米） 【错因分析】：长方体棱长总和 =（长 + 宽 + 高）×4，错误解答在计算时直接用棱长总和减去长和宽后除以4，没有正确理解公式中长、宽、高都需要乘以4这一特征。 【正确解答】：48÷4 - 6 - 4 = 2（厘米） 易错点2：对长方体棱长分组情况混淆 一个长方体棱长总和为72厘米，它的长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ 【错误解答】：72÷(3 + 2 + 1)=12（厘米），长：12×3 = 36（厘米），宽：12×2 = 24（厘米），高：12×1 = 12（厘米） 【错因分析】：长方体的棱长总和是4组长、宽、高的和，错误解答没有除以4，直接按一组长、宽、高的和去计算。 【正确解答】：72÷4 = 18（厘米），18÷(3 + 2 + 1)=3（厘米），长：3×3 = 9（厘米），宽：3×2 = 6（厘米），高：3×1 = 3（厘米） 易错点3：长方体面的形状判断失误 长方体的6个面一定都是长方形吗？ 【错误解答】：一定。 【错因分析】：忽略了特殊情况，长方体可能有两个相对的面是正方形，其余四个面是长方形。 【正确解答】：不一定，长方体可能有两个相对的面是正方形。 易错点4：计算长方体棱长时单位不统一 一个长方体的长是5分米，宽是40厘米，高是3分米，求它的棱长总和。 【错误解答】：（5 + 40 + 3）×4 = 192（分米） 【错因分析】：在计算时没有统一单位，宽的单位是厘米，要先将40厘米换算为4分米，再进行计算。 【正确解答】：40厘米 = 4分米，（5 + 4 + 3）×4 = 48（分米） 易错点5：对长方体顶点与棱的关系理解偏差 从一个长方体的一个顶点出发，最多能引出几条棱？ 【错误解答】：6条。 【错因分析】：没有正确理解长方体顶点与棱的连接关系，从一个顶点出发，只能引出三条棱，分别是长方体的长、宽、高。 【正确解答】：3条。 易错点6：判断正方体展开图出错 下面的图形能折成正方体吗？（图形为一个“田”字形） 【错误解答】：能。 【错因分析】：不熟悉正方体展开图的特征，“田”字形的图形不符合正方体展开图的规律，正方体展开图中不会出现“田”字形状。 【正确解答】：不能。 易错点7：关于长方体面的大小比较错误 一个长方体，前面的面积和上面的面积相等，这个长方体一定是正方体吗？ 【错误解答】：一定是。 【错因分析】：前面面积 = 长×高，上面面积 = 长×宽，前面和上面面积相等只能说明宽和高相等，但不能就此判定长也与宽、高相等，所以不一定是正方体。 【正确解答】：不一定是。 易错点8：计算长方体棱的长度关系出错 一个长方体的长是宽的2倍，宽是高的3倍，棱长总和是80厘米，求长方体的长、宽、高分别是多少。 【错误解答】：设高为x厘米，宽为3x厘米，长为6x厘米，（x + 3x + 6x）×4 = 80，解得x = 2，所以高2厘米，宽6厘米，长12厘米。 【错因分析】：在列方程时，棱长总和公式应用错误，应该是（长 + 宽 + 高）×4 = 棱长总和，而错误解答中括号内没有乘以4。 【正确解答】：设高为x厘米，宽为3x厘米，长为6x厘米，（x + 3x + 6x）×4 = 80，10x = 20，x = 2，所以高2厘米，宽6厘米，长12厘米。 重难点培优 包扎礼物问题 在包扎礼物时，通常涉及到长方体或正方体形状的礼物盒。包扎所需彩带长度一般包括长方体或正方体的部分棱长之和，以及打结部分的长度。 对于长方体礼物盒，常见的包扎方式是沿长、宽、高的方向包扎，彩带长度可能是2条长、2条宽、4条高再加上打结长度；设长为，宽为，高为，打结长度为。若包扎方式是横竖各绕一圈（类似常见的十字包扎），则彩带长度 ；若包扎方式不同，可根据实际绕的方向确定包含的长、宽、高的数量来计算彩带长度。 对于正方体礼物盒，若按常见包扎方式，彩带长度可能是8条棱的长度加上打结长度。设棱长为，打结长度为。若常见包扎方式，彩带长度 ；若包扎方式变化，同样根据实际绕的棱的数量来计算彩带长度，再加上打结长度。 要给3个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的总长至少要 分米。（其中x＝7分米，y＝4分米，z＝2分米。） 【答案】126分米 【分析】图示有些眼花缭乱，其中，虚线是被挡住我们看不见的长方体的长、宽、高，也有打包带的痕迹；实线中既有我们能够看见的长方体的轮廓，也有打包带的打包方式，在复杂的线条中，我们一点点能够确定打包带长度为x的有2条，长度为y的有4条，长度为z的有6条。再结合x、y、z的具体长度就能够计算出一个箱子的打包带长度。再×3就是题目的答案了。 【解析】（2×7＋4×4＋2×6）×3 ＝（30＋12）×3 ＝42×3 ＝126（分米） 【总结】图示是如此的纷乱，需要我们具备极大的耐心，或者换个方式去思考，打包时就是要平行于长、宽、高去捆绑，这样一来，数出捆绑了几个长、宽、高，再计算这几个长、宽、高的总和就是打包带的总长。这样思考或许在心理上能降低些难度，变得更耐心一些。 1．一个棱长是40厘米的正方体礼物盒（如下图），像这样用丝带捆扎起来（打结处需25厘米），至少需要丝带的长度是（    ）。 A．240厘米 B．265厘米 C．480厘米 D．505厘米 【答案】D 【分析】看图，每个面需要两条棱的长度的丝带，正方体一共有6个面。将棱长乘2求出每个面需要的丝带，再乘6，求出6个面一共需要的丝带。再将6个面一共需要的丝带加上打结处的25厘米，求出至少需要丝带的长度是多少厘米。 【解析】40×2×6＋25 ＝80×6＋25 ＝480＋25 ＝505（厘米） 所以，至少需要丝带的长度是505厘米。 故答案为：D 2．笑笑用一根彩带捆扎礼品盒（如图），接头处的彩带长 2分米，笑笑至少要准备多少厘米的彩带？ 【答案】158厘米 【分析】彩带的长是2条长，6条高，4条宽加上彩带的长，据此解答即可。 【解析】2分米厘米 彩带长： （厘米） 答：笑笑至少要准备158厘米的彩带。 【总结】本题考查长方体的棱长和，解答本题的关键是掌握长方体的棱长和。 2．把一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的礼品盒用彩带捆扎起来（如下图所示），打结部分共用了12厘米，这根彩带至少长多少厘米？ 【答案】252厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒至少需要彩带的长度＝2条长＋6条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【解析】30×2＋20×6＋15×4＋12 ＝60＋120＋60＋12 ＝252（厘米） 4．包装礼盒时，需要在外面系上彩带（如下图），已知打结部分长23厘米。包装这个礼品盒需要多少彩带？（单位：厘米） 【答案】173厘米 【分析】观察图形可知，包装这个礼品盒需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【解析】40×2＋15×2＋10×4＋23 ＝80＋30＋40＋23 ＝173（厘米） 答：包装这个礼品盒需要173厘米彩带。 长方体与正方体棱长转换问题 若将长方体框架变为正方体框架，首先计算长方体的棱长总和，公式为。因为正方体的12条棱长度相等，所以用长方体的棱长总和除以12，得到正方体的棱长。 若将正方体框架变为长方体框架，已知正方体棱长为，则正方体棱长总和为。可以根据题目给定的条件，如长方体长、宽、高的关系，来分配这的长度。 用一根铁丝刚好焊成一个棱长10厘米的正方体框架，如果把它改成一个长14厘米，宽8厘米的长方体框架。长方体框架的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式解答即可。 【解析】10×12÷4－14－8 ＝120÷4－14－8 ＝30－14－8 ＝16－8 ＝8（厘米） 答：长方体框架的高是8厘米。 1.有一根铁丝，正好可以做成一个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体框架．如果用这根铁丝做一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 【答案】 8厘米 【解析】长方体的周长=4×（长+宽+高），正方体的周长=12×棱长；所以要先求出长方体的周长，依据长方体和正方体的周长相等，再算正方体的棱长． 解：4×（10+8+6）÷12 = 4×24÷12 =8（厘米） 答：正方体的棱长为8厘米． 2．一根铁丝扎成了一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架，如果用这根铁丝扎成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米。 【答案】4 【分析】先算出长方体的棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。这根铁丝的长度是不变的，用它扎成正方体框架，那么正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和。而正方体棱长总和＝棱长×12，由此可求出正方体的棱长。 【解析】长方体棱长总和为 （5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 正方体棱长为48÷12＝4（厘米） 3．一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长( )cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是( )cm。 【答案】 60 4 【分析】这根铁丝的长就是正方体的棱长总和，正方体有12条棱长，且每条棱长都相等，用棱长乘12即可得解；如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，则根据长方体的特征，长方体的4条长、4条宽、4条高，且每条长相等，每条宽相等，每条高相等，用铁丝的长度除以4，减一条长与一条宽的和，即可得解。 【解析】（cm） （cm） 一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长60cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是4cm。 截取正方体问题 当长方体截成正方体后，通过画示意图，直观地分析新增棱的数量和长度。若已知新增棱长总和，可先求出单条新增棱的长度，再结合正方体棱长与原长方体棱长的关系，推导出原长方体的长、宽、高，进而计算原长方体棱长总和。 一个长方体从中间截成两个完全相同的正方体，两个正方体的棱长之和和原来长方体的棱长之和相比，增加了18cm。原来长方体的长、宽、高分别是多少厘米? 【解析】：判断面和棱的数量的变化是解决问题的关键。长方体截成两个完全相同的正方体， 经分析可以得出，18cm正好是正方体8条棱的长度之和，可以求出正方体一条棱的长度，这样的两条棱的长度之和就是长方体的长。 【答案】：18÷8=2.25(cm) 2.25×2=4.5(cm) 答：原来长方体的长是4.5cm,宽是2.25 cm,高是2.25cm。 1.一个宽和高相等的长方体被截成3个完全相同的正方体(如图)。3个正方体的棱长总和比原长方体的棱长总和增加了160厘米，原长方体的长是多少厘米? 【答案】160÷[(3-1)×2×4]×3=30(厘米) 答：原长方体的长是30厘米。 2.一个长方体的铁块，被截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来长方体棱长之和增加了16厘米。求原来长方体的长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】长方体能截成两个正方体，那说明长方体有两个面是正方形，如果宽和高相等，长应是高和宽的2倍，增加了8条和宽与高相等的棱。可先求高和宽，再求长方体的长。 【解析】16÷8＝2（厘米） 2×2＝4（厘米） 答：原来长方体的长是4厘米。 【总结】本题考查正方体的特征，明确正方体的特征是解题的关键。 3．一个长方体木块被截成4个完全相同的正方体。4个正方体的棱长之和比原来的棱长之和增加了168厘米，求原来长方体的长是多少厘米？ 【答案】28厘米 【分析】可以借助图来分析。如图，一个长方体被分成4个完全相同的正方体，多出了（4-1）×2=6（个）正方形的截面。每个截面有4条棱，一共多出了（4-1）×2×4=24（条）棱，每条棱的长度为168÷24=7（厘米），即原来长方体的宽=高=7厘米，长为7×4=28（厘米）。 【解析】（4-1）×2=6（个） 168÷（6×4）×4 =168÷24×4 =7×4 =28（厘米） 答：原来长方体的长28厘米。 排除法判断正方体相对面上的字母或图案 利用“相邻不相对”的原则，在正方体的摆放图中，先找出与已知面相邻的所有面，这些相邻面不可能是已知面的相对面，那么剩下未出现的面就是已知面的相对面。 一块立方体积木，6个面分别写着字母A，B，C，D，E，F．   （1）C对面的字母是： ．     （2）E对面的字母是： ．     （3）A对面的字母是： ． 【答案】 D B F 【解析】本题用排除法：如与C相邻的面有A、B、E、F，相对的面只剩下D，同样的方法可以找出E、A的对面为B、F 1.一个正方体6个面写着A、B、C、D、E、F，根据下面的三种摆放情况，判断每个字母对面的字母是什么。 字母D的对面是( )，A的对面是( )，B的对面是( )。 【答案】 C E F 【分析】一共有6个字母，而观察一个立方体，一次最多能看到3个面。即一次最多看到3个字母，仅凭3个字母不足以判断每个字母对面的字母是什么，还需要将两个图片结合起来考虑。 【解析】①含有字母D的图片有（1）（2），可以观察得到，D不和B、E、A、F相对，那只能和6个字母里剩下的字母C相对。②含有字母A的图片有（2）（3）可以观察得到，A不和D、F、B、C相对，那只能和6个字母里剩下的字母E相对。③含有字母B的图片有（1）（3），可以观察得到，字母B不和字母D、E、A、C相对，那只能和6个字母里剩下的字母F相对。 【总结】解答本题的关键是结合两幅图片标注的字母，利用排除法找到答案。相邻的两个面不能相对，故找对方法是最重要的。 2．如图，一个正方体积木的6个面分别写A，B，C，D，E，F。请仔细观察，积木字母排列的情况可以推断：C对面的字母是 ，A对面的字母是 ，E对面的字母是 。 【答案】 D F B 【分析】 正方体相对面的字母是不可能相邻的，找到字母相邻的面有哪些，即可知道它对面的字母，据此解答。 【解析】 观察图中的正方体可知，与字母C相邻的字母有A、B、E、F，所以C对面的字母是D；与F相邻的四个面分别是B、C、D、E，因此，F对面的字母是A，即A对面的字母是F；与E相邻的四个面分别是A、C、D、F，因此，E对面的字母是B。 3．正方体的6个面分别写着A、B、C、D、E、F六个字母： 由上图可知，A的对面是( )，D的对面是( )，F的对面是( )。 【答案】 B E C 【分析】观察三个图形可知，与F相邻的面有：A、D、E、B，据此可得F的对面是C；剩下的四个面ABDE中，由第一幅图可知，A与D相邻，由第二幅图可知，A与E相邻，所以A的对面是B；那么剩下的两个面D和E互为对面。 【解析】有分析可得，A的对面是B，D的对面是E，F的对面是C。 故答案为：B；E；C 【总结】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，可以培养动手操作能力和空间想象能力。 长方体和正方体的展开图及折叠问题 展开图规律总结 正方体：正方体展开图有11种，可分为四类。 “1 - 4 - 1”型：中间4个正方形排成一排，两侧各有1个正方形，共6种。 “2 - 3 - 1”型：中间3个正方形相连，一侧有2个正方形，另一侧有1个正方形，共3种。 “2 - 2 - 2”型：每层2个正方形，共3层，仅1种。 “3 - 3”型：两行各有3个正方形，只有1种。 长方体：长方体展开图遵循相对面完全相同的规律。长方体有6个面，展开后会出现3组相对的长方形（特殊长方体可能存在两个相对面是正方形）。 判断展开图能否折叠成正方体或长方体 正方体：若展开图中出现“田”字格或“凹”字形结构，则无法折叠成正方体。 长方体：首先确定展开图中是否有3组相对的长方形（特殊情况有两个相对面是正方形），且各面边长关系合理，才可能折叠成长方体。 折叠问题解题思路 明确折叠前后图形的对应关系，即哪些面会重合，哪些边会重合。在正方体折叠中，能根据展开图判断面在正方体中的位置及相邻关系。长方体折叠时，确定各面折叠前后对应情况，尤其是特殊长方体中正方形面与长方形面的折叠关系。 借助空间想象在脑海中折叠展开图，或动手制作模型辅助理解折叠过程和结果。 1.下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城”字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【答案】 明 文 左 右 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明”字相对，“城”字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。 【解析】根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文”字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。 【总结】本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 2．下图是一个长方体的展开图，这个长方体的长、宽、高分别是多少？ 【答案】长8cm，宽6cm，高4cm 【分析】由图可知，长方体的长是8cm，宽是6cm，两条高的长度＋长＝16cm。据此计算即可。 【解析】（16－8）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 答：这个长方体的长是8cm，宽是6cm，高是4cm。 【总结】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征。 1.如图所示，这个展开图能折成一个长方体（字母露在外面），如果F面在前面，从左面看是B面，那么( )面在上面，( )面在后面。 【答案】 C A 2．在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右面，那么“5”是( )面。“6”的对面是( )。 【答案】 前 2 【分析】观察图形可知，展开图符合长方体展开图的“1－4－1”型结构，折叠后①对应的是④，②对应的是⑥；③对应⑤，由此可知，①是右面，④是左面；②是下面，⑥是上面，③是后面，⑤是前面。 【解析】由分析可得：如果“1”是右面，那么“5”是前面。“6”的对面是2。 【总结】根据长方体展开图的特征解答本题。 3．下图是一个长方体的展开图，这个长方体的棱长和是( )厘米。 【答案】200 【分析】观察图形可知，这个长方体的长是30厘米，宽是15厘米，高是（40－15×2）÷2＝5厘米，然后根据长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数值进行计算即可。 【解析】（40－15×2）÷2 ＝（40－30）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） （30＋15＋5）×4 ＝50×4 ＝200（厘米） 【总结】本题考查长方体的总棱长，明确该长方体的长、宽和高的长度是解题的关键。 4．我们学习数学，要学会用数学的眼光去观察，用数学的方法去分析，用数学的语言去表达。数形结合进行观察分析，联系相关数学知识进行解答。 如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米，请问原来长方形纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】98平方厘米 【分析】根据图示可知，原来长方形纸的长是2＋5＋2＋5＝14（厘米），宽是2＋3＋2＝7（厘米），根据长方形面积公式解答即可。 【解析】2＋5＋2＋5 ＝7＋2＋5 ＝9＋5 ＝14（厘米） 2＋3＋2 ＝5＋2 ＝7（厘米） 14×7＝98（平方厘米） 答：原来长方形纸的面积是98平方厘米。 【总结】本题考查了长方形面积公式的灵活运用知识，结合题意解答即可。 长方体和正方体沿棱走最长最短路径问题 将立体图形展开成平面图形 正方体：从正方体一个顶点沿棱到另一个顶点，展开正方体，最短路径是展开图中连接两点且经过棱最少的路线。 长方体：长方体沿棱走最短路径，先展开长方体，依起点和终点位置选合适展开方式。 确定并计算最短路径长度 正方体：在展开图中数出从起点到终点经过的棱数，乘正方体棱长得最短路径长度。 长方体：不同展开方式下，分别算出从起点到终点经过棱的长度总和，比较后最小的为最短路径长度。 注意事项 准确判断展开图中最短路径经过的棱，不遗漏、不重复。 复杂的长方体问题，考虑所有展开方式，比较确定最短路径。 一只蚂蚁，沿一个长宽高分别为10cm、8cm、5cm的长方体木块的棱爬行。如果8个顶点都要经过，那么这只蚂蚁最短的爬行路程是(    )cm。 A．92 B．56 C．49 D．46 【答案】D 【分析】长方体有12条棱，8个顶点。一只蚂蚁沿长方体木块的棱爬行，8个顶点都要经过，要想爬行路程最短，就不要爬重复的路线，尽量爬较短的棱。沿着长方体的一个面的棱爬行，只要爬3条棱就可经过4个顶点，这3条棱最短是5＋5＋8＝18cm，这个面即左（或右）面。因此这一只蚂蚁可以沿长方体木块右面的一个顶点开始爬3条棱即18cm，再经过一条长（10cm）爬到左面，再爬3条棱即18cm，就是最短路程。 【解析】根据分析作最短的爬行路线图如下： 5×4＋8×2＋10 ＝20＋16＋10 ＝46（cm） 那么这只蚂蚁最短的爬行路程是46cm。 故答案为：D 有一个棱长为10厘米的正方体，一只小虫从顶点A沿棱长爬行，如要求不走重复的路程，小虫回到A点所走的最长路径是（    ）厘米。 A．120 B．100 C．90 D．80 【答案】D 【分析】如图： 根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，由题意可知，一只小虫从顶点A沿棱长爬行，如要求不走重复的路程，小虫回到A点最多走8条棱的长度；也就是80厘米。由此解答。 【解析】10×8＝80（厘米）； 答：小虫回到A点所走的最长路径是80厘米。 故选D。 【总结】此题主要考查正方体的特征，特别是棱的特征，它的12条棱的长度都相等；此题可以通过画图分析解答比较简便。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$