第三章 一元一次不等式（组）（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

第三章 一元一次不等式（组）（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（本题3分）（浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 4．（本题3分）（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）（七年级下·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）小颖准备用21元买橡皮和卷笔刀，已知每块橡皮元，每个卷笔刀1元．她买了4个卷笔刀，则最多还可以买橡皮（   ） A．8块 B．9块 C．10块 D．11块 8．（本题3分）（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）（2025·河南郑州·一模）若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 10．（本题3分）（江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（七年级下·甘肃天水·期中）用不等式表示：x的2倍与8的和是非负数 ． 12．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为 ． 13．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ． 14．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解有 个． 15．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 16．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，按下面的程序进行运算，规定：从“输入”到“判断结果是否？”为一次运算，已知运算恰好进行两次停止，若为整数，则的值是 ． 17．（本题3分）（2025七年级下·全国·专题练习）有4人搬运纸乘坐电梯，这4人的体重共，每箱纸重．已知该电梯的最大荷载为，则该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载 箱纸． 18．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 20．（本题6分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 21．（本题8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）关于，的方程组的解满足为负数，为正数．化简． 22．（本题8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．”为了感受大自然，描绘大自然的美景，小明和同学打算购买画板与画笔两种写生工具．已知购买1个画板需要15元，1盒画笔需要17元．若需要画板个数和画笔盒数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买多少个画板？ 23．（本题9分）（2025七年级下·全国·专题练习）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 24．（本题9分）（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 25．（本题10分）（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 26．（本题10分）（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元一次不等式（组）（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的定义，凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．理解不等式的定义是解题关键．主要依据不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：②，③是等式，④是代数式，①⑤⑥是不等式， 因此不等式有3个， 故选：A． 2．（本题3分）（浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ，故B符合题意； 当时，，故C不符合题意； ∵， ∴，故D不符合题意， 故选：B． 3．（本题3分）（23-24七年级下·河北保定·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 4．（本题3分）（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握相关知识是解题关键．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（向右画；向左画）；在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．首先解该不等式，然后将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式， 可得， 将解集在数轴上表示出来，如下图所示： 故选：A． 5．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性以及不等式的求解． 根据平方数的非负性求出关于的表达式，再根据列出关于的不等式，进而求解的取值范围． 【详解】， ， ， ， 解得 . 故选：D． 6．（本题3分）（七年级下·北京·期末）若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解：由不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得：， ∴此时 综上，实数m的取值范围是， 故选：C． 7．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）小颖准备用21元买橡皮和卷笔刀，已知每块橡皮元，每个卷笔刀1元．她买了4个卷笔刀，则最多还可以买橡皮（   ） A．8块 B．9块 C．10块 D．11块 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式是解题的关键．设最多还可以买橡皮块，根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设最多还可以买橡皮块， 由题意可得：， 解得， 故最多还可以买橡皮11块． 故选D． 8．（本题3分）（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质得到，，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，； ，，的大小关系为； 故选：C 9．（本题3分）（2025·河南郑州·一模）若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：A． 10．（本题3分）（江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是． ∵解集中至少有5个整数解 ∴整数解为：-1,0,1,2,3． ∴． 整数a的最小值是4． 故选C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（七年级下·甘肃天水·期中）用不等式表示：x的2倍与8的和是非负数 ． 【答案】 【分析】先将x的2倍与8的和表示为，再根据非负数即为大于等于0的数，最后写出不等式即可． 【详解】解：根据题意可直接得出． 故答案为：． 12．（本题3分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）若是关于x的一元一次不等式，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：． 13．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）关于的不等式的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的解法，解题关键是明确不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质得出即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴，解得； 故答案为：． 14．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解有 个． 【答案】5 【分析】本题考查求一元一次不等式的非负整数解．按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求出不等式的解集，进而得出非负整数解． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 所以非负整数解是．一共有5个． 故答案为：5． 15．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，两方程相减整理得，结合知，解之即可． 【详解】解：， ①②，得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 16．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，按下面的程序进行运算，规定：从“输入”到“判断结果是否？”为一次运算，已知运算恰好进行两次停止，若为整数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查程序流程图与不等式，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∵为整数， ∴； 故答案为：4． 17．（本题3分）（2025七年级下·全国·专题练习）有4人搬运纸乘坐电梯，这4人的体重共，每箱纸重．已知该电梯的最大荷载为，则该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载 箱纸． 【答案】31 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，设还能搭载x箱纸，利用总重量小于等于，进而得出答案． 【详解】解：设还能搭载x箱纸，根据题意可得： ， 解得：， 所以，该电梯在此4人乘坐的情况下最多还能搭载31箱纸． 故答案为：31． 18．（本题3分）（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二阶行列式，解一元一次不等式，根据二阶行列式的运算法则列不等式是解题的关键． 根据二阶行列式的运算法则得到，解不等式即可得到答案 【详解】解：， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （1）； （2）． 【答案】（1），在数轴上表示其解集见解析；（2），在数轴上表示其解集见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得解； 【详解】解：（1）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 在数轴上表示其解集如图所示． （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，． 在数轴上表示其解集如图所示． 20．（本题6分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 21．（本题8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）关于，的方程组的解满足为负数，为正数．化简． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组和二元一次方程组的综合应用，求出方程组的解集，根据解集的情况列出不等式组求出的取值范围，化简绝对值即可． 【详解】解：解方程得 根据题意，得 解不等式①，得． 解不等式②，得， ． 当时，． 22．（本题8分）（24-25七年级下·全国·课后作业）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．”为了感受大自然，描绘大自然的美景，小明和同学打算购买画板与画笔两种写生工具．已知购买1个画板需要15元，1盒画笔需要17元．若需要画板个数和画笔盒数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买多少个画板？ 【答案】最少购买7个画板． 【分析】本题主要考查一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键．根据题意列出不等式解题即可． 【详解】解：设购买m个画板，则购买盒画笔． 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的最小值为7． 故最少购买7个画板． 23．（本题9分）（2025七年级下·全国·专题练习）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． (2)学校共有以下3种购买方案：方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元，根据购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个甲种品牌毽子，根据甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子． 根据题意，得 解得． 又因为均为正整数， 所以可以为60，62，64， 所以学校共有以下3种购买方案： 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 24．（本题9分）（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)的整数值为或 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为， ∵该方程组的解满足，均为正数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为或． 25．（本题10分）（23-24七年级下·安徽滁州·期中）数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对和进行探究： 根据绝对值的意义，将不等式的解集表示在数轴上（如图1），可得的解集是：；将不等式的解集表示在数轴上（如图2），可得的解集是：或．    根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式（）的解集为______，不等式（）的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) 【分析】此题是一个阅读题目，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意． （1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当做一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出的取值范围； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）根据题干规律可得，不等式（）的解集为； 不等式（）的解集为或； （2）由（1）得：由于， 所以或， 所以或， 所以的解集为或； （3）由绝对值的意义得方程的解就是求在数轴上到1和对应点的距离之和等于5的点对应的x的值， 因为数轴上1和对应点的距离为3， 所以满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得； 所以方程的解为或， 所以不等式的解集为． 26．（本题10分）（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$