（思维导图+知识梳理＋考点精讲）第三单元 长方体和正方体（2）长方体和正方体的表面积-五年级下册数学单元讲练测（原卷版＋解析版）人教版(2)

人教版五年级数学下册同步精讲 第三单元 长方体和正方体（2）长方体和正方体的表面积 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 1 · 考点精讲 3 思维导图 知识梳理 知识点一.长方体和正方体表面积的意义 1.长方体和正方体的展开面 （1）长方体的展开面 （2）正方体的展开面 2.长方体的正方体的表面积 (1)长方体6个面的总面积，叫做长方体的表面积。 (2)正方体6个面的总面积，叫做正方体的表面积。 3.正方体的11种平面展开图。 知识点二.长方体表面积的计算方法 1.长方体表面积的计算公式：(a,b,h分别是长方体的长，宽，高，S是长方体的表面积) (1)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2,字母表示：S=2ab+2ah+2bh。 (2)长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,字母表示：S=2(ab+ah+bh)。 2.长方体（或正方体）的侧面积＝底面周×高 知识点三.正方体表面积的计算方法 正方体表面积的计算公式：(a是正方体的棱长，S是正方体的表面积) 正方体的表面积=棱长×棱长×6,用字母表示为S=6a²。 考点精讲 考点一：长方体表面积公式运用 普通数据代入：当题目直接给出长、宽、高具体数值时，直接将长、宽、高的值代入公式，按先乘除后加减的顺序进行运算。例如长为、宽为、高为，则表面积 。 单位不一致情况：若长、宽、高单位不同，先将单位换算统一。如长是米，宽是分米，高是厘米，可统一换算成厘米，即长为厘米，宽为厘米，高为厘米，再代入公式计算。 计算下面图形的表面积。 【答案】248m2；13.5cm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【解析】（10×4＋10×6＋4×6）×2 ＝（40＋60＋24）×2 ＝124×2 ＝248（m2） 1.5×1.5×6＝13.5（cm2） 长方体表面积是248m2，正方体表面积是13.5cm2。 1．一个长方体的长是4m，宽是3m，高是2m，它的表面积是( )m2。 2．一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是( )分米，占地面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 3．一个长方体箱子，长1.8米，宽0.3米，高1.2米，它的占地面积最大是( )平方分米，最小是( )平方分米。 4．用一根铁丝正好围成一个棱长为7cm的正方体框架。如果用这根铁丝正好围成一个长6cm、宽5cm的长方体框架，那么它的高是( )cm，表面积是( )cm2。 考点二：正方体表面积公式运用 普通计算：已知正方体棱长，直接将棱长代入公式，先算平方，再算乘法得出表面积。 单位换算后计算：当棱长单位不一致时，比如棱长是分米，换算成厘米为厘米，再代入公式进行计算。 求正方体的表面积。（单位：厘米） 【答案】384平方厘米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可。 【解析】8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 正方体的表面积是384平方厘米。 1．一个正方体的底面积是3dm2，它的表面积是( )dm2。 2．一个正方体的棱长总和是72cm，它的棱长是( )cm，表面积是( )cm2。 3．一个正方体的棱长是8dm，它的一个面的面积是( )dm2，表面积是( )dm2。 4．一个正方体的棱长是b分米，它的棱长总和是( )分米，表面积是( )平方分米。 考点三：长方体展开图分析 面的标注与对应关系：面对长方体展开图，根据相对面“隔一个面”的规律，标注出“上、下、前、后、左、右”面。如在常见的“1 - 4 - 1”型展开图中，同一行或列中，间隔一个正方形的两个面是相对面。 边长测量与表面积计算：用测量工具测量展开图各边长度，通常较长边对应长方体的长，中等长度边对应宽，较短边对应高。确定长、宽、高后，代入表面积公式计算。 将下面的展开图围成一个长方体。 （1）写出与③相对的面是（    ）。 （2）计算出这个长方体的表面积。 【答案】（1）⑤ （2）132平方厘米 【分析】（1）长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。 把长方体的展开图围成一个长方体，可以看出①和⑥相对，②和④相对，③和⑤相对。 （2）从长方体的展开图中可知，这个长方体的长是8厘米、宽是5厘米、高是2厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出它的表面积。 【解析】（1）与③相对的面是⑤。 （2）（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是132平方厘米。 1．（如下图）是一个长方体外包装盒的展开图，求围成长方体的表面积是多少立方厘米？ 2．方格图中是长方体的两个面，请你把这个长方体的另一个不同的面画出来，并计算出这个长方体的表面积（每格的边长是1厘米）。 3．丽丽从下面的长方形纸片中选择了三种不同的纸片各两张，粘贴成了一个长方体纸盒。她选的是( )，这个纸盒的表面积是( )平方厘米。 考点四：正方体展开图分析 相对面判断与面积计算：根据正方体展开图类型，如“2 - 3 - 1”型等，判断相对面。测量展开图中一个面的边长，此边长就是正方体棱长，代入公式计算表面积。 从下面的方格纸（每小格的边长表示3厘米）上剪下一部分，折成一个棱长为3厘米的正方体，可以怎样剪？请设计两种不同的方案，并在图中涂色表示。 【答案】见解析 【分析】正方体的棱长为3厘米，每小格边长也为3厘米，正方体有6个面，选择6格进行涂色。常见的正方体展开图如下， 任选其中的两种涂色即可。 【解析】 （答案不唯一） 1．下面是一个正方体的展开图。 (1)①号面相对的是( )号面；⑤号面相对的是( )号面。 (2)如果这个正方体的棱长是2cm，那么它的表面积是( )。 2．下图是一个正方体纸盒的展开图。 （1）与④号相对的面是( )号面。 （2）正方体的表面积是( )。 考点五：长方体实际场景表面积计算 无盖长方体：对于无盖长方体，计算底面和四个侧面的面积之和。设长为、宽为、高为，则表面积。 特殊形状长方体（通风管）：像通风管这类特殊形状长方体，根据其面的实际情况，确定面的数量和形状。例如通风管一般只有四个面，设长为，宽为，高为，其表面积（假设通风管两端开口，只有四个侧面）。 一间多媒体教室长15米，宽9米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）。门窗的面积是24平方米，如果每平方米需要花9元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】2727元 【分析】从题意可知：粉刷这间教室的墙壁和天花板，即粉刷长方体的上面和前后左右面共5个面。根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需要粉刷的面积。最后用每平方米的涂料费用×粉刷面积即可。 【解析】15×9＋15×4×2＋9×4×2－24 ＝135＋120＋72－24 ＝303（平方米） 9×303＝2727（元） 答：粉刷这间教室需要涂料费2727元。 1．一根方木，长是3米，它的截面是一个边长为3分米的正方形。求这根方木的表面积。 2．做一个无盖长方体铁皮箱，铁皮箱的棱长总和是82分米，底面周长是31分米，宽是高的1.5倍。做成这个无盖铁皮箱需要多少平方分米铁皮？（铁皮的厚度忽略不计） 3．工人需要给一个长15米，宽12米，高5米的无盖水池，四周和底部抹上水泥。每平方米需要水泥10千克，一共需要多少吨水泥？ 考点六：正方体实际场景表面积计算 无盖正方体：无盖正方体只需计算五个面的面积，设正方体棱长为，则表面积。 有部分面不需要计算（如靠墙）：若正方体一面靠墙，设棱长为，其表面积；若两面靠墙（墙角处），表面积 。 孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？ 【答案】45平方分米；27立方分米 【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出，棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用铁丝长度除以12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积。 【解析】（分米） （平方分米） 答：至少需要45平方分米的安全阻燃纸。 1．徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 2．中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 3．如图，爸爸已经做好了一个正方体木框架的3条棱，继续做下去，至少还需要( )dm的木条。如果给做好的木框架的5个面糊彩纸，至少需要( )dm2的彩纸。 考点七：长方体棱长变化对表面积的影响 棱长同时变化：设原长方体长、宽、高分别为、、，表面积。长、宽、高同时扩大倍后，长变为、宽变为、高变为，表面积，通过对比得出表面积变化倍数和规律。 棱长不同变化：长扩大倍、宽扩大倍、高不变，原长方体表面积，变化后长为、宽为、高为，变化后的表面积，分析对应面的面积变化，进而计算出总表面积的变化。 如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的棱长和扩大（    ）倍，表面积扩大（    ）倍。 A．3  9 B．9  9 C．3  27 D．3  6 【答案】A 【分析】根据题意，设长为a，宽为b，高为h，依据棱长和公式：（长＋宽＋高）×4和表面积公式：（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，以此解答。 【解析】设长为a，宽为b，高为h，那么扩大后的长为3a，宽为3b，高为3h。 （3a＋3b＋3h）×4÷[（a＋b＋h）×4] ＝（12a＋12b＋12h）÷（4a＋4b＋4h） ＝12（a＋b＋h）÷4（a＋b＋h） ＝3 （3a×3b＋3b×3h＋3a×3h）×2÷[（a×b＋b×h＋a×h）×2] ＝18（ab＋bh＋ah）÷2（ab＋bh＋ah） ＝9 故答案为：A 【总结】此题主要考查学生对字母代表数的灵活应用与长方体特征和表面积公式的掌握。 1．一个长方体，长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，表面积扩大（    ）。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 2．一个长方体的表面积是168平方厘米，将长方体的长、宽、高分别缩小到原来的，缩小后的长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．84 B．42 C．336 考点八：正方体棱长变化对表面积的影响 棱长扩大影响：设正方体原棱长为，表面积。棱长扩大倍后变为，变化后的表面积，得出表面积随棱长扩大的变化倍数。 棱长缩小影响：设正方体原棱长为，表面积。棱长缩小为原来的变为，变化后的表面积，得出表面积随棱长缩小的变化倍数。 一个正方体的棱长扩大到原来的10倍，则这个正方体的表面积扩大原来的（    ）倍。 A．10 B．100 C．1000 D．不能确定 【答案】B 【分析】假设正方体原来的棱长是1厘米，扩大到原来的10倍，就是10厘米，根据正方体的表面积公式，分别代入数据计算原来的正方体的表面积和扩大后的正方体的表面积，再用除法计算即可得解。 【解析】假设正方体原来的棱长是1厘米 （厘米） 原来的表面积：（平方厘米） 扩大后的表面积： （平方厘米） 一个正方体的棱长扩大到原来的10倍，则这个正方体的表面积扩大原来的100倍。 故答案为：B 1．一个正方体的棱长是4cm，它的表面积是( )，如果它的棱长扩大2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 2．正方体的棱长扩大5倍，它的表面积扩大( )倍。 3．一个正方体的表面积是12平方厘米，如果它的棱长扩大2倍后，现在的正方体表面积是( )平方厘米。 考点九：长方体切割后表面积变化 平行于面切割：沿平行于长方体某个面切割，确定切面形状和面积。比如沿平行于长×宽的面切割，切面面积就是长×宽。原长方体表面积加上增加的切面面积，就是切割后的表面积。设原长方体长、宽、高，切割后增加两个长×宽的面，则切割后表面积 。 多刀切割：多刀切割时，依次分析每一刀增加的切面情况。如横竖各切一刀，横切增加两个长×宽的面，竖切增加两个宽×高的面，逐步计算出增加的总面积，再加上原表面积得到最终表面积。（培优点） 一个长方体，用下面不同的3种方法分别将其切成两个完全一样的长方体（如下图）。切后两个长方体的表面积分别比原来增加了40cm2、30cm2、24cm2。要求原来长方体的表面积是多少cm2，下面列式正确的是（    ）。 A．（40＋30＋24）×2 B．（40＋30＋24）＋2 C．40＋30＋24 D．以上都不对 【答案】C 【分析】 这样切增加了上下两个面的面积和，这样切增加了前后两个面的面积和，这样切增加了左右两个面的面积和，根据长方体的表面积＝上下前后左右6个面的面积和，列式即可。 【解析】40＋30＋24＝94（cm2） 原来长方体的表面积是94cm2。 故答案为：C 1．如下图，用这个长方体切割出一个最大的正方体，这个正方体的棱长是多少厘米？剩下长方体的表面积是多少平方厘米？ 2．把一个长14厘米、宽10厘米、高5厘米的长方体切成两个小长方体。下面切法中，表面积增加最少的是（    ）。 A． B． C． 3．妈妈做菜时，把图中的长方体豆腐块平均切成两个小正方体，切好的两块豆腐块表面积之和比原来的豆腐块的表面积增加了( )cm2。 考点十：正方体切割后表面积变化 平行于面切割：沿平行于正方体一个面切割，增加两个相同面的面积。设正方体棱长为，增加的面积为，原正方体表面积为，切割后表面积为。 多刀切割后表面积变化：（培优点） 基本原理 对于正方体，无论采用何种切割方向（只要是有效切割），每切一刀就会新增两个面。由于正方体的面均为正方形，其边长等于正方体的棱长，设正方体棱长为，根据正方形面积公式，每切一刀增加的表面积即为。 多刀切割计算方法 不管是平行切割还是不同方向的混合切割，关键在于确定总的切割刀数。 当确定切割刀数为时，增加的表面积就是。 已知原正方体的表面积为，所以切割后的总表面积 。 把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积增加了( )平方分米。 【答案】18 【分析】根据题意，把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，每个截面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【解析】3×3×2＝18（平方分米） 表面积增加了18平方分米。 1．一个棱长为的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积（    ）。 A．240 B．120 C．60 D．30 2．将一个棱长4cm的正方体木块，等分成棱长为2cm的正方体木块，表面积会增加（    ）cm2。 A．16 B．32 C．48 D．96 3．如图，把一块长方体木料锯成3个完全相同的小正方体后，表面积增加了( )平方米。 考点十一：长方体拼接后表面积变化 基本原理 多个长方体拼接时，拼接面重合使表面积减少，减少的量就是重合面面积之和。因为长方体面的长、宽、高不一样（特殊情况有两个相对面是正方形），所以要准确找出重合面的长和宽，根据长方形面积公式（是长，是宽）来算重合面面积。 （二）拼接计算方法 方法一：分别算再调整 两个长方体拼接： 以相同的面拼接：设两个长方体长、宽、高分别是、、和、、。若以长×宽的面（和一样）拼接，减少的表面积是（或）。原来两个长方体表面积和是，拼接后的表面积。 以不同的面拼接：若一个长方体长×宽的面与另一个长方体长×高的面拼接（假设能拼），按具体尺寸算重合面面积。比如，一个长方体长、宽、高，另一个长方体长、宽、高，以面和面拼接，减少的表面积是（这两个面中较小的面积），再用原来两个长方体表面积和减去减少的面积，得到拼接后的表面积。 多个长方体排成一排拼接：设个长方体长、宽、高分别是、、 。以相同的面（如长×宽的面）拼接，总共拼接次，每次拼接减少的表面积（假设拼接面为）。原来个长方体表面积总和是个相加，拼接后的表面积个相加（假设拼接面都为类型）。 多个长方体拼成多层多排的长方体：比如将个长方体（是排数，是层数）拼成一个大长方体。先算出所有小长方体表面积总和，就是个相加 。接着分析重合面数量和类型，算出重合面总面积（把每处重合面面积相加），拼接后的表面积所有小长方体表面积总和重合面总面积。 拼成特殊形状（像接近正方体的形状）：先算出所有长方体表面积总和。根据长方体尺寸确定拼接方式，找出所有重合面，算出减少的表面积，用原来长方体表面积总和减去减少的表面积，得到拼接后的表面积。 方法二：整体观察 两个长方体拼接：观察拼接后的物体前面、左面、上面，确定这三个方向看到面的形状和尺寸（可能是长方形或正方形），算出这三个方向看到面的总面积（按长方形或正方形面积公式算每个面面积后相加）。因为相对面面积相等，所以拼接后表面积。检查有无因拼接产生的隐藏面或特殊情况，有的话调整表面积。 多个长方体排成一排拼接：观察拼接成一排的物体前面、左面、上面。数清每个方向看到面的数量，确定面的形状和尺寸（前面可能是长方形，长和宽按拼接情况定；左面和上面的面形状和尺寸依实际情况），分别算出这三个方向看到面的总面积、、。拼接后表面积，检查有无隐藏面或特殊情况并调整。 多个长方体拼成多层多排的长方体或特殊形状：从整体看拼接后的物体前面、左面、上面，确定这三个方向看到面的形状、数量和尺寸。分别算出这三个方向看到面的总面积、、，拼接后表面积，同时仔细检查有无隐藏面或因拼接产生的特殊情况，有的话相应调整表面积。 想一想、画一画、算一算。 下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 （1）想一想，都可以怎么拼，请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。（或者能用语言描述出拼成表面积最大的长方体的长宽高和表面积最小的长方体的长宽高也可以） （2）分别计算：拼出的大小两个长方体的表面积各是多少平方厘米？ 【答案】（1）见解析 （2）最大164平方厘米；最小148平方厘米 【分析】（1）将长、宽分别为4cm，3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最大；将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，据此作图。 （2）得到的表面积最大的长方体的长是cm，宽是4cm，高是3cm；表面积是小的长方体的长是5cm，宽是4cm，高是cm。根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【解析】（1）将长、宽分别为4cm，3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最大，如图： 将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，如图： （2）[（5＋5）×4＋（5＋5）×3＋4×3]×2 ＝[10×4＋10×3＋4×3]×2 ＝[40＋30＋12]×2 ＝82×2 ＝164（平方厘米） [5×4＋5×（3＋3）＋4×（3＋3）]×2 ＝[5×4＋5×6＋4×6]×2 ＝[20＋30＋24]×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：表面积最大是164平方厘米，表面积最小是148平方厘米。 1．把两个长为4cm､宽为2cm､高为1cm的长方体拼成一个大的长方体,请你动手拼一拼,并求这个大长方体的表面积. 2．用两个长8cm，宽5cm，高2cm的小长方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )，最小是( )。 3．两个完全一样的长方体，拼成了一个棱长是5分米的正方体，原来一个长方体的表面积是　 　平方分米． 考点十二：正方体拼接后表面积变化 基本原理 正方体的六个面完全一样。每拼接一次，就有两个面重合，不再属于外露表面积，导致表面积减少。设正方体棱长为 ，依据正方形面积公式，每拼接一次减少的表面积是。 拼接计算方法 方法一：分别算再调整 两个正方体拼接：有两个棱长为的正方体，原来表面积之和是。拼接后减少，拼接后的表面积。 多个正方体排成一排拼接：若个棱长为的正方体排成一排拼接，总共拼接次，减少的表面积是。原来个正方体表面积总和是，所以拼接后的表面积。 多个正方体拼成其他形状：先算出所有正方体表面积总和，就是正方体个数。再仔细数出重合面数量，由于每个面面积是，减少的表面积就是。那么拼接后的表面积所有正方体表面积总和。 方法二：整体观察 两个正方体拼接：观察拼接后的物体前面、左面、上面，确定这三个方向看到面的数量和形状（都是正方形），算出这三个方向看到面的总面积 （按正方形面积公式算每个面面积后相加）。因为相对面面积相等，所以拼接后表面积 。检查是否有特殊情况（像隐藏面等），有的话调整表面积。 多个正方体排成一排拼接：观察拼接成一排的物体前面、左面、上面。数清每个方向看到面的数量，确定面的形状和尺寸（前面可能是长为、宽为的长方形；左面和上面是边长为的正方形），分别算出这三个方向看到面的总面积、、。拼接后表面积 ，检查有无特殊情况并调整。 多个正方体拼成其他形状：从整体看拼接后的物体前面、左面、上面，确定这三个方向看到面的形状、数量和尺寸。分别算出这三个方向看到面的总面积、、，拼接后表面积 ，同时检查有无隐藏面或特殊情况，有的话相应调整表面积。 智慧乐园 （1）2个棱长1厘米的正方体，它们的表面积总和是多少平方厘米？把它们拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？ （2）3个这样的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？4个呢？ （3）你有什么发现？ （4）按这样的拼法，20个小正方体拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？ 【答案】（1）12平方厘米；2平方厘米 （2）4平方厘米；6平方厘米 （3）见解析 （4）38平方厘米 【分析】（1）根据正方体的表面积×2可求出图中两个正方体的表面积总和，由于在拼组的过程中，减少了两个面，则用棱长×棱长×2即可求出减少的面积； （2）3个这样的正方体拼成一个长方体减少了（3－1）×2个面，4个这样的正方体拼成一个长方体减少了（4－1）×3个面，根据一个面的面积×减少面的个数即可求出减少的面积； 对于（3）和（4）根据增加正方体的个数与减少面的数量之间的关系说说自己的发现，然后根据这一规律计算20个这样的正方体拼成一个长方体减少的面积。 【解析】（1）1×1×6×2＝12（平方厘米） 1×1×2＝2（平方厘米） 答：它们的表面积总和是12平方厘米，表面积减少了2平方厘米。 （2）1×1×（3－1）×2 ＝1×2×2 ＝4（平方厘米） 1×1×（4－1）×2 ＝1×3×2 ＝6（平方厘米） 答：表面积减少了4平方厘米，4个正方体拼成长方体后，表面积减少了6平方厘米。 （3）1×1×（n－1）×2＝2n－2（平方厘米） 答：把n个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体后，表面积减少（2n－2）平方厘米。 （4）1×1×（20－1）×2 ＝1×19×2 ＝38（平方厘米） 答：表面积减少了38平方厘米。 【总结】此题的解题关键是观察立体图形拼接以后表面积的变化情况，根据长方体和正方体的特征，找出规律，利用正方形面积公式求解。 1．把2个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 2．如图所示，用两个这样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是多少cm2？ 考点十三：长方体正方体组合图形表面积计算 基本原理 在长方体与正方体组合的图形中，面的重合会导致表面积发生变化。我们需先分别算出各个单独立体图形（长方体、正方体）的表面积，再减去重合部分面的面积，以此得到组合图形的表面积。长方体的面尺寸通常不一致（特殊情况有两个相对面是正方形），而正方体的六个面完全相同，这使得在计算组合图形表面积时存在不同的处理方式。 组合图形表面积 （一）简单组合（两个图形组合） 方法一：整体观察法 观察组合图形的前面、左面、上面，仔细确定这三个方向上所看到的面的形状和尺寸。对于长方体的面，明确其长和宽；对于正方体的面，明确其棱长。 分别计算前面、左面、上面看到的面的总面积。根据长方形面积公式（为长，为宽）或正方形面积公式（为棱长），算出每个面的面积后相加，得到前面的总面积、左面的总面积和上面的总面积。 分析是否存在隐藏在内部但不属于重合面的面，若有，计算这些面的面积，设其总面积为。 组合图形的表面积。 方法二：分别计算再调整法 分别算出两个单独立体图形（长方体和正方体）的表面积。若长方体的长、宽、高分别是、、，其表面积；若正方体的棱长为，其表面积。 观察组合图形的前面、左面、上面，判断重合面在这三个方向上的投影情况，算出重合面的面积。 组合图形的表面积。同时，检查是否因组合产生了其他隐藏面，若有，计算其面积并加到表面积中。 （二）复杂组合（多个图形组合） 整体观察法：当多个长方体和正方体呈现复杂的组合状态时，从整体入手，观察组合图形的前面、左面、上面这三个方向的形状。分别数出这三个方向上能看到的面的数量，并确定每个面的形状和尺寸（对于长方体的面，明确其长和宽；对于正方体的面，明确其棱长）。 计算各方向面的面积： 计算前面看到的面的总面积。将前面看到的每个面的面积计算出来（根据长方形面积公式或正方形面积公式），然后相加得到前面的总面积。 同理，计算左面看到的面的总面积。 计算上面看到的面的总面积。 加上隐藏面的面积：除了从这三个方向看到的面，可能还存在一些隐藏在内部但不属于重合面的面，需要仔细分析找出这些面，并计算它们的面积，设这些隐藏面的总面积为。 得出组合图形表面积：组合图形的表面积 。这样通过从整体的三个方向进行观察和计算，避免了逐一分析每个立体图形和重合面的复杂过程，能更高效地计算出组合图形的表面积。 总结 计算长方体与正方体组合图形的表面积，方法多样且需灵活运用。既可以通过分别计算单独立体图形表面积再减去重合面面积的方法，也可以采用从整体观察三个方向面的方法。 下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？    【答案】2480平方厘米 【分析】根据题意，通过平移补齐，这个塑料部件的表面积＝正方体的表面积＋长方体的侧面积（前、后、左、右四个面的面积），正方体的表面积＝6a2，据此解答。 【解析】 （平方厘米） （平方厘米） 答：这个塑料部件的表面积是平方厘米。 【总结】此题考查了长方体与正方体的面积计算，关键熟记计算公式。 1．计算下面组合图形的表面积。（单位：cm） 2．有一个形状如下的零件，求它的表面积。（单位：cm） 3．下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 考点十四：正方体表面涂色面积计算 （一）不同位置涂色面积计算 设正方体棱长为（假设小正方体棱长为）。 顶点处：顶点处有个小正方体，每个顶点处小正方体面涂色，顶点处涂色面积为。 每条棱上（除去顶点）：每条棱上有个面涂色的小正方体（），棱上涂色面积为。 每个面上（除去棱上）：每个面上有个面涂色的小正方体，面上涂色面积为。 将不同位置涂色面积相加得到总的涂色面积，可明确其与正方体表面积的关系。 （二）不同棱长规律总结 改变正方体棱长，重复上述计算过程。如棱长为时，同样计算顶点、棱上、面上涂色面积，对比不同棱长下的数据，总结顶点、棱、面涂色部分面积的变化规律。例如，随着棱长的增大，面涂色的小正方体个数始终为个；面涂色的小正方体个数与棱长相关，随棱长增大而增多；面涂色的小正方体个数增长速度更快。 如图，把一个表面涂满红色的正方体木块，切成64个大小相同的小正方体。则切开的小正方体中。 （1）三面涂有红色的小正方体有几个？ （2）两面涂有红色的小正方体有几个？ （3）一面涂有红色的小正方体有几个？ （4）所有面都没有涂色的小正方体有几个？ 【答案】（1）8个 （2）24个 （3）24个 （4）8个 【分析】（1）因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体，三面涂色都在顶点处，所以一共有8个； （2）两面涂有红色的小正方体位于每条棱的中间，每条棱有4个小正方体，除去两端的顶点，中间有2个，正方体有12条棱，所以用2乘上12即可； （3）一面涂有红色的小正方体位于每个面的中间，每个面有（4×4）个小正方体，除去边缘的小正方体，中间有（2×2）个，正方体有6个面，所以有4乘上6即可； （4）用64减去8个三面涂有红色的小正方体，减去24个两面涂有红色的小正方体，再减去24个一面涂有红色的小正方体，即可得出答案。 【解析】（1）4×4×4 ＝16×4 ＝64（个） 所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体，三面涂色都在顶点处，所以一共有8个。 答：三面涂有红色的小正方体有8个。 （2）2×12＝24（个） 答：两面涂有红色的小正方体有24个。 （3）2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 答：一面涂有红色的小正方体有24个。 （4）64－8－24－24 ＝56－24－24 ＝32－24 ＝8（个） 答：所有面都没有涂色的小正方体有8个。 1．如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 2．下图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？ 3．把一个棱长5厘米的正方体表面涂上颜色，将它切割成棱长是1厘米的125块小正方体，其中只有两面涂色的小正方体有( )块，只有一面涂色的小正方体有( )块。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版五年级数学下册同步精讲 第三单元 长方体和正方体（2）长方体和正方体的表面积 内容导航 · 思维导图 1 · 知识梳理 1 · 考点精讲 3 思维导图 知识梳理 知识点一.长方体和正方体表面积的意义 1.长方体和正方体的展开面 （1）长方体的展开面 （2）正方体的展开面 2.长方体的正方体的表面积 (1)长方体6个面的总面积，叫做长方体的表面积。 (2)正方体6个面的总面积，叫做正方体的表面积。 3.正方体的11种平面展开图。 知识点二.长方体表面积的计算方法 1.长方体表面积的计算公式：(a,b,h分别是长方体的长，宽，高，S是长方体的表面积) (1)长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2,字母表示：S=2ab+2ah+2bh。 (2)长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2,字母表示：S=2(ab+ah+bh)。 2.长方体（或正方体）的侧面积＝底面周×高 知识点三.正方体表面积的计算方法 正方体表面积的计算公式：(a是正方体的棱长，S是正方体的表面积) 正方体的表面积=棱长×棱长×6,用字母表示为S=6a²。 考点精讲 考点一：长方体表面积公式运用 普通数据代入：当题目直接给出长、宽、高具体数值时，直接将长、宽、高的值代入公式，按先乘除后加减的顺序进行运算。例如长为、宽为、高为，则表面积 。 单位不一致情况：若长、宽、高单位不同，先将单位换算统一。如长是米，宽是分米，高是厘米，可统一换算成厘米，即长为厘米，宽为厘米，高为厘米，再代入公式计算。 计算下面图形的表面积。 【答案】248m2；13.5cm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【解析】（10×4＋10×6＋4×6）×2 ＝（40＋60＋24）×2 ＝124×2 ＝248（m2） 1.5×1.5×6＝13.5（cm2） 长方体表面积是248m2，正方体表面积是13.5cm2。 1．一个长方体的长是4m，宽是3m，高是2m，它的表面积是( )m2。 【答案】52 【分析】根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解析】（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝（20＋6）×2 ＝26×2 ＝52（m2） 一个长方体的长是4m，宽是3m，高是2m，它的表面积是52m2。 2．一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是( )分米，占地面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 60 30 148 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算； 占地面积就是算长方体的底面积，根据长方形的面积公式计算即可； 最后根据，代入数据计算。 【解析】 （分米） （平方分米） （平方分米） 一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是60分米，占地面积是30平方分米，表面积是148平方分米。 3．一个长方体箱子，长1.8米，宽0.3米，高1.2米，它的占地面积最大是( )平方分米，最小是( )平方分米。 【答案】 216 36 【分析】长方体的各个面均为长方形，长方形的面积＝长×宽；据此分别把长1.8米，宽0.3米，高1.2米作为长方形的长与宽计算再比较大小即可求出最大和最小的占地面积。 【解析】1.8×0.3＝0.54（平方米） 0.54平方米＝54平方分米 1.8×1.2＝2.16（平方米） 2.16平方米＝216平方分米 0.3×1.2＝0.36（平方米） 0.36平方米＝36平方分米 216＞54＞36 则它的占地面积最大是216平方分米，最小是36平方分米。 4．用一根铁丝正好围成一个棱长为7cm的正方体框架。如果用这根铁丝正好围成一个长6cm、宽5cm的长方体框架，那么它的高是( )cm，表面积是( )cm2。 【答案】 10 280 【分析】根据正方体的总棱长＝12×棱长，据此求出铁丝的长度；再结合长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，据此求出长方体的高；再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【解析】7×12＝84（cm） 84÷4－6－5 ＝21－6－5 ＝15－5 ＝10（cm） （6×5＋6×10＋5×10）×2 ＝（30＋60＋50）×2 ＝140×2 ＝280（cm2） 则它的高是10cm，表面积是280cm2。 考点二：正方体表面积公式运用 普通计算：已知正方体棱长，直接将棱长代入公式，先算平方，再算乘法得出表面积。 单位换算后计算：当棱长单位不一致时，比如棱长是分米，换算成厘米为厘米，再代入公式进行计算。 求正方体的表面积。（单位：厘米） 【答案】384平方厘米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可。 【解析】8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 正方体的表面积是384平方厘米。 1．一个正方体的底面积是3dm2，它的表面积是( )dm2。 【答案】18 【分析】 正方体的特征：正方体的6个面都是完全一样的正方形。 根据正方体的表面积S＝6a2，用正方体的底面积乘6，即可求出这个正方体的表面积。 【解析】3×6＝18（dm2） 它的表面积是18dm2。 【总结】本题考查正方体表面积公式的运用，掌握正方体的特征以及理解正方体表面积的求法是解题的关键。 2．一个正方体的棱长总和是72cm，它的棱长是( )cm，表面积是( )cm2。 【答案】 6 216 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12，所得结果即为这个正方体的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入相应数值计算即可解答。 【解析】这个正方体的棱长：72÷12＝6（cm） 表面积：6×6×6＝216（cm2） 因此它的棱长是6cm，表面积是216cm2。 3．一个正方体的棱长是8dm，它的一个面的面积是( )dm2，表面积是( )dm2。 【答案】 64 384 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，即棱长×棱长；表面积＝棱长×棱长×6，代入求解即可。 【解析】8×8＝64（dm2） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（dm2） 即它的一个面的面积是64 dm2，表面积是384 dm2。 4．一个正方体的棱长是b分米，它的棱长总和是( )分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 12b 6b2 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答，最后化简即可。 【解析】12×b＝12b（分米） b×b×6＝6b2（平方分米） 一个正方体的棱长是b分米，它的棱长总和是12b分米，表面积是6b2平方分米。 【总结】本题主要考查了正方体棱长和公式、正方体表面积公式的应用以及含未知数的化简，要熟练掌握公式。 考点三：长方体展开图分析 面的标注与对应关系：面对长方体展开图，根据相对面“隔一个面”的规律，标注出“上、下、前、后、左、右”面。如在常见的“1 - 4 - 1”型展开图中，同一行或列中，间隔一个正方形的两个面是相对面。 边长测量与表面积计算：用测量工具测量展开图各边长度，通常较长边对应长方体的长，中等长度边对应宽，较短边对应高。确定长、宽、高后，代入表面积公式计算。 将下面的展开图围成一个长方体。 （1）写出与③相对的面是（    ）。 （2）计算出这个长方体的表面积。 【答案】（1）⑤ （2）132平方厘米 【分析】（1）长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。 把长方体的展开图围成一个长方体，可以看出①和⑥相对，②和④相对，③和⑤相对。 （2）从长方体的展开图中可知，这个长方体的长是8厘米、宽是5厘米、高是2厘米；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出它的表面积。 【解析】（1）与③相对的面是⑤。 （2）（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是132平方厘米。 1．（如下图）是一个长方体外包装盒的展开图，求围成长方体的表面积是多少立方厘米？ 【答案】136平方厘米 【分析】由长方体的展开图可以围成一个长为4厘米，宽为10厘米，高为（6－4）厘米的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求解。 【解析】6－4＝2（厘米） （4×10＋4×2＋10×2）×2 ＝（40＋8＋20）×2 ＝68×2 ＝136（平方厘米） 答：围成长方体的表面积是136立方厘米。 2．方格图中是长方体的两个面，请你把这个长方体的另一个不同的面画出来，并计算出这个长方体的表面积（每格的边长是1厘米）。 【答案】图见解析；94平方厘米 【分析】根据长方体展开图的特征，长方体有6个面，相对的面完全相同，据此画出长方体的另一个不同的面画出来；根据长方体展开图可知，该长方体长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据求解即可。 【解析】作图如下： （5×3＋3×4＋5×4）×2 ＝（15＋12＋20）×2 ＝（27＋20）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 这个长方体的表面积为94平方厘米。 3．丽丽从下面的长方形纸片中选择了三种不同的纸片各两张，粘贴成了一个长方体纸盒。她选的是( )，这个纸盒的表面积是( )平方厘米。 【答案】 ABD 62 【分析】观察所给的纸片，可以有两种选择：①可选择ABD粘成一个长方体，如下图1；②可选择BCE粘成一个长方体，如下图2；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此算出不同选择下，所粘纸盒对应的表面积。 【解析】根据所给的纸片规格，可以有两种选择，都可以粘贴成一个长方体纸盒。 情况①：当选择ABD时，这个纸盒的表面积： （平方厘米） 即当她选的是ABD时，这个纸盒的表面积是62平方厘米。 情况②：当选择BCE时，这个纸盒的表面积： （平方厘米） 即当她选的是BCE时，这个纸盒的表面积是94平方厘米。 考点四：正方体展开图分析 相对面判断与面积计算：根据正方体展开图类型，如“2 - 3 - 1”型等，判断相对面。测量展开图中一个面的边长，此边长就是正方体棱长，代入公式计算表面积。 从下面的方格纸（每小格的边长表示3厘米）上剪下一部分，折成一个棱长为3厘米的正方体，可以怎样剪？请设计两种不同的方案，并在图中涂色表示。 【答案】见解析 【分析】正方体的棱长为3厘米，每小格边长也为3厘米，正方体有6个面，选择6格进行涂色。常见的正方体展开图如下， 任选其中的两种涂色即可。 【解析】 （答案不唯一） 1．下面是一个正方体的展开图。 (1)①号面相对的是( )号面；⑤号面相对的是( )号面。 (2)如果这个正方体的棱长是2cm，那么它的表面积是( )。 【答案】(1) ③ ⑥ (2)24 【分析】（1）结合正方体展开图的规律可知，折叠成正方体后，①号面相对的是③号面；②号面相对的是④号面；⑤号面相对的是⑥号面。 （2）已知正方体的棱长是2cm，可套用表面积公式S表＝6a2来计算。 （1） 由分析得： ①号面相对的是（③）号面；⑤号面相对的是（⑥）号面。 （2） S表＝6a2 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（cm2） 【总结】想象把展开图折叠成一个正方体，这个过程中形成折或展的表象，折的方法可以不同，但相对面保持不变。 2．下图是一个正方体纸盒的展开图。 （1）与④号相对的面是( )号面。 （2）正方体的表面积是( )。 【答案】 ⑥ 54 【分析】（1）根据正方体展开图的特点，在连续的4个面中，相对的面间隔排列。那么与④号相对的面是⑥号面。 （2）观察展开图可知，正方体的棱长是9÷3＝3（厘米）。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【解析】（1）与④号相对的面是⑥号面。 （2）9÷3＝3（厘米） 3×3×6＝54（平方厘米） 【总结】根据正方体展开图的特点可以找出各相对的面；根据正方体的表面积公式即可求出正方体的表面积。 考点五：长方体实际场景表面积计算 无盖长方体：对于无盖长方体，计算底面和四个侧面的面积之和。设长为、宽为、高为，则表面积。 特殊形状长方体（通风管）：像通风管这类特殊形状长方体，根据其面的实际情况，确定面的数量和形状。例如通风管一般只有四个面，设长为，宽为，高为，其表面积（假设通风管两端开口，只有四个侧面）。 一间多媒体教室长15米，宽9米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）。门窗的面积是24平方米，如果每平方米需要花9元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】2727元 【分析】从题意可知：粉刷这间教室的墙壁和天花板，即粉刷长方体的上面和前后左右面共5个面。根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需要粉刷的面积。最后用每平方米的涂料费用×粉刷面积即可。 【解析】15×9＋15×4×2＋9×4×2－24 ＝135＋120＋72－24 ＝303（平方米） 9×303＝2727（元） 答：粉刷这间教室需要涂料费2727元。 1．一根方木，长是3米，它的截面是一个边长为3分米的正方形。求这根方木的表面积。 【答案】378平方分米 【分析】先将单位统一，即把3米化为30分米，再根据有两个面是正方形的长方体表面积＝正方形的边长×边长×2＋长×正方形的边长×4，代入数据计算即可解答。 【解析】3米＝30分米 3×3×2＋30×3×4 ＝9×2＋90×4 ＝18＋360 ＝378（平方分米） 答：这根方木的表面积是378平方分米。 2．做一个无盖长方体铁皮箱，铁皮箱的棱长总和是82分米，底面周长是31分米，宽是高的1.5倍。做成这个无盖铁皮箱需要多少平方分米铁皮？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】215平方分米 【分析】根据的逆运算，用底面周长除以2得到长与宽的和，又根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4的逆运算，用棱长总和除以4，得到长、宽与高的和，再用长、宽与高的和减长与宽的和，得到高，再用高乘1.5得到宽，用长与宽的和减宽，得到长。再根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可。 【解析】高： （分米） 宽：（分米） 长： （分米） （平方分米） 答：做成这个无盖铁皮箱需要215平方分米铁皮。 3．工人需要给一个长15米，宽12米，高5米的无盖水池，四周和底部抹上水泥。每平方米需要水泥10千克，一共需要多少吨水泥？ 【答案】4.5吨 【分析】先求出无盖水池的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出无盖水池的表面积，再乘10，求出需要水泥的重量，注意单位名数的换算。 【解析】15×12＋（15×5＋12×5）×2 ＝180＋（75＋60）×2 ＝180＋135×2 ＝180＋270 ＝450（平方米） 450×10＝4500（千克） 4500千克＝4.5吨 答：一共需要4.5吨水泥。 考点六：正方体实际场景表面积计算 无盖正方体：无盖正方体只需计算五个面的面积，设正方体棱长为，则表面积。 有部分面不需要计算（如靠墙）：若正方体一面靠墙，设棱长为，其表面积；若两面靠墙（墙角处），表面积 。 孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？ 【答案】45平方分米；27立方分米 【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出，棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用铁丝长度除以12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积。 【解析】（分米） （平方分米） 答：至少需要45平方分米的安全阻燃纸。 1．徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 【答案】80平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求这个正方体金鱼缸5个面的面积和，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×5，代入数据，即可解答。 【解析】4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃80平方分米。 2．中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是( )dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要( )dm2的灯笼布。 【答案】 2 16 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体灯笼的棱长；求四周围上灯笼布的面积，就是求正方体的侧面积，根据正方体侧面积公式：侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可解答。 【解析】24÷12＝2（dm） 2×2×4 ＝4×4 ＝16（dm2） 中国灯笼是一种古老的传统工艺品。乐乐用一根24dm长的铁丝围了一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼的棱长是2dm，如果给这个灯笼的四周围上灯笼布（上下面空着），至少需要16dm2的灯笼布。 3．如图，爸爸已经做好了一个正方体木框架的3条棱，继续做下去，至少还需要( )dm的木条。如果给做好的木框架的5个面糊彩纸，至少需要( )dm2的彩纸。 【答案】 18 20 【分析】木条总长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出木条总长度，木条总长度－做好的3条棱的长度和＝还需要的木条长度；需要的彩纸面积＝棱长×棱长×5，据此列式计算。 【解析】2×12－2×3 ＝24－6 ＝18（dm） 2×2×5＝20（dm2） 至少还需要18dm的木条。至少需要20dm2的彩纸。 考点七：长方体棱长变化对表面积的影响 棱长同时变化：设原长方体长、宽、高分别为、、，表面积。长、宽、高同时扩大倍后，长变为、宽变为、高变为，表面积，通过对比得出表面积变化倍数和规律。 棱长不同变化：长扩大倍、宽扩大倍、高不变，原长方体表面积，变化后长为、宽为、高为，变化后的表面积，分析对应面的面积变化，进而计算出总表面积的变化。 如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的棱长和扩大（    ）倍，表面积扩大（    ）倍。 A．3  9 B．9  9 C．3  27 D．3  6 【答案】A 【分析】根据题意，设长为a，宽为b，高为h，依据棱长和公式：（长＋宽＋高）×4和表面积公式：（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，以此解答。 【解析】设长为a，宽为b，高为h，那么扩大后的长为3a，宽为3b，高为3h。 （3a＋3b＋3h）×4÷[（a＋b＋h）×4] ＝（12a＋12b＋12h）÷（4a＋4b＋4h） ＝12（a＋b＋h）÷4（a＋b＋h） ＝3 （3a×3b＋3b×3h＋3a×3h）×2÷[（a×b＋b×h＋a×h）×2] ＝18（ab＋bh＋ah）÷2（ab＋bh＋ah） ＝9 故答案为：A 【总结】此题主要考查学生对字母代表数的灵活应用与长方体特征和表面积公式的掌握。 1．一个长方体，长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，表面积扩大（    ）。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【答案】C 【分析】设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再用现在的长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大的倍数。 【解析】解：令原来的长、宽、高分别为a、b、h 则原来的表面积：（ab＋ah＋bh）×2 现在的表面积：（6ab＋8ah＋12bh）×2＝2（3ab＋4ah＋6bh）×1 故现在的表面积和原来的面积无法确定。 故答案为：C 【总结】解答此题的关键是：利用长方体的表面积公式分别表示出现在和原来的表面积，即可求解。 2．一个长方体的表面积是168平方厘米，将长方体的长、宽、高分别缩小到原来的，缩小后的长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．84 B．42 C．336 【答案】B 【分析】根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），积也扩大到原来几倍或缩小到原来的几分之一；据此可知表面积会缩小到原来的，已知一个长方体的表面积是168平方厘米，用168÷4即可求出缩小后长方体的表面积。据此解答。 【解析】168÷2÷2＝42（平方厘米） 缩小后的长方体的表面积是42平方厘米。 故答案为：B 【总结】本题主要考查了长方体表面积公式以及积的变化规律。 考点八：正方体棱长变化对表面积的影响 棱长扩大影响：设正方体原棱长为，表面积。棱长扩大倍后变为，变化后的表面积，得出表面积随棱长扩大的变化倍数。 棱长缩小影响：设正方体原棱长为，表面积。棱长缩小为原来的变为，变化后的表面积，得出表面积随棱长缩小的变化倍数。 一个正方体的棱长扩大到原来的10倍，则这个正方体的表面积扩大原来的（    ）倍。 A．10 B．100 C．1000 D．不能确定 【答案】B 【分析】假设正方体原来的棱长是1厘米，扩大到原来的10倍，就是10厘米，根据正方体的表面积公式，分别代入数据计算原来的正方体的表面积和扩大后的正方体的表面积，再用除法计算即可得解。 【解析】假设正方体原来的棱长是1厘米 （厘米） 原来的表面积：（平方厘米） 扩大后的表面积： （平方厘米） 一个正方体的棱长扩大到原来的10倍，则这个正方体的表面积扩大原来的100倍。 故答案为：B 1．一个正方体的棱长是4cm，它的表面积是( )，如果它的棱长扩大2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 【答案】 96平方厘米 4 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，即可求出这个正方体的表面积，如果这个正方体的棱长扩大2倍，根据积的变化规律可得它的表面积扩大2×2＝4倍，据此解答。 【解析】4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方厘米） 2×2＝4 故答案为：96平方厘米；4 【总结】本题主要考查正方体的表面积公式，解题时注意题干没有面积单位。 2．正方体的棱长扩大5倍，它的表面积扩大( )倍。 【答案】25 【分析】假设出正方体的棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，计算出原来的表面积和现在的表面积，最后求出表面积扩大的倍数，据此解答。 【解析】假设原来正方体的棱长为1厘米，现在正方体的棱长为5厘米。 原来正方体的表面积：1×1×6＝6（平方厘米） 现在正方体的表面积：5×5×6＝150（平方厘米） 150÷6＝25 所以，它的表面积扩大25倍。 【总结】正方体的棱长扩大a倍，正方体的表面积扩大a2倍，正方体的体积扩大a3倍。 3．一个正方体的表面积是12平方厘米，如果它的棱长扩大2倍后，现在的正方体表面积是( )平方厘米。 【答案】48 【分析】正方体的棱长扩大2倍，则它的表面积扩大2×2＝4倍；据此解答。 【解析】12×4＝48（平方厘米） 【总结】解题时要明确：正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大2×2＝4倍；体积扩大2×2×2＝8倍。 考点九：长方体切割后表面积变化 平行于面切割：沿平行于长方体某个面切割，确定切面形状和面积。比如沿平行于长×宽的面切割，切面面积就是长×宽。原长方体表面积加上增加的切面面积，就是切割后的表面积。设原长方体长、宽、高，切割后增加两个长×宽的面，则切割后表面积 。 多刀切割：多刀切割时，依次分析每一刀增加的切面情况。如横竖各切一刀，横切增加两个长×宽的面，竖切增加两个宽×高的面，逐步计算出增加的总面积，再加上原表面积得到最终表面积。（培优点） 一个长方体，用下面不同的3种方法分别将其切成两个完全一样的长方体（如下图）。切后两个长方体的表面积分别比原来增加了40cm2、30cm2、24cm2。要求原来长方体的表面积是多少cm2，下面列式正确的是（    ）。 A．（40＋30＋24）×2 B．（40＋30＋24）＋2 C．40＋30＋24 D．以上都不对 【答案】C 【分析】 这样切增加了上下两个面的面积和，这样切增加了前后两个面的面积和，这样切增加了左右两个面的面积和，根据长方体的表面积＝上下前后左右6个面的面积和，列式即可。 【解析】40＋30＋24＝94（cm2） 原来长方体的表面积是94cm2。 故答案为：C 1．如下图，用这个长方体切割出一个最大的正方体，这个正方体的棱长是多少厘米？剩下长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】4厘米；208平方厘米 【分析】由于要切割出一个最大的正方体，这个正方体最大的棱长就是长方体长、宽、高中最短的那个，由于15＞4＝4，所以正方体最大的棱长是4厘米，那么切去一个棱长是4厘米的正方体，此时剩下的长方体长是15－4＝11（厘米），宽是4厘米，高是4厘米，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）÷2，代入数据即可求解。 【解析】15＞4＝4 所以正方体的棱长是4厘米； 15－4＝11（厘米） （11×4＋11×4＋4×4）×2 ＝（44＋44＋16）×2 ＝104×2 ＝208（平方厘米） 答：这个正方体的棱长是4厘米，剩下长方体的表面积是208平方厘米。 2．把一个长14厘米、宽10厘米、高5厘米的长方体切成两个小长方体。下面切法中，表面积增加最少的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】就像切西瓜一样，切一刀，必然增加两个面。由于切法不同，增加的面的面积也不相同，但它们增加的都是两个相同的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，逐项求出它们各自增加的面积即可判断。 【解析】A．平行于底面切一刀，增加的面积之和为： 14×10×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） B．平行于左右两个面切一刀，增加的面积之和为： 10×5×2 ＝50×2 ＝100（平方厘米） C．平行于前后两个面切一刀，增加的面积之和为： 14×5×2 ＝70×2 ＝140（平方厘米） 280＞140＞100，所以表面积增加最少的是平行于左右两个面切一刀。 故答案为：B 3．妈妈做菜时，把图中的长方体豆腐块平均切成两个小正方体，切好的两块豆腐块表面积之和比原来的豆腐块的表面积增加了( )cm2。 【答案】50 【分析】要求表面积增加了多少，应明确把一个长方体切成两个正方体，不管怎样切，都会增加两个面，即增加两个边长是5cm的正方形的面积，根据“正方形的面积＝边长×边长”，能求出正方形的面积，进而求出增加的两个面的面积。 【解析】5×5×2 ＝25×2 ＝50（cm2） 妈妈做菜时，把图中的长方体豆腐块平均切成两个小正方体，切好的两块豆腐块表面积之和比原来的豆腐块的表面积增加了50cm2。 考点十：正方体切割后表面积变化 平行于面切割：沿平行于正方体一个面切割，增加两个相同面的面积。设正方体棱长为，增加的面积为，原正方体表面积为，切割后表面积为。 多刀切割后表面积变化：（培优点） 基本原理 对于正方体，无论采用何种切割方向（只要是有效切割），每切一刀就会新增两个面。由于正方体的面均为正方形，其边长等于正方体的棱长，设正方体棱长为，根据正方形面积公式，每切一刀增加的表面积即为。 多刀切割计算方法 不管是平行切割还是不同方向的混合切割，关键在于确定总的切割刀数。 当确定切割刀数为时，增加的表面积就是。 已知原正方体的表面积为，所以切割后的总表面积 。 把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积增加了( )平方分米。 【答案】18 【分析】根据题意，把一个棱长3分米的正方体，切成两个相等的长方体，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，每个截面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【解析】3×3×2＝18（平方分米） 表面积增加了18平方分米。 1．一个棱长为的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积（    ）。 A．240 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】根据正方体切成3个相同长方体的方法可知：6÷3＝2dm。所以切割后的长方体的长是6dm，宽是6dm，高是2dm，根据长方体表面积公式：面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解析】6÷3＝2（dm） （6×6＋6×2＋6×2）×2 ＝（36＋12＋12）×2 ＝（48＋12）×2 ＝60×2 ＝120（dm2） 一个棱长为的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积120dm2。 故答案为：B 2．将一个棱长4cm的正方体木块，等分成棱长为2cm的正方体木块，表面积会增加（    ）cm2。 A．16 B．32 C．48 D．96 【答案】D 【分析】将一个棱长为4cm的正方体木块等分成棱长为2cm的正方体木块，只需要横着、竖着、纵着切3次，每次增加两个面，据此求出原正方体的面，再乘增加的面的数量即可。 【解析】4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 则表面积会增加96cm2。 故答案为：D 3．如图，把一块长方体木料锯成3个完全相同的小正方体后，表面积增加了( )平方米。 【答案】100 【分析】把一块长方体木料锯成3个完全相同的小正方体后，增加了4个面的面积，每个面的面积＝棱长×棱长，求出一个面的面积，再乘4即可。 【解析】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方米） 所以，如上图，把一块长方体木料锯成3个完全相同的小正方体后，表面积增加了100平方米。 考点十一：长方体拼接后表面积变化 基本原理 多个长方体拼接时，拼接面重合使表面积减少，减少的量就是重合面面积之和。因为长方体面的长、宽、高不一样（特殊情况有两个相对面是正方形），所以要准确找出重合面的长和宽，根据长方形面积公式（是长，是宽）来算重合面面积。 （二）拼接计算方法 方法一：分别算再调整 两个长方体拼接： 以相同的面拼接：设两个长方体长、宽、高分别是、、和、、。若以长×宽的面（和一样）拼接，减少的表面积是（或）。原来两个长方体表面积和是，拼接后的表面积。 以不同的面拼接：若一个长方体长×宽的面与另一个长方体长×高的面拼接（假设能拼），按具体尺寸算重合面面积。比如，一个长方体长、宽、高，另一个长方体长、宽、高，以面和面拼接，减少的表面积是（这两个面中较小的面积），再用原来两个长方体表面积和减去减少的面积，得到拼接后的表面积。 多个长方体排成一排拼接：设个长方体长、宽、高分别是、、 。以相同的面（如长×宽的面）拼接，总共拼接次，每次拼接减少的表面积（假设拼接面为）。原来个长方体表面积总和是个相加，拼接后的表面积个相加（假设拼接面都为类型）。 多个长方体拼成多层多排的长方体：比如将个长方体（是排数，是层数）拼成一个大长方体。先算出所有小长方体表面积总和，就是个相加 。接着分析重合面数量和类型，算出重合面总面积（把每处重合面面积相加），拼接后的表面积所有小长方体表面积总和重合面总面积。 拼成特殊形状（像接近正方体的形状）：先算出所有长方体表面积总和。根据长方体尺寸确定拼接方式，找出所有重合面，算出减少的表面积，用原来长方体表面积总和减去减少的表面积，得到拼接后的表面积。 方法二：整体观察 两个长方体拼接：观察拼接后的物体前面、左面、上面，确定这三个方向看到面的形状和尺寸（可能是长方形或正方形），算出这三个方向看到面的总面积（按长方形或正方形面积公式算每个面面积后相加）。因为相对面面积相等，所以拼接后表面积。检查有无因拼接产生的隐藏面或特殊情况，有的话调整表面积。 多个长方体排成一排拼接：观察拼接成一排的物体前面、左面、上面。数清每个方向看到面的数量，确定面的形状和尺寸（前面可能是长方形，长和宽按拼接情况定；左面和上面的面形状和尺寸依实际情况），分别算出这三个方向看到面的总面积、、。拼接后表面积，检查有无隐藏面或特殊情况并调整。 多个长方体拼成多层多排的长方体或特殊形状：从整体看拼接后的物体前面、左面、上面，确定这三个方向看到面的形状、数量和尺寸。分别算出这三个方向看到面的总面积、、，拼接后表面积，同时仔细检查有无隐藏面或因拼接产生的特殊情况，有的话相应调整表面积。 想一想、画一画、算一算。 下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 （1）想一想，都可以怎么拼，请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。（或者能用语言描述出拼成表面积最大的长方体的长宽高和表面积最小的长方体的长宽高也可以） （2）分别计算：拼出的大小两个长方体的表面积各是多少平方厘米？ 【答案】（1）见解析 （2）最大164平方厘米；最小148平方厘米 【分析】（1）将长、宽分别为4cm，3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最大；将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，据此作图。 （2）得到的表面积最大的长方体的长是cm，宽是4cm，高是3cm；表面积是小的长方体的长是5cm，宽是4cm，高是cm。根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【解析】（1）将长、宽分别为4cm，3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最大，如图： 将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，如图： （2）[（5＋5）×4＋（5＋5）×3＋4×3]×2 ＝[10×4＋10×3＋4×3]×2 ＝[40＋30＋12]×2 ＝82×2 ＝164（平方厘米） [5×4＋5×（3＋3）＋4×（3＋3）]×2 ＝[5×4＋5×6＋4×6]×2 ＝[20＋30＋24]×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：表面积最大是164平方厘米，表面积最小是148平方厘米。 1．把两个长为4cm､宽为2cm､高为1cm的长方体拼成一个大的长方体,请你动手拼一拼,并求这个大长方体的表面积. 【答案】40平方厘米 48平方厘米 52平方厘米 【分析】根据题意可知:把两个完全一样的长方体拼成一个大长方体,有三种情况,(1)拼成一个长4厘米､宽2厘米､高2厘米的长方体;(2)拼成一个长4厘米､宽4厘米､高1厘米的长方体;(3)拼成一个长8厘米､宽2厘米､高1厘米的长方体,根据长方体的表面积公式:S=(ab+ah+bh)×2,把数据代入公式解答. 【解析】(1)拼成一个长4厘米､宽2厘米､高2厘米的长方体; (4×2+4×2+2×2)×2 =(8+8+4)×2 =20×2 =40(平方厘米); 答:这个大长方体的表面积是40平方厘米. (2)拼成一个长4厘米､宽4厘米､高1厘米的长方体; (4×4+4×1+4×1)×2 =(16+4+4)×2 =24×2 =48(平方厘米); 答:这个大长方体的表面积是48平方厘米. (3)拼成一个长8厘米､宽2厘米､高1厘米的长方体, (8×2+8×1+2×1)×2 =(16+8+2)×2 =26×2 =52(平方厘米); 答:这个大长方体的表面积是52平方厘米. 2．用两个长8cm，宽5cm，高2cm的小长方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )，最小是( )。 【答案】 244cm2 184cm2 【分析】大长方体表面积最大就是使重合部分的面积最小，则拼成的大长方体的长cm，宽5cm，高2cm；拼成的大长方体表面积最小就是使重合部分的面积最大，，则拼成的大长方体的长8cm，宽5cm，高cm。根据，代入数据计算即可。 【解析】（cm） （cm2） （cm） （cm2） 大长方体的表面积最大是244cm2，最小是184cm2。 3．两个完全一样的长方体，拼成了一个棱长是5分米的正方体，原来一个长方体的表面积是　 　平方分米． 【答案】100 【解析】试题分析：由“两个完全一样的长方体，拼成了一个棱长是5分米的正方体”可知，原来长方体的长、宽、高分别是5分米、5分米、2.5分米，代入长方体表面积公式即可求得长方体的表面积． 解：（5×5+5×2.5+5×2.5）×2， =50×2， =100（平方分米）； 答：原来长方体的表面积是100平方分米． 故答案为100． 点评：解答此题的关键是，先求出原来长方体的高，从而求得其表面积． 考点十二：正方体拼接后表面积变化 基本原理 正方体的六个面完全一样。每拼接一次，就有两个面重合，不再属于外露表面积，导致表面积减少。设正方体棱长为 ，依据正方形面积公式，每拼接一次减少的表面积是。 拼接计算方法 方法一：分别算再调整 两个正方体拼接：有两个棱长为的正方体，原来表面积之和是。拼接后减少，拼接后的表面积。 多个正方体排成一排拼接：若个棱长为的正方体排成一排拼接，总共拼接次，减少的表面积是。原来个正方体表面积总和是，所以拼接后的表面积。 多个正方体拼成其他形状：先算出所有正方体表面积总和，就是正方体个数。再仔细数出重合面数量，由于每个面面积是，减少的表面积就是。那么拼接后的表面积所有正方体表面积总和。 方法二：整体观察 两个正方体拼接：观察拼接后的物体前面、左面、上面，确定这三个方向看到面的数量和形状（都是正方形），算出这三个方向看到面的总面积 （按正方形面积公式算每个面面积后相加）。因为相对面面积相等，所以拼接后表面积 。检查是否有特殊情况（像隐藏面等），有的话调整表面积。 多个正方体排成一排拼接：观察拼接成一排的物体前面、左面、上面。数清每个方向看到面的数量，确定面的形状和尺寸（前面可能是长为、宽为的长方形；左面和上面是边长为的正方形），分别算出这三个方向看到面的总面积、、。拼接后表面积 ，检查有无特殊情况并调整。 多个正方体拼成其他形状：从整体看拼接后的物体前面、左面、上面，确定这三个方向看到面的形状、数量和尺寸。分别算出这三个方向看到面的总面积、、，拼接后表面积 ，同时检查有无隐藏面或特殊情况，有的话相应调整表面积。 智慧乐园 （1）2个棱长1厘米的正方体，它们的表面积总和是多少平方厘米？把它们拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？ （2）3个这样的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？4个呢？ （3）你有什么发现？ （4）按这样的拼法，20个小正方体拼成一个长方体后，表面积减少了多少平方厘米？ 【答案】（1）12平方厘米；2平方厘米 （2）4平方厘米；6平方厘米 （3）见解析 （4）38平方厘米 【分析】（1）根据正方体的表面积×2可求出图中两个正方体的表面积总和，由于在拼组的过程中，减少了两个面，则用棱长×棱长×2即可求出减少的面积； （2）3个这样的正方体拼成一个长方体减少了（3－1）×2个面，4个这样的正方体拼成一个长方体减少了（4－1）×3个面，根据一个面的面积×减少面的个数即可求出减少的面积； 对于（3）和（4）根据增加正方体的个数与减少面的数量之间的关系说说自己的发现，然后根据这一规律计算20个这样的正方体拼成一个长方体减少的面积。 【解析】（1）1×1×6×2＝12（平方厘米） 1×1×2＝2（平方厘米） 答：它们的表面积总和是12平方厘米，表面积减少了2平方厘米。 （2）1×1×（3－1）×2 ＝1×2×2 ＝4（平方厘米） 1×1×（4－1）×2 ＝1×3×2 ＝6（平方厘米） 答：表面积减少了4平方厘米，4个正方体拼成长方体后，表面积减少了6平方厘米。 （3）1×1×（n－1）×2＝2n－2（平方厘米） 答：把n个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体后，表面积减少（2n－2）平方厘米。 （4）1×1×（20－1）×2 ＝1×19×2 ＝38（平方厘米） 答：表面积减少了38平方厘米。 【总结】此题的解题关键是观察立体图形拼接以后表面积的变化情况，根据长方体和正方体的特征，找出规律，利用正方形面积公式求解。 1．把2个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 【答案】90平方厘米 【分析】把2个棱长为3厘米的小正方体拼成一个长方体后，长方体的长和宽等于正方体的棱长，高是正方体棱长的2倍。已知正方体的棱长，长方体的长是3厘米，宽是3厘米，高是6厘米，根据，代入数据。 【解析】3×2＝6（厘米） （3×3＋3×6＋3×6）×2 ＝（9＋18＋18）×2 ＝45×2 ＝90（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是90平方厘米。 2．如图所示，用两个这样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是多少cm2？ 【答案】640cm2 【分析】把2个棱长8cm的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比两个正方体的表面积和减少了两个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式，计算出两个正方体的表面积之和再减去两个面的面积即可解答。 【解析】6×8×8×2－8×8×2 ＝48×8×2－64×2 ＝768－128 ＝640（cm2） 答：拼成的长方体的表面积是640cm2。 【总结】抓住2个正方体拼组长方体的方法得出表面积减少部分的面积是解决此类问题的关键。 考点十三：长方体正方体组合图形表面积计算 基本原理 在长方体与正方体组合的图形中，面的重合会导致表面积发生变化。我们需先分别算出各个单独立体图形（长方体、正方体）的表面积，再减去重合部分面的面积，以此得到组合图形的表面积。长方体的面尺寸通常不一致（特殊情况有两个相对面是正方形），而正方体的六个面完全相同，这使得在计算组合图形表面积时存在不同的处理方式。 组合图形表面积 （一）简单组合（两个图形组合） 方法一：整体观察法 观察组合图形的前面、左面、上面，仔细确定这三个方向上所看到的面的形状和尺寸。对于长方体的面，明确其长和宽；对于正方体的面，明确其棱长。 分别计算前面、左面、上面看到的面的总面积。根据长方形面积公式（为长，为宽）或正方形面积公式（为棱长），算出每个面的面积后相加，得到前面的总面积、左面的总面积和上面的总面积。 分析是否存在隐藏在内部但不属于重合面的面，若有，计算这些面的面积，设其总面积为。 组合图形的表面积。 方法二：分别计算再调整法 分别算出两个单独立体图形（长方体和正方体）的表面积。若长方体的长、宽、高分别是、、，其表面积；若正方体的棱长为，其表面积。 观察组合图形的前面、左面、上面，判断重合面在这三个方向上的投影情况，算出重合面的面积。 组合图形的表面积。同时，检查是否因组合产生了其他隐藏面，若有，计算其面积并加到表面积中。 （二）复杂组合（多个图形组合） 整体观察法：当多个长方体和正方体呈现复杂的组合状态时，从整体入手，观察组合图形的前面、左面、上面这三个方向的形状。分别数出这三个方向上能看到的面的数量，并确定每个面的形状和尺寸（对于长方体的面，明确其长和宽；对于正方体的面，明确其棱长）。 计算各方向面的面积： 计算前面看到的面的总面积。将前面看到的每个面的面积计算出来（根据长方形面积公式或正方形面积公式），然后相加得到前面的总面积。 同理，计算左面看到的面的总面积。 计算上面看到的面的总面积。 加上隐藏面的面积：除了从这三个方向看到的面，可能还存在一些隐藏在内部但不属于重合面的面，需要仔细分析找出这些面，并计算它们的面积，设这些隐藏面的总面积为。 得出组合图形表面积：组合图形的表面积 。这样通过从整体的三个方向进行观察和计算，避免了逐一分析每个立体图形和重合面的复杂过程，能更高效地计算出组合图形的表面积。 总结 计算长方体与正方体组合图形的表面积，方法多样且需灵活运用。既可以通过分别计算单独立体图形表面积再减去重合面面积的方法，也可以采用从整体观察三个方向面的方法。 下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？    【答案】2480平方厘米 【分析】根据题意，通过平移补齐，这个塑料部件的表面积＝正方体的表面积＋长方体的侧面积（前、后、左、右四个面的面积），正方体的表面积＝6a2，据此解答。 【解析】 （平方厘米） （平方厘米） 答：这个塑料部件的表面积是平方厘米。 【总结】此题考查了长方体与正方体的面积计算，关键熟记计算公式。 1．计算下面组合图形的表面积。（单位：cm） 【答案】424 cm2 【分析】通过观察图形可知，由于大小两个长方体粘合在一起，把小长方体的右面平移到大长方体的右面（即粘合处），这样大长方体的表面积是6个面的面积之和，而右边小长方体的表面积只求它的前后面、上下面共4个面的面积之和，然后相加，就是组合图形的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【解析】（6×10＋6×5＋10×5）×2 ＝（60＋30＋50）×2 ＝140×2 ＝280（cm2） （6×2＋6×10）×2 ＝（12＋60）×2 ＝72×2 ＝144（cm2） 280＋144＝424（cm2） 2．有一个形状如下的零件，求它的表面积。（单位：cm） 【答案】294cm2 【分析】零件的表面积可以看作一个长10cm、宽5cm、高（5＋2）cm的长方体的表面积减去4个边长为2cm的小正方形的面积；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【解析】长方体的高：5＋2＝7（cm） 长方体的表面积： （10×5＋10×7＋5×7）×2 ＝（50＋70＋35）×2 ＝155×2 ＝310（cm2） 4个小正方形的面积： 2×2×4 ＝4×4 ＝16（cm2） 零件的表面积：310－16＝294（cm2） 3．下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【答案】涂黄色油漆10800平方厘米；涂红色油漆13000平方厘米 【分析】对于涂黄色油漆的面，是颁奖台的前后两个面，是由三个长方体的前后两个面组成，共6个面； 对于涂红色油漆的面，可以看作三个长方体的3个上面和1号长方体的左右两个面组成。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积。 【解析】60×40×2＋60×20×2＋60×（40－10）×2 ＝60×40×2＋60×20×2＋60×30×2 ＝4800＋2400＋3600 ＝10800（平方厘米） 60×50×3＋50×40×2 ＝9000＋4000 ＝13000（平方厘米） 答：涂黄色油漆的面积是10800平方厘米，红色油漆的面积是13000平方厘米。 考点十四：正方体表面涂色面积计算 （一）不同位置涂色面积计算 设正方体棱长为（假设小正方体棱长为）。 顶点处：顶点处有个小正方体，每个顶点处小正方体面涂色，顶点处涂色面积为。 每条棱上（除去顶点）：每条棱上有个面涂色的小正方体（），棱上涂色面积为。 每个面上（除去棱上）：每个面上有个面涂色的小正方体，面上涂色面积为。 将不同位置涂色面积相加得到总的涂色面积，可明确其与正方体表面积的关系。 （二）不同棱长规律总结 改变正方体棱长，重复上述计算过程。如棱长为时，同样计算顶点、棱上、面上涂色面积，对比不同棱长下的数据，总结顶点、棱、面涂色部分面积的变化规律。例如，随着棱长的增大，面涂色的小正方体个数始终为个；面涂色的小正方体个数与棱长相关，随棱长增大而增多；面涂色的小正方体个数增长速度更快。 如图，把一个表面涂满红色的正方体木块，切成64个大小相同的小正方体。则切开的小正方体中。 （1）三面涂有红色的小正方体有几个？ （2）两面涂有红色的小正方体有几个？ （3）一面涂有红色的小正方体有几个？ （4）所有面都没有涂色的小正方体有几个？ 【答案】（1）8个 （2）24个 （3）24个 （4）8个 【分析】（1）因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体，三面涂色都在顶点处，所以一共有8个； （2）两面涂有红色的小正方体位于每条棱的中间，每条棱有4个小正方体，除去两端的顶点，中间有2个，正方体有12条棱，所以用2乘上12即可； （3）一面涂有红色的小正方体位于每个面的中间，每个面有（4×4）个小正方体，除去边缘的小正方体，中间有（2×2）个，正方体有6个面，所以有4乘上6即可； （4）用64减去8个三面涂有红色的小正方体，减去24个两面涂有红色的小正方体，再减去24个一面涂有红色的小正方体，即可得出答案。 【解析】（1）4×4×4 ＝16×4 ＝64（个） 所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体，三面涂色都在顶点处，所以一共有8个。 答：三面涂有红色的小正方体有8个。 （2）2×12＝24（个） 答：两面涂有红色的小正方体有24个。 （3）2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 答：一面涂有红色的小正方体有24个。 （4）64－8－24－24 ＝56－24－24 ＝32－24 ＝8（个） 答：所有面都没有涂色的小正方体有8个。 1．如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 【答案】 8 6 【分析】一面涂色的在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间和三面涂色的处在顶点上，六个面都没有色的小正方体处在大正方体的中心；三面涂色的8个顶点上；一面涂色的＝每个面上的个数×6，两面涂色的＝每条棱上的个数×12，六个面都没色的＝总个数－一面涂色的个数－两面涂色的个数－三面涂色的个数；据此解答 【解析】1×6＝6（块） 三面涂色的小正方体有8块，一面涂色小正方体有6块。 【总结】本题关键是理解：六个面都没有色的小正方体处在大正方体的中心，一面涂色的处在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间和三面涂色的处在顶点上。 2．下图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？ 【答案】一面：52块；两面：36块；三面：8块。 【分析】这个长方体每个顶点处的小正方体块三面涂色，一个长方体有8个顶点，因此，三面涂色的小正方体有8个； 每条棱上非顶点处的小正方体两面涂色，长方体长等于4个小正方体棱长和的有4条，两面涂色的有（4－2）×4个，长方体宽等于6个小正方体棱长和的有4条，两面涂色的有（6－2）×4个；长方体高等于5小正方体5棱长和的有4条，两面涂色的有（5－2）×4个，再把它们相加，即可求出两面涂色的一共有多少个； 在长等于4小正方体棱长的和，宽等于5个小正方体棱长和的面内，一面涂色的有（4－2）×（5－2）×2个，在宽等于6个小正方体棱长和，高等于5个小正方体棱长和的面内，一面涂色的有（6－2）×（5－2）×2个；在长等于4小正方体棱长的和，高等于6个小正方体棱长和的面内，一面涂色的有（4－2）×（6－2）×2个，据此求出一面涂色的个数，据此解答。 【解析】一面涂色： （4－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（5－2）×2＋（4－2）×（6－2）×2 ＝2×3×2＋4×3×2＋2×4×2 ＝6×2＋12×2＋8×2 ＝12＋24＋16 ＝36＋16 ＝52（块） 两面涂色： （4－2）×4＋（6－2）×4＋（5－2）×4 ＝2×4＋4×4＋3×4 ＝8＋16＋12 ＝24＋12 ＝36（块） 三面涂色的有8块。 答：一面涂色的有52块，两面涂色的有36块，三面涂色的有8块。 3．把一个棱长5厘米的正方体表面涂上颜色，将它切割成棱长是1厘米的125块小正方体，其中只有两面涂色的小正方体有( )块，只有一面涂色的小正方体有( )块。 【答案】 36 54 【分析】因为5×5×5＝125，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上除去棱上的正方体都是一面红色，所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。 【解析】因为5×5×5＝125，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体； 所以一面涂色的有： （5－2）×（5－2）×6 ＝3×3×6 ＝ 54（个） 两面涂色的有： （5－2）×12 ＝3×12 ＝36（个） 其中只有两面涂色的小正方体有36块，只有一面涂色的小正方体有54块。 【总结】此题考查了立方体的知识。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$