黄金卷07（江西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每小题3分，共18分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列各数中，比小的数是（    ） A．0 B． C． D．1 2．岂日无衣，与子同袍新冠肺炎疫情暴发以来，全国共有支医疗队，万医护人员驰援湖北愈是在危难时刻，愈加体现中华民族强大的凝聚力和国家制度的优越性．数据万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若，则下列函数：①，②，③，④中，的值随的值增大而增大的函数共有(      ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 7．因式分解： ． 8．第七次全国人口普查结果公布，宜春市常住人口总数大约为501万人，把数字501万用科学记数法表示为 9．若是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 10．，两市相距200千米，甲车从市到市，乙车从市到市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快12千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是千米/小时，则根据题意，可列方程 . 11．如图，在中，，小明将沿着所在直线折叠，使得点B与点A重合，连接，若是等腰三角形，则的度数为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，M是该抛物线的顶点，直线与y轴交于点C， 若P是该抛物线上一动点，Q是该抛物线对称轴上一动点，使得以C，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q 的坐标为 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，每小题6分，共30分.） 13．（1） （2）解方程组： 14．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．    (1)求证：； (2)若m，m，求的长． 15．如图．在中，E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作对角线的中点． (2)在图2中作边的中点． 16．某次抽奖活动即将结束时，抽奖箱内还剩三颗质地均匀小球，1颗红球，2颗白球，规定抽中红球有奖品． (1)小兵抽出一个小球，能获得奖品是________事件（必然、随机、不可能） (2)小兵抽完后不放回去，小亮再抽，问两人都拿不到奖品的概率． 17．先化简：，再从中任选一个数，求式子的值． 四、解答题：（本大题共3个小题，每小题8分，共24分.） 18．年月日是第九个“全民国家安全教育日”，为了提高同学们的国家安全责任意识．赣州经开区某校组织七、八年级学生开展了以“国家安全我的责任”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试，调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（分数用表示，单位：分），并对这些数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息． A．七年级学生测试成绩频数分布直方图（图）． B．八年级学生测试成绩扇形统计图（图）． C．扇形统计图中（图），8分的成绩：，，  ，． D．相关统计量如下： 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，补全频数分布直方图： (2)结合相关统计量说明，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好，并说明理由： (3)为了提高学生学习法律知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于分的学生进行奖励，已知该校七、八年级人数均为人，估计七，八年级学生中可以获得奖励的人数? 19．图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 20．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式． (2)求． 5、 解答题：（本大题共2个小题，每小题9分，共18分.） 21．如图，是的外接圆，，延长至点，连接，使． (1)求证；与相切． (2)若，，求的长． 22．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 六、解答题：（本大题共12分.） 23．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时点D的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每小题3分，共18分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D C B B 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 7． 8． 9． 10． 11．或或 12．或或 三、解答题：（本大题共5个小题，每小题6分，共30分.） 13．解：（1）原式=（3分） （2） ①×2+②×3得， 解得 将代入①中，得 所以方程组的解为（6分） 14．解：（1）证明：∵， ∴， 在与中 ，   ∴；（3分） （2）∵ ∴ ∴， ∵， ∴．（6分） 15．解：（1）解：如图所示，点O即为所作的点； （3分） （2）解：点F即为所作边的中点． （6分） 16．解：（1）解：∵抽奖箱内还剩三颗质地均匀小球，1颗红球，2颗白球，规定抽中红球有奖品，白球没有奖品， ∴抽中红球是随机事件，即获得奖品是随机事件． 故答案为：随机．（2分） （2）解：如图：   （4分） 由树状图知，共有6种可能结果，其中两人两人都拿不到奖品的有2种结果， ∵每种情况概率相同， ∴P(两人都不得奖)．（6分） 17．解： ；（4分） ∵， ∴取时，原式=（或取，原式=）（6分） 四、解答题：（本大题共3个小题，每小题8分，共24分.） 18．解：（1）八年级人数为：， 则中位数是第，位同学的平均成绩，即分的第，位同学的平均成绩， ∴， 故答案为：，（2分） 由题意得七年级学生随机抽取了人， ∴人数有：（人）， 如图， （4分） （2）八年级学生此次测试的成绩更好，理由： 八年级分数的平均数、中位数和众数均高于七年级；（6分） （3）解：（人）， 答：估计七，八年级学生中可以获得奖励的人数有人．（8分） 19．解：（1）∵六边形，为两个正六边形， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴四边形为平行四边形；（3分） （2）∵六边形，为两个正六边形， ∴ ∴是等边三角形，则， ∵四边形为平行四边形； ∴，， ∴ ∵，点为的中点 ∴， ∴ 如图所示，在中，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ 即点、两点之间的距离为．（8分） 20．解：（1）解：点在直线上，将点代入得， ， ∴， 该一次函数的解析式为， 又点在上， ， 解得， 点， 将点代入得，， 解得， 反比例函数的解析式为；（4分） （2）解：∵， ∴， ∴．（8分） 五、解答题：（本大题共2个小题，每小题9分，共18分.） 21．解：（1）证明：如图，连接并延长，交于，连接，，设与相交于点， 在中，和都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切； （4分） （2）解：设，则， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，是的半径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为．（9分） 22．解：如图1、2、3、4，连接，则是的中位线， 则，，， ①， （1）如图1，在直角三角形能ABP中，， ∴， ；（2分） ②在图2中，在直角三角形能ABP中，，, ∴ 则，；（4分） （2）关系为：， 证明：如图3，由①得：，， 则； （6分） （3）在菱形中,分别为线段，的中点 ，， ，则， 同理，， ， ，， ，， 同理：， 则．（9分） 六、解答题：（本大题共12分.） 23．解：（1）解：对于，令，得：， ∴． 令，得， 解得：， ∴，．（3分） （2）解：连接OD，如图： ∵点D的横坐标为m， ∴， ∴， ， ， ∴． ∵， ∴当时，S取最大值，最大值为， ∴， ∴此时， 综上可知当点D坐标为时，四边形面积S的最大值为；（7分） （3）存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 理由：由可得抛物线对称轴为直线， ∴可设． ∵以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴的中点与的中点重合，且， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ， ∴，即． 联立，解得：， ∴点P的坐标为， ∴存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，此时点P的坐标为．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每小题3分，共18分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列各数中，比小的数是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则，能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2．岂日无衣，与子同袍新冠肺炎疫情暴发以来，全国共有支医疗队，万医护人员驰援湖北愈是在危难时刻，愈加体现中华民族强大的凝聚力和国家制度的优越性．数据万用科学记数法表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：万＝4.26×104， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”逐一进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意； D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则运算即可； 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，D错误； 故选C. 【点睛】本题考查整式的运算；熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键. 5．若，则下列函数：①，②，③，④中，的值随的值增大而增大的函数共有(      ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据反比例函数的性质判断即可;②根据一次函数性质判断即可;③、④根据二次函数的性质进行分析即可. 【详解】①∵m＜-3，∴在每个象限内，对于y=，y随x的增大而增大，故本选项错误； ②∵m＜-3，∴-m＞0，对于y=-mx+1，y随x的增大而增大，故本选项正确； ③∵m＜-3，∴y=m（x+3）2，开口向下，在对称轴的左侧y的值随x的值增大而增大，故本选项错误； ④∵m＜-3，∴y=（m+3）x2，开口向下，在对称轴（y轴）的左侧y的值随x的值增大而增大，故本选项正确． 故选B． 【点睛】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的性质,掌握一次函数、反比例函数和二次函数的增减性是解题的关键. 6．如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；在边上取，连接，则得四边形是平行四边形，有，问题转化为求的最小长度，当点E在上时，取得最小值；由勾股定理即可求解．取，求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，在边上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即当取最小值时，取得最小值； 当点E在上时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵，， ∴， 由勾股定理得， 即的最小长度为10； 故选：B． 二、填空题：（每小题3分，共18分.） 7．因式分解： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式a，进而分解因式即可． 【详解】解： = = 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键． 8．第七次全国人口普查结果公布，宜春市常住人口总数大约为501万人，把数字501万用科学记数法表示为 【答案】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】． 故答案为： 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 9．若是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 10．，两市相距200千米，甲车从市到市，乙车从市到市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快12千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是千米/小时，则根据题意，可列方程 . 【答案】 【分析】利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可． 【详解】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程： 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键． 11．如图，在中，，小明将沿着所在直线折叠，使得点B与点A重合，连接，若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】根据折叠的性质得出，再由等腰三角形分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，利用三角形内角和及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：将沿着所在直线折叠，使得点B与点A重合， ∴， ∵， ①当时，， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴； ③当时，， ∴； 故答案为：或或． 【点睛】题目主要考查折叠的性质及等腰三角形的定义，三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，M是该抛物线的顶点，直线与y轴交于点C， 若P是该抛物线上一动点，Q是该抛物线对称轴上一动点，使得以C，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q 的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形与二次函数的综合，注意分类讨论；用待定系数法求出二次函数解析式，顶点坐标及对称轴；再求出直线的解析式，从而求得点C的坐标；设P、Q两点坐标，分三种情况，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 配方得：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； 设直线解析式为， 把A、M坐标代入得：， 解得：， 即直线解析式为， 上式中令，得， ∴； 设，； 当为对角线时，则有，解得：， ∴； 当为对角线时，则有，解得：， ∴； 当为对角线时，则有，解得：， ∴； 综上，点Q的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题：（本大题共5个小题，每小题6分，共30分.） 13．（1） （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先化简二次根式，再进行加减运算即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）原式= （2） ①×2+②×3得， 解得 将代入①中，得 所以方程组的解为 【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算及解二元一次方程组，掌握二次根式的化简和加减消元法是解题的关键． 14．如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在l的异侧，，，测得．    (1)求证：； (2)若m，m，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由此利用证明； （2）根据全等三角形的性质得到，求出，由此求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ，   ∴； （2）∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图．在中，E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作对角线的中点． (2)在图2中作边的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）连接，与的交点O即为所作的点； （2）连接交于点O，连接与交于点P，连接交于点H，连接交于点F，则点F即为所作． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所作的点； （2）解：点F即为所作边的中点． 16．某次抽奖活动即将结束时，抽奖箱内还剩三颗质地均匀小球，1颗红球，2颗白球，规定抽中红球有奖品． (1)小兵抽出一个小球，能获得奖品是________事件（必然、随机、不可能） (2)小兵抽完后不放回去，小亮再抽，问两人都拿不到奖品的概率． 【答案】(1)随机 (2)P(两人都不得奖) 【分析】本题考查的是必然事件、随机事件、不可能事件的定义以及概率的计算，解题的关键是根据题意找到关系进行求解． （1）根据必然事件、随机事件、不可能事件的定义即可解答； （2）根据题意，画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵抽奖箱内还剩三颗质地均匀小球，1颗红球，2颗白球，规定抽中红球有奖品，白球没有奖品， ∴抽中红球是随机事件，即获得奖品是随机事件． 故答案为：随机． （2）解：如图：    由树状图知，共有6种可能结果，其中两人两人都拿不到奖品的有2种结果， ∵每种情况概率相同， ∴P(两人都不得奖)． 17．先化简：，再从中任选一个数，求式子的值． 【答案】，（或） 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把或4代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴取时，原式=（或取，原式=） 四、解答题：（本大题共3个小题，每小题8分，共24分.） 18．年月日是第九个“全民国家安全教育日”，为了提高同学们的国家安全责任意识．赣州经开区某校组织七、八年级学生开展了以“国家安全我的责任”为主题的学习活动，并对此次学习结果进行了测试，调查小组从这两个年级中各随机抽取了相同数量学生的测试成绩（分数用表示，单位：分），并对这些数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息． A．七年级学生测试成绩频数分布直方图（图）． B．八年级学生测试成绩扇形统计图（图）． C．扇形统计图中（图），8分的成绩：，，  ，． D．相关统计量如下： 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，补全频数分布直方图： (2)结合相关统计量说明，你认为哪个年级的学生此次测试的成绩更好，并说明理由： (3)为了提高学生学习法律知识的积极性，学校决定对本次成绩不低于分的学生进行奖励，已知该校七、八年级人数均为人，估计七，八年级学生中可以获得奖励的人数? 【答案】(1)，补全频数分布直方图见解析； (2)八年级的学生此次测试的成绩更好，理由见解析； (3)估计七、八年级学生中可以获得奖励的人数为人． 【分析】（）根据中位数可进行求解； （）根据平均数、众数及中位数可进行求解； （）利用样本估计总体即可求解； 本题主要考查频数分布直方图、中位数、众数及中位数，熟练掌握频数分布直方图、中位数、众数及中位数是解题的关键． 【详解】（1）八年级人数为：， 则中位数是第，位同学的平均成绩，即分的第，位同学的平均成绩， ∴， 故答案为：， 由题意得七年级学生随机抽取了人， ∴人数有：（人）， 如图， （2）八年级学生此次测试的成绩更好，理由： 八年级分数的平均数、中位数和众数均高于七年级； （3）解：（人）， 答：估计七，八年级学生中可以获得奖励的人数有人． 19．图（1）是某广场社会主义核心价值观标牌雕塑，将其抽象为如图（2）所示的平面示意图，六边形，为两个正六边形，且点、、、在同一水平线上，已知． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，当点为的中点时，，请你计算点、两点之间的距离．（结果精确到．参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质，平行四边形的判定，解直角三角形的应用； （1）根据正六边形的性质得出，，，进而可得，即可得证； （2）根据正六边形的性质得出是等边三角形，结合平行四边形的性质得出，，结合已知，进而解，即可求解． 【详解】（1）∵六边形，为两个正六边形， ∴，， ∴， ∴， 即 ∴四边形为平行四边形； （2）∵六边形，为两个正六边形， ∴ ∴是等边三角形，则， ∵四边形为平行四边形； ∴，， ∴ ∵，点为的中点 ∴， ∴ 如图所示，在中，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴ 即点、两点之间的距离为． 20．如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式． (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用可求出一次函数的解析式，再由一次函数的解析式可求出，由即可求出反比例函数的解析式； （）根据即可求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：点在直线上，将点代入得， ， ∴， 该一次函数的解析式为， 又点在上， ， 解得， 点， 将点代入得，， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴． 5、 解答题：（本大题共2个小题，每小题9分，共18分.） 21．如图，是的外接圆，，延长至点，连接，使． (1)求证；与相切． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接并延长，交于，连接，，设与相交于点，根据圆周角定理得到，继而得到，由直径所对的圆周角为直角，得到，可得，即可得证； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，求得，得到，根据垂径定理推论可得，，再由求得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长，交于，连接，，设与相交于点， 在中，和都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：设，则， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，是的半径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理的推论，三角形的面积等知识点，掌握圆的基本性质是解题的关键． 22．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，，是的中线，，垂足为．像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． 特例探索： （1）①如图1，当，时，_________，________； ②如图2，当，时，求和的值． 归纳证明： （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形中，为对角线，的交点，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图4所示，求的值． 【答案】（1）①，；②，；（2）；（3） 【分析】（1）①在图1中，连接EF，三角形中位线定理和相似得到，，根据等腰直角三角形可得，利用勾股定理即可求解；②在图2中，根据含30°直角三角形可得，，利用勾股定理即可求解. （2）三角形中位线定理和相似得到，，结合勾股定理，即可求解； （3）证明：，，则，即可求解． 【详解】解：如图1、2、3、4，连接，则是的中位线， 则，，， ①， （1）如图1，在直角三角形能ABP中，， ∴， ； ②在图2中，在直角三角形能ABP中，，, ∴ 则，； （2）关系为：， 证明：如图3，由①得：，， 则； （3）在菱形中,分别为线段，的中点 ，， ，则， 同理，， ， ，， ，， 同理：， 则． 【点睛】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2）的结论是本题的新颖点和突破点． 六、解答题：（本大题共12分.） 23．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时点D的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点D坐标为时，四边形面积S的最大值为； (3)存在，P的坐标为 【分析】（1）对于，分别令，可解得A的坐标为，B的坐标为，C的坐标为； （2）连接，设，可得，，，故，最后由二次函数性质可得答案； （3）由可得抛物线对称轴为直线，设，以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，则的中点与的中点重合，且，故，解之，即得答案． 【详解】（1）解：对于，令，得：， ∴． 令，得， 解得：， ∴，． （2）解：连接OD，如图： ∵点D的横坐标为m， ∴， ∴， ， ， ∴． ∵， ∴当时，S取最大值，最大值为， ∴， ∴此时， 综上可知当点D坐标为时，四边形面积S的最大值为； （3）存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形． 理由：由可得抛物线对称轴为直线， ∴可设． ∵以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴的中点与的中点重合，且， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ， ∴，即． 联立，解得：， ∴点P的坐标为， ∴存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，三角形面积，菱形的性质，两点的距离公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$