专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程解法与三角形结合 题型十二 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 1．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）方程的根为 ． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）解方程：； 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）计算 (1)； (2)． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ） A．4或 B．7或 C．19或 D． 1．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）公元8世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道例题： 根的3倍与简单数4的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：．即如图所示，正方形的边长为，，将正方形分成面积为的矩形和面积为4的矩形，取中点，构造边长为正方形，延长到，使，则有正方形，此时显然有，即，可以很容易求得该方程的一个正根 ；若令，，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个正方体的展开图，标注了字母的面是正方体的正面，如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等，则的值是 ． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为（   ） A．3 B．1 C．3或1 D．或1 2．（24-25九年级上·全国·期中）用配方法解方程，方程的解为 ． 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得……第一步 配方，得，    第二步 ，    ……第三步 ．    ……第四步 由此可得．    ……第五步 解得．    ……第六步 任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【经典例题四 配方法的应用】 【例4】（24-25九年级·福建泉州·阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）定义：对于函数，随的增大而增大，且，，．若，则的最大值为 ． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为 ． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例5】（24-25九年级上·河北保定·期末）从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为(   ) A． B． C． D． 1．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为为，（其中）， 若是关于的函数， 且，当时，的取值范围为 ． 3．（2025·广东深圳·一模）（1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例6】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程，求证：无论为何值，方程总有实数根． 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为1，请求出的值及方程的另一个根． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 3．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知关于的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况； (2)当时，求方程的根． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)求取值范围内的最小整数时，方程的根． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则： ； ； ； (1)填空：化简________，________； (2)关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 (1)若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的变形方程为，直接写出的值． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． (1)判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； (2)代数式存在两个“优值”且差为，求的值． 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 请仔细阅读并完成相应的任务． 对一元二次方程根的判别式的再认识 通过学习我们知道一元二次方程（，，，c为常数），当时，其求根公式为． 我们先对关于的一元二次方程（，，，为常数）进行如下的配方： 方程两边都乘以，得① 把常数项移到方程的右边，得 配方，得 即② 因为 所以，当时，，方程有两个实数根； 当时，，_____． 一元二次方程根的判别式的存在形式②是方程①的等价形式．这就把一元二次方程根的判别式置于方程的观点之中，因而判别式的应用既可以由①往②想，也可以由②往①想．由于一元二次方程根的判别式是配方的结果，应用判别式就省去了配方的过程而显得特别简单． 任务： (1)文中横线上的内容应为_____． (2)不解方程，请直接判断下列方程的根的情况； ①，②，③； (3)某次课堂检测，小马同学在解关于的一元二次方程过程中，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值大1，求原方程的根． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例9】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，且，则 ． 1．（24-25九年级上·广东汕头·期末）若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． (2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 1．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 3．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【经典例题十一 一元二次方程解法与三角形结合】 【例11】（2024九年级上·全国·专题练习）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（   ） A．24 B．24或 C．48 D．48或 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 2．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； (2)设方程两实数根分别为、． ①若以、、3为三边的三角形为等腰三角形，求k的值； ②若直角三角形的两边分别为、，第三边为5，求k的值． 【经典例题十二 一元二次方程的新定义解法】 【例12】（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或0.5 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（      ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 3．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成代数，则将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1：； 例题2：， 同样我们也可以化简 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 1．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 2．（2025·河南开封·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（　　） A． B．1 C．或 D．或1 6．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 7．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 8．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）如图所示，在中，已知，，，是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度点在边上运动时，当时间 秒能使成为等腰三角形． 9．（2025九年级下·北京·学业考试）方程的较大根为，方程的较小根为，则 ． 10．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 11．（24-25九年级上·河南新乡·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 13．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 14．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 15．（24-25九年级上·湖南永州·期末）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是_____； (2)关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程解法与三角形结合 题型十二 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）若，则的值为（　　） A．4 B．4或 C． D． 【答案】A 【分析】把看成一个整体，利用直接开平方法求解方程，再根据，即可得到的值． 本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，注意把看成一个整体是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ， ， 故选：A． 1．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴， 解得，，， 故答案为：，． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）解方程：； 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．利用直接开方法解一元二次方程． 【详解】解： 解得：，． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 首先把常数项移到等号的右边，两边直接开平方得到：，然后再移项、合并同类项求出方程的解即可； 利用求根公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 直接开平方得：， 可得：或， 解得：，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（24-25九年级上·全国·单元测试）现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ） A．4或 B．7或 C．19或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据新定义求解即可，正确理新定义是解题的关键． 【详解】解：由新定义可知，， ∴ ∴， 故选：D． 1．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形中有关数字的变化规律，每个图形中，左边三角形上的数字即为图形的序数，右边三角形上的数字为，下面三角形上的数字，先把代入求出的值，能准确观察到相关规律是解题的关键． 【详解】解：通过观察可得规律：，， ∵， ∴，解得：或（舍去）， 故选：． 2．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）公元8世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道例题： 根的3倍与简单数4的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：．即如图所示，正方形的边长为，，将正方形分成面积为的矩形和面积为4的矩形，取中点，构造边长为正方形，延长到，使，则有正方形，此时显然有，即，可以很容易求得该方程的一个正根 ；若令，，则 ． 【答案】 4 【分析】本题考查解一元二次方程，能够根据题意列出方程，利用直接开平方法求解方程是解题的关键． 由题意列出方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 或， ∴该方程的一个正根； 由题意得， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图是一个正方体的展开图，标注了字母的面是正方体的正面，如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、解一元二次方程，根据正方体的表面展开图可得与相对面上的数字是，可以列出方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 开方得：或， 解得：或， 故答案为：或． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）若将一元二次方程化成的形式，则的值为（    ） A． B． C．5 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先利用配方法将方程化成的形式，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ∵将一元二次方程化成的形式， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）字母x、y表示两个有理数，且，现规定表示x、y中较小的数，例如：，，若，则x的值为（   ） A．3 B．1 C．3或1 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意分情况讨论，再分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即：， ∴， 即：， 移项配方得：， 解得：，即：或（舍）， 当时，， 即：， ∴， 即：， 解得：（舍）或， 综上所述：或， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·期中）用配方法解方程，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先将二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方求解即可． 【详解】解： ∴； 故答案为： 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得……第一步 配方，得，    第二步 ，    ……第三步 ．    ……第四步 由此可得．    ……第五步 解得．    ……第六步 任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】任务一：①配方法；②完全平方公式；任务二：见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； 任务一：①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案； 任务二：先把方程化为可得，再解方程即可． 【详解】解：任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②第二步开始出现错误，错误的原因是加上，没有减去． 任务二：正确求解过程如下： 二次项系数化为1，得， 配方，得， ∴， ∴． 由此可得． 解得． 【经典例题四 配方法的应用】 【例4】（24-25九年级·福建泉州·阶段练习）已知实数，，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由变形得，代入中得到，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案． 【详解】 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键． 1．（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）定义：对于函数，随的增大而增大，且，，．若，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质，配方法求最值的计算，理解新定义运算，掌握不等式的性质，配方法求最值的计算方法是解题的关键． 根据题意得到，，，则，，由此得到当时，有最大值，代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， 故答案为：1 ． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，不等式的性质，由已知式子表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质以及不等式的性质求出最大值即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴当时，有最大值，最大值为：2． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·贵州黔南·期中）阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例5】（24-25九年级上·河北保定·期末）从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键．根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解． 【详解】若， 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，解得：，； ∴综上所述：若，且中最小值为，则，； 故选：B． 1．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键． 根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，方程没有实数解； 当时，，方程没有实数解； ∴方程的解为0， 故选：B． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为为，（其中）， 若是关于的函数， 且，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 3．（2025·广东深圳·一模）（1）解方程： （2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（即）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【答案】（1），；（2）没有考虑的情况；当时， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程-公式法直接求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，公式法的条件即可求出答案． 【详解】解：（1）这里， ， ，； （2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑的情况； 在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当时，方程， 解得：； 故答案为：没有考虑的情况；当时，． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例6】（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程，求证：无论为何值，方程总有实数根． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法、一元二次方程的定义即判别式等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．分和两种情况，结合一元一次方程的解法和一元二次方程的根的判别式，即可获得答案． 【详解】解：①当时，即， 代入方程得，解， ②当时，， ∵，此时方程总有实数根． 综上所述，无论为何值，方程总有实数根． 1．（24-25九年级上·河南南阳·期末）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为1，请求出的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2)m的值为2，方程的另一个根为3 【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二方程等知识点，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键， （1）根据判别式求出，即可得出答案； （2）把代入方程，求出，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：， ， ∵不论为何值，， ∴， ∴无论取何值，方程恒有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程得：， 解得：， 方程为， ， ∴m的值为2，方程的另一个根为． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期末）已知（a，b是常数，）． (1)当时，得方程． ①判断是否是方程的解？ ②讨论方程有解的个数． (2)已知时，，若，试证明． 【答案】(1)①是；②当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根 (2)见解析 【分析】本题主要考查了配方法的应用、一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）①依据题意，将代入方程的左边，右边，进而可以判断得解； ②依据题意，由，从而，进而可得或，故可判断得解； （2）依据题意，当时，，又，则，从而，即，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，当时， 左边，右边． 左边右边． 是方程的解． ②由题意，， ． 或． 令，则， 当时，有两个相等的实数根；当时，有两个不相等的实数根． （2）证明：由题意，当时，． ， ． ． ． ． 3．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知关于的一元二次方程． (1)当时，判断方程根的情况； (2)当时，求方程的根． 【答案】(1)方程没有实数根 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程， （1）利用判别式的符号，来判断方程根的情况； （2）利用公式法解一元二次方程； 熟练掌握判别式与根的个数的关系以及公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为：， ∴，，， ∴， ∴方程没有实数根； （2）当时，方程为：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据判别式的意义得到，然后解关于的方程得到，则原方程变形为，然后利用因式分解法解此一元二次方程． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：根据题意得， 解得：， 原方程变形为， ∴， 所以． 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)求取值范围内的最小整数时，方程的根． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得，且，求解即可； （2）根据题意可知，然后利用公式法求解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解，由题意，可得，且， 解得且； （2）∵且 ∴取值范围内的最小整数时，可有， 当时，得， 解得． 3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则： ； ； ； (1)填空：化简________，________； (2)关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值． 【答案】(1)2， (2)． 【分析】本题主要考查了新定义虚数，求一元二次方程的虚数根． （1）将代入，利用乘法公式求解即可得到答案； （2）将方程的根代入，结合，是实数，求出m，n即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，； （2）解：∵一元二次方程有一个根是， ∴，即， ∴， ∵，是实数， ∴， 解得：，， ∴． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个实数根； (2)若为正整数，且该方程的根都是正整数，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键 （1）表示出根的判别式，判断其取值范围，即可得证； （2）根据因式分解法解一元二次方程，根据题意该方程的根都是正整数，即可求解． 【详解】（1）解： ， 无论取何值，此方程总有两个实数根 （2）解：关于的一元二次方程，得 ，. 该方程的根都是正整数， ， . 为正整数， 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）我们规定：方程的变形方程为．例如，方程的变形方程为 (1)若方程的变形方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若方程的变形方程为，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的运用，关键在于读题根据规定变形即可． （1）先将方程变形，再根据判别式解出范围即可． （2）先将变形前的方程列出来，化简求出a、b、c，相加即可求解． 【详解】（1）解：用代替方程里的， 得． 整理，得 变形后的方程有两个不相等的实数根， ， ； （2）解：．理由如下： 方程的变形方程为， 整理，得， 即 由于方程的变形方程为， 所以． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为；当时，代数式的值为，所以和都是的“优值”． (1)判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； (2)代数式存在两个“优值”且差为，求的值． 【答案】(1)不存在；理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，理解新定义“优值”，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义，求代数式的值是解决问题的关键． （1）假设存在优值为，根据“优值”的定义可得，再由一元二次方程的根的判别式可知关于的一元二次方程没有实数根，从而即可得出结论； （2）设“优值”为，根据“优值”的定义可得，解该方程可得或，然后根据这两个“优值”的差为5即可得出的值． 【详解】（1）解：不存在“优值” 理由如下：假设存在优值为，则有， 整理得：， 关于的一元二次方程根的判别式为： ， 这个关于的一元二次方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”； （2）解：设“优值”为，则有， 整理得， ， 或， 由，解得， 由，解得， 两个“优值”差为， 或， 或． 3．（24-25九年级上·山西运城·期中）阅读与思考 请仔细阅读并完成相应的任务． 对一元二次方程根的判别式的再认识 通过学习我们知道一元二次方程（，，，c为常数），当时，其求根公式为． 我们先对关于的一元二次方程（，，，为常数）进行如下的配方： 方程两边都乘以，得① 把常数项移到方程的右边，得 配方，得 即② 因为 所以，当时，，方程有两个实数根； 当时，，_____． 一元二次方程根的判别式的存在形式②是方程①的等价形式．这就把一元二次方程根的判别式置于方程的观点之中，因而判别式的应用既可以由①往②想，也可以由②往①想．由于一元二次方程根的判别式是配方的结果，应用判别式就省去了配方的过程而显得特别简单． 任务： (1)文中横线上的内容应为_____． (2)不解方程，请直接判断下列方程的根的情况； ①，②，③； (3)某次课堂检测，小马同学在解关于的一元二次方程过程中，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值大1，求原方程的根． 【答案】(1)方程没有实数根 (2)①有两个不相等的实数根；②没有实数根；③有两个相等的实数根 (3)， 【分析】本题考查判别式以及用公式法解一元二次方程，熟练掌握基本方法是解题关键． （1）根据当时，方程没有实数根填空即可； （2）利用判别式依次判断即可； （3）将将代入方程得到的值，再解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，此时方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根 （2）①，所以有两个不相等的实数根； ②将方程变形得到：，得到，所以方程没有实数根； ③将方程变形得到：，得到，所以方程有两个相等的实数根． （3）∵所抄的比原方程的值大1， ∴将代入方程得：， ∴， 原方程为， ，，， 即，． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例9】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．先判断出，且，再把已知等式化成，将看作一个整体，利用因式分解法解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∴或， 故答案为：或1． 1．（24-25九年级上·广东汕头·期末）若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程；通过解方程，可得出方程的根，分为两方程相同的实数根或为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意；②若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意．综上此题得解． 【详解】解：解方程，得：． ①若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ； ②若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可； （2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：①， ，， ， 不是“差1方程”， ②，，， ， ， ， 是“差1方程”； （2）解：， ，， 方程（是常数）是“差1方程”， 或， 或． 3．（23-24九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． (2)已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． （1）根据已知条件中的新定义，判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，求出m，n的关系式，把n化成m的式子，代入方程，得到关于m的方程，进行解答即可． 【详解】（1）解：方程是“黄金方程”，理由如下： ∵，，， ∴ ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根2022，则方程，必有一个根为（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程有一个根2022， ∴必有一根为，解得：； 故选B． 1．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴应舍去， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读材料：已知实数m、n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ∴，∴， ∵，∴． 上述这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知x、y满足，求的值； (2)已知a、b满足，求的值． 【答案】(1)18 (2)或1 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程和整式的混合运算-化简求值，掌握换元法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）设，则原方程可变为，解方程即可得到结论； （2）设，则原方程可变为，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为， 解得：， ， ， ． （2）解：设， 则原方程可变为， 即， 解得：， 或1， 或1． 3．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先配方，得出，再根据题中方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为， 解得：，． 当，即，解得：； 当，即，解得：． 所以原方程的解，． （2）解：是直角三角形， 理由如下：∵、、为的三边， 故，， ∴， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即， 即， 故是直角三角形． （3）解：， ∵， 故， 即； 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，配方法的应用，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 【经典例题十一 一元二次方程解法与三角形结合】 【例11】（2024九年级上·全国·专题练习）已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（   ） A．24 B．24或 C．48 D．48或 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系．本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式底高求出面积． 【详解】解：， ， ∴或， 当时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形， ∴底边上的高， ∴面积； 当时，，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形， ∴面积， ∴面积或． 故选：B． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：方程转化为：， 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． 2．（24-25八年级上·北京·期中）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：； 不论取何值，总是非负数，即， ；即当时，有最小值， 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)若，，比较、的大小（写出比较过程）； (3)若三角形中某两边、满足，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，配方法的应用，整式的加减运算． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合完全平方式的非负性得出，即可求解； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最小值． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 故． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 3．（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； (2)设方程两实数根分别为、． ①若以、、3为三边的三角形为等腰三角形，求k的值； ②若直角三角形的两边分别为、，第三边为5，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；②或 【分析】（1）利用根的判别式进行求解即可； （2）①根据方程有两个不相等的实数根得到3为方程的一个根，据此代入方程求出k的值即可；②先利用因式分解法解方程得到或，再分5为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论k为何值，方程总有两个不等的实数根； （2）解：①∵方程总有不相等的两个实数根， ∴， ∵、、3为三边的三角形为等腰三角形， ∴等腰三角形的腰长为3， ∴， ∴， ∴或， 当时，原方程，解得或， ∴此时三角形三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当时，原方程，解得或， ∴此时三角形三边长为， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，或； ②∵， ∴， 解得或， ∵直角三角形的两边分别为、，第三边为5， ∴当5为斜边时，则， ∴ ∴，即，解得或， 当时，或，此时不符合题意； 当5为直角边时，则， ∴，解得， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，勾股定理，构成三角形的条件，等腰三角形的定义等等，正确利用因式分解法求出方程的两根是解题的关键． 【经典例题十二 一元二次方程的新定义解法】 【例12】（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或0.5 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ， 整理得， ∴， 解得或． 故选：D． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，等等；按照这个规定，若，则的值是（      ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 【答案】B 【分析】根据题意，分两边情况：时，，；时，，，据此分别求出的值即可．此题主要考查了实数大小比较的方法，因式分解法和公式法解一元二次方程，解答此题的关键是注意分两种情况讨论． 【详解】解：表示，中的较大值，， 当时，，， ， 解得或，舍去）． 当时，，， ， 解得或，舍去）． 综上，可得若， 则的值是5或． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）对于实数，，定义运算“*”：．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查新运算下的实数运算，解一元二次方程，分情况讨论是关键．首先解出一元二次方程的两个解，然后根据定义新运算分情况讨论即可． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个根， ，或者， 当，时， 当，时， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（，为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部． 如果只把当成代数，则将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．） 例题1：； 例题2：， 同样我们也可以化简 也可以解方程，解为，． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题主要考查虚数单位的定义，完全平方公式以及一元二次方程的解法，熟练理解题意是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）利用完全平方公式把原式展开，根据计算即可； （3）利用一元二次方程解答法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；． （2）解： （3）解： ， 1．（24-25九年级上·江西宜春·期末）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用． 根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 由于关于的方程有实数根， ，即， ， 的取值范围且， 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知的取值范围为：． 故选：C． 2．（2025·河南开封·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．实数根的个数由的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：关于的一元二次方程根的判别式为， 则这个方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，根据一元二次方程的定义得到二次项系数不等于，解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且， 的取值范围是且， 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）对于两个不相等的实数，我们规定表示中较大的数，如，若已知，则的值为（    ） A．3或 B．或 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解的定义，正确建立方程是解题关键．分两种情况：①当，即时，②当，即时，根据定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当，即时，则， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当，即时，， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为3或， 故选：D． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（　　） A． B．1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】该题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识点，根据方程解的定义判断出，构建关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ， ， ， ， ∴或， 当时，一元二次方程为，此时方程无解，舍去． ． 故选：A． 6．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题主要考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关鍵，根据“方程是一元二次方程”，得到，结合“该方程有两个实数根”，得到，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， 且， 解得：且， 故答案为：且． 7．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是， ∴设，则可化为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． （2）设，则可化为，即， ∵关于x的方程的解是， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·江西九江·开学考试）如图所示，在中，已知，，，是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒个单位长度点在边上运动时，当时间 秒能使成为等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，解一元二次方程；分类讨论：①当时，②当时和③当时分别求解即可． 【详解】解：点从点开始沿方向运动，为等腰三角形， 点在边上， 有、和三种情况， 依题意， ①当时， 解得： ②当时， 如图，过作于， 已知，，， ， ， 在中， 在中， 解得：或舍去 ③当时，则． ， ， ， ． ， 即 解得： 综上所述，或或秒能使成为等腰三角形． 故答案为：或或． 9．（2025九年级下·北京·学业考试）方程的较大根为，方程的较小根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，平方差公式的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 先把方程可化为，由方程可化为，然后解出方程，再根据题意得出，，最后代入即可求解． 【详解】解： ， ∴， 解得，， ∵较大根为， ∴， 由方程 ， 解得：，， ∵较小根为， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·河南新乡·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即：， 解得：，； （2）解：， ， ， 解得：，； （3）解：， ， ， 解得：，； （4）解：， ， ， ， ， 解得：，． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 【答案】(1) (2)时，此方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式；理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． （1）将代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得, 解得：． （2）∵，，， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴时，此方程有两个不相等的实数根 13．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)且； (2)是等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程以及等边三角形的定义； （1）根据根的判别式列出不等式即可求解； （2）先求出k的值，再求出一元二次方程的根，进而即可得到答案 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且，解得：且； （2）解：把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴和的长分别是：2，2， ∴，即是等边三角形 14．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ，． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，二次根式都有意义． 15．（24-25九年级上·湖南永州·期末）定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是_____； (2)关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查定义，一元二次方程根的判别式，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：对于方程，可知： ，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． （2）解：对于方程，，，， ， ， ． 方程是“全整根方程”， 是完全平方数， 又，且为整数， ， 完全平方数为36、49、63， 当时，不为整数，不符合， 当时，为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． 只有当时，才是完全平方数， ，， ， ， ， 一元二次方程的“最值码”为． （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于，，，， ， ， ． 是的“全整根伴侣方程”， ， ， ， ， ， ， ， ， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$