2.2 一元二次方程的解法 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

2.2 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 1.直接开平方法：适用于形如的方程，其解为。 2.配方法：先将常数c移到方程右边，再将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，使方程左边成为一个完全平方式，然后直接开平方求解。 3.公式法：一元二次方程的求根公式为，其中Δ=称为判别式。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。使用公式法解一元二次方程的步骤包括：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算判别式Δ的值，若Δ≥0，则利用求根公式求出方程的解。 4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，然后让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。因式分解法适用于容易分解的二次三项式。 以上就是一元二次方程的主要解法，掌握这些解法对于解决一元二次方程问题至关重要。 巩固课内例1:一元二次方程的解法——因式分解法(提公因式法) 1．一元二次方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 2．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 移项后再因式分解求得两根即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或， 解得： ， 故答案为： ． 故答案为：． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 巩固课内例2:一元二次方程的解法——因式分解法(平方差法) 1．我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，得到两个一元一次方程：，从而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（   ） A．公理化思想 B．模型思想 C．函数思想 D．转化思想 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程运用的数学思想，熟练掌握利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程，运用了转化的数学思想是解题的关键． 由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可． 【详解】解：解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程：，或．进而得到原方程的解为，，．这种把一元二次方程转化为两个一元一次方程，解法体现的数学思想是转化思想． 故选：D． 2．在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义运算及解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：，即， 整理得：， ， 解得：（舍去，不符合题意），， ， 故答案为：． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再利用开平方的方法解方程即可； （2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 巩固课内例3:一元二次方程的解法——因式分解法(完全平方法) 1．解一元二次方程，最简单的方法是（    ） A．因式分解法 B．配方法 C．公式法 D．直接开平方法 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程左右两边都可以开平方，故直接开平方法解此方程最简单． 【详解】解：， ，， ∴采用直接开平方法最简单． 故选：D． 2．已知关于的方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解法，先求出方程的根，根据方程的根相等即可得出答案，或先将方程整理为一般形式，再根据判别式的值为0，构建方程求解． 【详解】解：方法1：∵， ∴或， ∴，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 方法2：∵， ∴， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握直接开方法和因式分解法是解题关键； （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，， ，； 巩固课内例4:一元二次方程的解法——开平方法 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用直接开平方法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选D． 2．方程的解是 【答案】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为： 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，． 巩固课内例5:一元二次方程的解法——配方法(二次项系数为1) 1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 2．把方程配方成为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再方程两边同加上4，利用完全平方公式变形即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 3．解方程（用公式法或配方法解方程）． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用配方法求解：先将常数项移至等号右边，等号两边加上一次项系数一半的平方，再由直接开平方法求解；利用公式法求解：先写出，判断的符号，再由求解即可． 【详解】解：配方法： 或 解得：； 公式法： ， ∴， 解得：． 巩固课内例6:一元二次方程的解法——配方法(二次项系数不为1) 1．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 整理，得， 配方得，，即， 故选：C． 2．将一元二次方程配方后得到，则 ． 【答案】26 【分析】此题考查的是解一元二次方程−−配方法，掌握配方法的方法与步骤是解题的关键．把配方后与比较得出b，c的值，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程配方后得到， ∴， ∴． 故答案为：26． 3． 解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活选择方法是解题的关键． （1）将-1移到方程右边，选用配方法求解即可； （2）移项后，选用因式分解法求解即可； （3）将3移到方程珠左边，选用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ； （3）解：， ． ∵， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 巩固课内例7:一元二次方程的解法——配方法(完全平方式) 1．用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行解答即可． 【详解】解： ∴ ∴ 故选；C 2．方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的相关步骤及要求是解题的关键． 提取公因式3，得，括号内加上一次项一半的平方，再减去一次项一半的平方，得，则可以把左边配成一个完全平方的形式． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．下面是甲、乙两名同学解方程的部分解答过程：    (1)代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做____________法． (2)请判断他们的解答过程是否正确？若其中至少有一位同学正确，请选择一位同学的解法，写出完整的解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)配方 (2)正确，详见解析 【分析】（1）根据配方法回答即可； （2）利用配方法求解方程即可． 【详解】（1）解：根据题中过程可得，这种解题方法叫做配方法， 故答案为：配方； （2）他们的解答过程正确， 选择甲同学： ， ， ， ， ， ， 解得：，； 选择乙同学： ， ， ， ， ， ， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的运用． 巩固课内例8:一元二次方程的解法——公式法(直接公式法) 1．用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（    ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可． 【详解】解：将方程整理得：， 这里， 故选：C． 2．一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴，； 故答案为：，． 3．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得答案； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解： ，，， ， 则， ∴，． 巩固课内例9:一元二次方程的解法——公式法(移项、去括号化简) 1．在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．4 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出、、的值，最后求出判别式的值即可． 【详解】解：， ， ，，， ； 故选：D． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式． 2．用求根公式解方程解得＝ ，＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了利用求根公式解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键； 先对一元二次方程进行移项，算出判别式的值，然后再利用公式解题即可． 【详解】 解：将方程 转化为标准形式，即 。 计算判别式 的值，这里 , , ， 根据公式有 ，利用求根公式 求解方程的根，带入计算得到： ， 故答案为：， ． 3．解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． （3）解：， ， ， ， ， ，． （4）解：， 整理得：， ，，， ， ， ，． 类型一、直接开平方法解一元二次方程 1．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 2．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： 解得： 故答案为：． 3．用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 类型二、因式分解法解一元二次方程 1．已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解法可直接进行求解．本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 【详解】解：A、由方程解得，故不符合题意； B、由方程解得，故符合题意； C、由方程解得，故不符合题意； D、由方程解得，故不符合题意； 故选B． 2．若关于的一元二次方程有一个根是 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的定义和解，熟练掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的定义是解题的关键．先将代入一元二次方程，求解出的值，再结合一元二次方程的二次项系数不为，即可求解． 【详解】解：将代入， 得：， 化简得：， 解得：，， ∵是一元二次方程， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 3．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． 类型三、配方法解一元二次方程 1．一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方，熟练掌握一元二次方程的配方是解题的关键．根据完全平方公式进行配方即可． 【详解】解：， 故， 即， 故选B． 2．如果一元二次方程经配方后，得，那么k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．将方程移项得到，两边同时加上4整理得到，从而得到，求出k的值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：3． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）用直接开平方法解方程即可； （2）用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴，． 类型四、公式法法解一元二次方程 1．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可以分别为：， ∴该一元二次方程是， 故选：C． 2．已知（），则式子的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的求根公式，本题属于基础题型，根据一元二次方程的求根公式即可求出答案． 【详解】解：由一元二次方程的求根公式可知：的其中一个解为， 故答案为：0． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，公式法求解是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）先确定，再运用求根公式，代入求值即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，，； （2）解：， ∴， ∴， 解得，，． 类型五、根的判别式 1．关于的一元二次方程根的情况，下面说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握方程根的判别式与根的情况的关系是解答本题的关键． 先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答． 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得，即可求解，理解和掌握根的判别式的意义及计算是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形的两边，的长是上述方程的两个根，当为5时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为5或4． 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分当，时，两种情况讨论，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：， 即， 解得：，． 当时，三角形三边为5，5，6，，符合题意； 当时，即，三角形三边为5，5，4，，符合题意； 答：的值为5或4． 类型一、根据一元二次方程根的情况求参 1．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， 故选：． 2．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：且，解得：且． 故答案为：且． 3．已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的根 (2) 【分析】此题考查根的判别式及一元二次方程的解结合运用，解题关键在于通过判别式判断根的情况． （1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负判断根的情况即可； （2）将代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【详解】（1）解：由题意可得： 故方程有两个不相等的根； （2）根据题意，将代入方程得： ∴． 类型二、换元法解一元二次方程 1．若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 2．如果，那么 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． 令，则原方程可化为，然后展开利用因式分解法求解即可． 【详解】解：令， 则原方程可化为， 整理得，， 或 解得或m， ∴或（无意义，舍去）， 故答案为：． 3．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 类型一、新定义问题 1．设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查定义新运算，解一元二次方程的运用，理解新定义，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：，即， 解得：． 故选：C． 2．对于实数，，定义新运算“”：，如．若，则实数的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了定义新运算，解一元二次方程，理解定义新运算的方法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据定义新运算的方法可得，整理得，，再运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∴实数的值是， 故答案为： ． 3．定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 类型二、规律问题 1．下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形，第一个图形用了块石子；第二个图形用了块石子；第三个图形用了块石子；第四个图形用了块石子，…．照此规律第（   ）个图形用块石子    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化类以及解一元二次方程．解决本题的关键是根据前四个图形的变化寻找规律．根据图形的变化分别写出前四个图形中石子的个数，进而得第个的石子数与的关系，从而列方程求解即可． 【详解】解：观察图形的变化，可知， 第个图案要用的石子数为；； 第个图案要用的石子数为；； 第个图案要用的石子数为；； 第个图案要用的石子数为；； …； 第个（为正整数）图案要用的石子数为，， 令得， ∴， 解得（舍去）或． 故选：． 2．观察下列图形规律：当 时，图形“”的个数是“”的个数的倍． 【答案】 【分析】本题考查了图形、数字规律问题及解一元二次方程，找出图形之间的数字规律是关键.先分别得出图形“”和“”的个数的规律，再根据图形“”的个数是“”的个数的倍列方程计算即可得答案． 【详解】解：当时，“”的个数是，“”的个数是， 当时，“”的个数是，“”的个数是， 当时，“”的个数是，“”的个数是， 当时，“”的个数是，“”的个数是， …… ∴第个图形时，“”的个数是，“”的个数是， ∴图形“”的个数是“”的个数的倍时，， 解得：或（舍去）， 故答案为： 3．【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 【答案】（1） （2）17 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中有“”个，“△”个； 第2个图案中有“”个，“△”个； 第3个图案中有“”个，“△”个； 第4个图案中有“”个，“△”个； ∴第n个图案中有“”个，“△”个； 故答案为：． （2）解：依题意设第x个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍， ∴， 解得：（舍去）或． 故第17个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 类型三、配方法的应用 1．已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．利用配方法判断出可得结论． 【详解】解：， ， ， 又可以配方成， ， ． 故选：B． 2．代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤，完全平方公式是解题的关键．根据配方法把原式变成平方和的形式，根据非负数的性质解答． 【详解】 = = 因为任何数的平方都大于等于0， 所以，那么， 当，时，代数式取得最小值． 此时． 综上，该代数式的最小值是． 故答案为： 3．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∴代数式的最小值是． 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：B． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，如果，则方程有两个不相等的实数根；如果，则方程有两个相等的实数根；如果，则方程没有实数根，据此即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式分解，由和是方程的两个根可得，进而可得，即可求解，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴， 即， ∴多项式可以分解因式为， 故选：． 4．若，则 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．结合一元二次方程的特点，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 则或， 所以，． 故答案为：，． 5．三角形两边长分别为4和5，第三边是方程的根，则三角形的周长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系． 利用因式分解法解方程，得到，，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为：； 故答案为：13． 6．方程的根是 ． 【答案】1， 【分析】本题考查解分式方程，用换元法求解是解题的关键．设，将原方程化为，解这个分式方程求出，再将代回所设方程，最后解关于的方程即可解答． 【详解】解：设，则原方程化为：， 解得，， 将代入得，，此方程无解， 将代入得，，解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：1，． 7．解方程： (1)． (2)解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，配方法，直接开平方法，进行解答，即可． （1）先移项，然后直接开平方，即可； （2）先移项，然后根据完全平方公式，根据配方法，解出方程，即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得：，． （2）解：， ∴， ， ， ∴， 解得：，． 8．已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根是1，请求出k的值； (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式； （1）将1代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； （2）证明：，，， ， 故无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 9．已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1)x的值为； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了直接开平方法和配方法的应用． （1）根据列方程求解即可； （2）求出，然后利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：x的值为； （2）解：，理由如下：∵ ， 又对于任意的x部有， ∴． ∴． 10．材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则： ； ； ； (1)填空：化简________，________； (2)关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值． 【答案】(1)2， (2)． 【分析】本题主要考查了新定义虚数，求一元二次方程的虚数根． （1）将代入，利用乘法公式求解即可得到答案； （2）将方程的根代入，结合，是实数，求出m，n即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，； （2）解：∵一元二次方程有一个根是， ∴，即， ∴， ∵，是实数， ∴， 解得：，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 一元二次方程的解法 一元二次方程的解法 1.直接开平方法：适用于形如的方程，其解为。 2.配方法：先将常数c移到方程右边，再将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，使方程左边成为一个完全平方式，然后直接开平方求解。 3.公式法：一元二次方程的求根公式为，其中Δ=称为判别式。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。使用公式法解一元二次方程的步骤包括：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算判别式Δ的值，若Δ≥0，则利用求根公式求出方程的解。 4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，然后让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。因式分解法适用于容易分解的二次三项式。 以上就是一元二次方程的主要解法，掌握这些解法对于解决一元二次方程问题至关重要。 巩固课内例1:一元二次方程的解法——因式分解法(提公因式法) 1．一元二次方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．方程的根是 ． 3．解方程：． 巩固课内例2:一元二次方程的解法——因式分解法(平方差法) 1．我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，得到两个一元一次方程：，从而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（   ） A．公理化思想 B．模型思想 C．函数思想 D．转化思想 2．在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，那么方程的解是 ． 3．解方程： (1) (2) 巩固课内例3:一元二次方程的解法——因式分解法(完全平方法) 1．解一元二次方程，最简单的方法是（    ） A．因式分解法 B．配方法 C．公式法 D．直接开平方法 2．已知关于的方程有两个相等的实数根，则 ． 3．解方程： (1) (2) 巩固课内例4:一元二次方程的解法——开平方法 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是 3．解下列方程： (1)； (2)． 巩固课内例5:一元二次方程的解法——配方法(二次项系数为1) 1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（  ） A． B． C． D． 2．把方程配方成为 ． 3．解方程（用公式法或配方法解方程）． 巩固课内例6:一元二次方程的解法——配方法(二次项系数不为1) 1．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程配方后得到，则 ． 3． 解下列方程． (1)； (2)； (3)． 巩固课内例7:一元二次方程的解法——配方法(完全平方式) 1．用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 ． 3．下面是甲、乙两名同学解方程的部分解答过程：    (1)代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做____________法． (2)请判断他们的解答过程是否正确？若其中至少有一位同学正确，请选择一位同学的解法，写出完整的解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 巩固课内例8:一元二次方程的解法——公式法(直接公式法) 1．用公式法解方程时，求根公式中的a，b，c的值分别是（    ） A．1，2，3 B．1，，3 C．1，2， D．0，， 2．一元二次方程的根为 ． 3．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 巩固课内例9:一元二次方程的解法——公式法(移项、去括号化简) 1．在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．4 C．32 D．64 2．用求根公式解方程解得＝ ，＝ ． 3．解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． 类型一、直接开平方法解一元二次方程 1．在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的根是 ． 3．用适当的方法解方程 (1) (2) (3) (4) 类型二、因式分解法解一元二次方程 1．已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有一个根是 ，则的值为 ． 3．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 类型三、配方法解一元二次方程 1．一元二次方程配方后可化为（    ） A． B． C． D． 2．如果一元二次方程经配方后，得，那么k的值为 ． 3．解方程： (1)； (2)． 类型四、公式法法解一元二次方程 1．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知（），则式子的值是 ． 3．解方程： (1)； (2)． 类型五、根的判别式 1．关于的一元二次方程根的情况，下面说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形的两边，的长是上述方程的两个根，当为5时，求k的值． 类型一、根据一元二次方程根的情况求参 1．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 类型二、换元法解一元二次方程 1．若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 2．如果，那么 ． 3．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 类型一、新定义问题 1．设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 2．对于实数，，定义新运算“”：，如．若，则实数的值是 ． 3．定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 类型二、规律问题 1．下图是某同学在沙滩上用石子摆成的图形，第一个图形用了块石子；第二个图形用了块石子；第三个图形用了块石子；第四个图形用了块石子，…．照此规律第（   ）个图形用块石子    A．8 B．9 C．10 D．11 2．观察下列图形规律：当 时，图形“”的个数是“”的个数的倍． 3．【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 类型三、配方法的应用 1．已知方程可以配方成，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 2．代数式的最小值是 ． 3．阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 1．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．方程没有实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个相等的实数根 D．方程有一个实数根 3．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（    ） A． B． C． D． 4．若，则 ． 5．三角形两边长分别为4和5，第三边是方程的根，则三角形的周长为 ． 6．方程的根是 ． 7．解方程： (1)． (2)解方程：． 8．已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根是1，请求出k的值； (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 9．已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 10．材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则： ； ； ； (1)填空：化简________，________； (2)关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$