精品解析：天津市第四十七中学2024-2025学年高三第一次模拟检测数学试卷

2024-2025四十七中高三第一次模拟检测 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举法表示集合，再求. 【详解】，，∴. 故选：D 2. 若数列是等比数列，则“首项 ，且公比”是“数列单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】证明由 ，可以得到数列单调递增，而由数列单调递增，不一定得到 ，，从而做出判断，得到答案. 【详解】数列是等比数列，首项 ，且公比， 所以数列，且， 所以得到数列单调递增； 因为数列单调递增， 可以得到首项 ，且公比， 也可以得到，且公比. 所以“首项 ，且公比”是“数列单调递增”的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列为递增数列的判定和性质，考查充分不不必要条件，属于简单题. 3. 函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果． 【详解】由函数， 可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1； 在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零， 结合所给的选项，只有B项满足条件， 故选：B． 4. 已知正四棱台的上､下底面面积分别为，下底面上的棱与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. 148 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合异面直线所成角，根据正四棱台的底面面积求侧棱长，再求正四棱台的高，继而可得正四棱台的体积. 【详解】因为正四棱台的上、下底面面积分别为，， 所以上、下底面边长分别为，． 如图，过点作于点，则． 因为 ，所以与所成的角为， 所以，得． 设该正四棱台上、下底面的中心分别为，，连接，，， 易得， ，过作于点，则， ． 所以该正四棱台的体积． 故选： . 5. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题 只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种， 故不同的分配方案为：， 故选A. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，则，再利用基本不等式求解. 【详解】因为 所以 所以 ， 当且仅当，即取等号 所以的最小值为8 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数为从6个零件中选4个的排列数，经过4次测试恰好将2个次品全部找出为第4次是次品，前3次中有一次是次品． 【详解】记经过4次测试恰好将2个次品全部找出为事件A，则． 故选B． 【点睛】本题考查古典概型，关键是确定基本事件的个数．本题中基本事件是选取了4个产品，“经过4次测试恰好将2个次品全部找出”是第4次找出次品，前3次中有1次找出次品，其他2次找到的正品，因此可用排列的方法求出基本事件个数． 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令 ，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 故选：A. 【点睛】方法定睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求 的值（或范围）． 9. 已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据可知， 令 由知为增函数， 所以恒成立， 分离参数得， 而当时，在时有最大值为， 故. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数,考查了推理分析能力，属于中档题. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数 ，即可得到，再根据复数模的计算公式计算可得； 【详解】解：因为， 所以，所以； 故答案为： 11. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 【答案】252 【解析】 【分析】 根据展开式中所有二项式系数的和等于，求得 ．在展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】∵在的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴，解得 ， ∴中，， ∴当，即 时，常数项为． 故答案为：252． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 12. 在平面直角坐标系中，过作圆O： 的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质可知四点共圆，且 为直径，求出圆的方程，两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程. 【详解】由切线的性质可知，， 故四点共圆，且 为直径， 由 中点为，, 所以 在圆上， 即， 两圆方程相减可得，公共弦的方程为. 故答案为： 13. 已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是__________填， 或不确定 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由平均变化率的公式代入计算，即可得到，然后作差，即可得到其大小关系. 【详解】因为， ， 且，则. 故答案为： 14. 如图，在 中， ，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，根据向量的线性运算以及向量基本定理，将转化为之间的运算，即可求得答案；第二空，设，，根据数量积的运算律，化简为之间的相关运算，结合二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】∵，，∴，， ∵，又 ，， ∴ ， 解得，∵，∴． 设，， ∴ ，， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为16， 故答案为：； 15. 设函数，则函数的最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性，求最小值；令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求两个函数最小值即可. 【详解】的导数为， 则 时， ，单调递减； 时， ，单调递增， 可得在 处取得极小值，且为最小值； 令，， 又对任意，存在， 有恒成立，即恒成立，即； 时，，当且仅当时取得最小值2， ，， 则时， ，单调递减；时， ，单调递增， 可得在处取得极小值，且为最小值； 所以，由，可得． 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 不等式恒成立问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出 ，则得到 ； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到 ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【小问1详解】 设， ，则根据余弦定理得 ， 即，解得（负舍）； 则. 【小问2详解】 法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 【小问3详解】 法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 17. 如图，在四棱锥中， 平面， ，，，M，N分别为线段，上的点（不在端点）. （1）当M为中点时，，求证：面； （2）当M为中点且N为中点时，求证：平面平面； （3）当N为中点时，是否存在M，使得直线与平面 所成角的正弦值为，若存在，求出 的长，若不存在，说明理由. 【答案】 （1）证明：取中点E，连结 ， ， ∵在四棱锥中， 平面， ， ，，M为中点，， ∴，， ∵，，∴平面平面， ∵平面，∴面. （2）证明：以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面的法向量， ∵，∴平面平面. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点E，连结 ， ，推导出，，从而平面平面，由此能证明面. （2）以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面. （3）假设存在存在，使得直线与平面 所成角的正弦值为..推导出，求出平面 的法向量，利用向量法能推导出 ，即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：假设存在存在，使得直线与平面 所成角的正弦值为，. 则，解得，，，∴， 则，，， 设平面 的法向量， 则，取，得， ∵直线与平面 所成角的正弦值为， ∴， 整理，得，解得（舍）或， ∴存在M，使得直线与平面 所成角的正弦值为，此时 【点睛】此题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，考查线面角，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题 18. 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求 ，从而可求椭圆的标准方程. （2）设，求出直线的方程后可得 的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求. 【详解】（1）因为椭圆过，故 ， 因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即， 故椭圆的标准方程为：. （2） 设， 因为直线的斜率存在，故， 故直线，令，则，同理. 直线，由可得， 故，解得或. 又，故，所以 又 故即， 综上，或. 19. 设正项数列的前 项之和，数列的前 项之积，且 ． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前 项和为，不等式对任意正整数 恒成立，求正实数 的取值范围． 【答案】（1） 由题意知 ，且当时，， 所以由 得 ， 所以 ，由得，即 ， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以 ，即，所以； 当时，， 当时，也符合上式，所以． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义证得数列是等差数列，求得，进而求得，利用求得. （2）利用裂项求和法求得，根据的最小值列不等式，由此求得 的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 所以 ， 所以数列是单调递增数列，所以， 因为不等式对任意正整数 恒成立， 所以，即 ，又 ， 所以解得 ，所以 的取值范围为. 【点睛】易错点睛： 小问1：在证明是等差数列时，必须清楚地理解递推关系如何构建，并确保每一步的推导是严谨的.尤其是求得后，要确保与的关系准确无误. 小问2：求和时，特别是在裂项求和法中，要小心每一项的符号和相加的顺序，特别是涉及到单调性和不等式的推导时，不能忽略最小值的正确性. 20. 已知函数． （1）当，时，求的单调区间及极值； （2）若，且的最大值小于，求a的取值范围； （3）若，且关于x的方程有两个不等的实根，，，证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值为，极小值为． （2） （3） 当时，，由，得， 即有两个不等的实数根，，且， 设，则，所以，即， 又，所以， 代入（*）式得，所以， 故， 从而． 设，则， 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以恒成立， 故，从而在上单调递增，所以， 从而，故，所以． 【解析】 【分析】（1）当，时，，求导可得函数的单调区间，进而可求得的极值； （2）若，则，求导，对分类讨论可求得的最小值，可得，构造函数解不等式即可； （3）由题意可得有两个不等的实数根，，且，令，根据题意可得，进而可得，令，通过二次求导可证明结论. 【小问1详解】 当，时，， 其定义域为，， 令 ，得或，令 ，得， x 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，有极大值， 当时，有极小值， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为， 极大值为，极小值为． 【小问2详解】 若，则，定义域为，， 当 时， ，在上单调递增，无最大值，不合题意，所以， 令 ，则，在上单调递增； 令 ，则，在上单调递减， 则， 因为的最大值小于，所以， 即在上恒成立． 设，问题转化为在上成立， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以 ，故a的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025四十七中高三第一次模拟检测 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若数列是等比数列，则“首项 ，且公比”是“数列单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 非充分非必要条件 3. 函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正四棱台的上､下底面面积分别为，下底面上的棱 与侧棱所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. 148 D. 5. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为 A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 7. 已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 已知复数，则___________. 11. 在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于________． 12. 在平面直角坐标系中，过作圆O： 的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为______． 13. 已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是__________填， 或不确定 14. 如图，在 中， ，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______． 15. 设函数，则函数的最小值为______；若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知． （1）求 的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面， ，，，M，N分别为线段， 上的点（不在端点）. （1）当M为中点时，，求证：面； （2）当M为中点且N为 中点时，求证：平面平面； （3）当N为 中点时，是否存在M，使得直线 与平面 所成角的正弦值为，若存在，求出 的长，若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 19. 设正项数列的前 项之和，数列的前 项之积，且 ． （1）求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； （2）设数列的前 项和为，不等式对任意正整数 恒成立，求正实数 的取值范围． 20. 已知函数． （1）当，时，求的单调区间及极值； （2）若，且的最大值小于，求a的取值范围； （3）若，且关于x的方程有两个不等的实根，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $