专题01 平面向量九种考法（知识清单+方法讲解+重难点例题及变式+限时冲刺练）-2024-2025学年高一数学下学期期末复习专题（苏教版2019必修第二册）

专题01 平面向量八种考法 1、 知识清单 知识梳理 向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2.零向量：长度为0的向量，记作. 3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6.相反向量：长度相等且方向相反的向量． 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 向量共线定理的应用 1.向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2.三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 平面向量的坐标运算 1.向量的线性运算坐标表示 （1）已知，则，． （2）若，则； 2.向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 平面向量的数量积 1.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． （2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． 2.平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 3.向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： （1）. （2）. （3），同向⇔；，反向⇔. 特别地或. （4）若θ为，的夹角，则. 4.平面向量数量积的运算律 （1） (交换律)． （2） (结合律)． （3） (分配律)． 平面向量数量积的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 二、方法讲解 1.向量的基本概念 解决向量概念问题的注意点 ①相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． ②共线向量即平行向量，它们均与起点无关． ③相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． ④向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． ⑤非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． ⑥向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． ⑦在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件 2.向量共线定理的应用 证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 3.平面向量基本定理与坐标表示 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 4.平面向量数量积及其运算 求平面向量的数量积的三种方法： 1、定义法：已知或可求两个向量的模和夹角。； 2、基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解； 3、坐标法：已知或可求两个向量的坐标时可直接使用，有时也许建立平面直角坐标系。 5.平面向量模的有关问题 求向量模或其范围的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 6.平面向量的夹角问题 求两个向量夹角的方法： 求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”。 注意：两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 7.投影向量及其运算 向量在向量方向上的投影向量为 在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． 8.平面向量的综合应用 基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；②将平面向量的运算坐标化； ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等求 9.与其他章节的融合 与三角恒等变换、三角函数图像与性质、解三角形融合 三、重难点例题及变式 类型一、向量的基本概念 例．（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（     ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【变式训练1】A．若，则 B． C．若非零向量，则与的方向相同 D．若，则 【变式训练2】与向量平行的所有单位向量为（     ） A． B． C． D．或 类型二、向量共线定理的应用 例．（1）已知为平面向量，若，若，则实数（ ） A． B． C．1 D． （2）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练1】已知向量，．若，则 ． 【变式训练2】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（     ） A． B． C． D． 类型三、平面向量基本定理与坐标表示 例．（1）如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（     ） A． B． C． D． （2）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】在中，点D在边AB上，．记，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知是的边上一点，若，则（     ） A． B． C．0 D． 类型四、平面向量数量积及其运算 例．（1）若，，则（     ） A． B． C．3 D．5 （2）已知正方形的边长为2，若，则（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练1】已知与的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（     ） A．1 B． C． D． 类型五、平面向量模的有关问题 例．已知向量与的夹角为，且，，则（    ） A． B． C．4 D． 【变式训练1】已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（     ） A．2 B． C． D．6 【变式训练2】已知，若是线段的中点，则 ． 类型六、平面向量的夹角问题 例．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知向量，满足，，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知平面向量满足，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 类型七、投影向量及其运算 例．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】若，是两个夹角为的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【变式训练2】已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 类型八、平面向量的综合应用 例．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（多选）已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【变式训练2】已知平面向量，满足，与的夹角为，记，则的取值范围为_______． 类型九、与其他章节的融合 例． 若外接圆的圆心，半径为，且，则边长为_________. 【变式训练1】费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在中，角所对的边分别是，若，． （1）求； （2）设点为的费马点， ①若，求； ②设，，求的取值范围． 【变式训练2】在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，为的重心，已知，. （1）求的大小； （2）若，求； （3）求的取值范围. 四、限时冲刺练 1．已知向量，，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，且，则（     ） A． B． C． D． 3．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（     ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 4．中，，P为线段中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知与为两个不共线的单位向量，则（     ） A． B． C．若，则 D．若，则 6.在中，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 8．（多选）下列说法中正确的是（ ） A 若，则，且方向相同 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 对任意向量，，，都有 D. 是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 9．（多选）已知等边边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ） A. B. C. D. 10．已知向量满足，且，则______． 11.已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 12.已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 13.如图，在梯形中，，且为的中点，，． （1）求的值； （2）若，求． 14.如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，. （1）若，用，表示，； （2）求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量八种考法 1、 知识清单 知识梳理 向量的有关概念 1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2.零向量：长度为0的向量，记作. 3.单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6.相反向量：长度相等且方向相反的向量． 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 向量共线定理的应用 1.向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2.三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 平面向量的坐标运算 1.向量的线性运算坐标表示 （1）已知，则，． （2）若，则； 2.向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 平面向量的数量积 1.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． （2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． 2.平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 3.向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： （1）. （2）. （3），同向⇔；，反向⇔. 特别地或. （4）若θ为，的夹角，则. 4.平面向量数量积的运算律 （1） (交换律)． （2） (结合律)． （3） (分配律)． 平面向量数量积的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 二、方法讲解 1.向量的基本概念 解决向量概念问题的注意点 ①相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． ②共线向量即平行向量，它们均与起点无关． ③相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． ④向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈． ⑤非零向量与的关系：是方向上的单位向量，因此单位向量与方向相同． ⑥向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小． ⑦在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；②考虑零向量是否也满足条件 2.向量共线定理的应用 证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线； 证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线； 求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 3.平面向量基本定理与坐标表示 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 4.平面向量数量积及其运算 求平面向量的数量积的三种方法： 1、定义法：已知或可求两个向量的模和夹角。； 2、基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解； 3、坐标法：已知或可求两个向量的坐标时可直接使用，有时也许建立平面直角坐标系。 5.平面向量模的有关问题 求向量模或其范围的常用方法 1、定义法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算； 2、坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式； 3、几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 6.平面向量的夹角问题 求两个向量夹角的方法： 求两向量的夹角，关键是利用平移的方法使表示两个向量的有向线段的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角。过程简记为“一作、二证、三算”。 注意：两向量的夹角其实就是从同一起点出发的表示两个非零向量的有向线段构成的不大于平角的角； 7.投影向量及其运算 向量在向量方向上的投影向量为 在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． 8.平面向量的综合应用 基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；②将平面向量的运算坐标化； ③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等求 9.与其他章节的融合 与三角恒等变换、三角函数图像与性质、解三角形融合 三、重难点例题及变式 类型一、向量的基本概念 例．（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（     ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【答案】ABC 【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错； 对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错； 对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错； 对于D选项，恒成立，D对. 故选：ABC. 【变式训练1】A．若，则 B． C．若非零向量，则与的方向相同 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项，由于向量不能比大小，所以A选项错误； 对于B选项，，B错误； 对于C选项， 因为，所以， 所以， 所以，设向量 又向量与是非零向量，所以，又， 所以，故与的方向相同；C正确； 若，方向不一定相同，则不一定相等，D错误； 故选：C. 【变式训练2】与向量平行的所有单位向量为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以与向量平行的单位向量为或. 故选：D 类型二、向量共线定理的应用 例．（1）已知为平面向量，若，若，则实数（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A   （2）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】向量与向量共线， 设，故，解得. 故选：B 【变式训练1】已知向量，．若，则 ． 【答案】1或 【解析】因为向量，，， 所以有，或， 故答案为：1或 【变式训练2】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，是两个不共线的向量，由，共线， 则存在实数，使得，则，解得或，则. 故选：B 类型三、平面向量基本定理与坐标表示 例．（1）如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A （2）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点， 所以，所以，又， 所以，. 故选：B 【变式训练1】在中，点D在边AB上，．记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B 【变式训练2】已知是的边上一点，若，则（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】由题意可得：， 可知，所以. 故选：B 类型四、平面向量数量积及其运算 例．（1）若，，则（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】由题意可知， 所以， 故选：B （2）已知正方形的边长为2，若，则（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：    由可得为的中点，所以， 易知，可得， 所以. 故选：B 【变式训练1】已知与的夹角为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C． 【变式训练2】已知等边的边长为2，点、分别为的中点，若，则=（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，取为基底，则. 因为点、分别为的中点， ，， 故选：A 类型五、平面向量模的有关问题 例．已知向量与的夹角为，且，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 所以． 故选：A 【变式训练1】已知向量，的夹角为，，，在中，，，，则（     ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【解析】因为向量，的夹角为，，， 所以， 又因为 ， 所以 . 故选：A 【变式训练2】已知，若是线段的中点，则 ． 【答案】 【解析】因为为线段的中点，所以， 所以 故答案为： 类型六、平面向量的夹角问题 例．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 所以. 故选：B 【变式训练1】已知向量，满足，，，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，向量，， 由，得，解得，即，则， 因此，又，所以. 故选：C 【变式训练2】已知平面向量满足，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知平面向量满足， 故，所以， 所以，所以， 则，，故， 故选：B. 类型七、投影向量及其运算 例．已知，，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上的投影向量为，故， 而，故，故， 故即， 故选：A 【变式训练1】若，是两个夹角为的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【解析】因为，是两个夹角为的单位向量， 则向量在向量方向上的投影向量为 . 故答案为： 【变式训练2】已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】因为平面向量，，所以， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 类型八、平面向量的综合应用 例．如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 【变式训练1】（多选）已知P是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，则下列正确的是（ ） A. 的面积为定值 B. 使得 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】对A，由可得， 即，可得， 因此，在正六边形的对角线上运动， 所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故A正确； 对B，因为正六边形关于对角线对称，故，故B错误； 对C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值， 当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确； 对D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离， 又当时，有最小值，故D错误. 故选：AC. 【变式训练2】已知平面向量，满足，与的夹角为，记，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】因为平面向量，满足，与的夹角为， 设，，， 则，所以，， ， 、、三点共线， 又到直线的距离， ，即的取值范围为. 故答案为： 类型九、与其他章节的融合 例． 若外接圆的圆心，半径为，且，则边长为_________. 【答案】## 【解析】在中，令内角所对边分别为，其外接圆半径为， 则，由， 得， ，则， 于是，即， 则，即， 因此，所以. 故答案为： 【变式训练1】费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在中，角所对的边分别是，若，． （1）求； （2）设点为的费马点， ①若，求； ②设，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】（1）在中， 由正弦定理得： 因为在中，，，从而且，所以. （2）①设，， 则，则 由得：，则 在中，由余弦定理得： 代入得：，则，或，，则 ②根据题意得：因为，所以的三个内角均小于， 从而费马点P在的内部，设， 则，，， 在和中，分别由正弦定理得：， 两式相除得： 因为，所以， 则的取值范围是 【变式训练2】在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，为的重心，已知，. （1）求的大小； （2）若，求； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】（1）由正弦定理得，， 得， 得， 因为，所以， 得，得， 得，即， 因为，所以. （2）如图： 连接，并延长交为点M， 因为G为的重心，所以M为的中点，且， 而， 得， 得， 即， 因为，所以， 即， 由余弦定理得，，而， 得， 故，得， 故． （3）由(2)知，， 得，而， 得， 故， 令，得， 得， 由正弦定理得， 得， 故 ， 由(1)知，，则，而是锐角三角形， 有，解得， 则，得， 即， 即， 因为， 所以， 而， 因为， 所以， 故的取值范围为： 四、限时冲刺练 1．已知向量，，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与的夹角为， 则在上的投影向量为: . 故选：B 2．已知向量满足，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， 所以， 得，又， 所以. 故选：C. 3．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（     ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】D 【解析】根据网格图中的的大小与方向，易于得到， 由向量与共线，可得，解得：. 故选：D 4．中，，P为线段中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 又P为线段中点，所以， 即，，所以. 故选：C 5．已知与为两个不共线的单位向量，则（     ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】选项A：若，则，即， 与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误； 选项B：设与的夹角为，则，， 所以，故选项B 说法错误； 选项C：若，则， 所以，，即， 所以， 又，所以，故选项C说法错误； 选项D：因为，， 所以，化简得， 设与的夹角为，则，，所以， 所以，即，所以，故选项D说法正确； 故选：D 6.在中，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图，取中点为，连接， 则. 又， 即， 所以， 所以，为等腰三角形，. 又，所以. 又，， 所以，. 在中，有， 所以，. 又，， 所以，， 所以，，， 所以，的取值范围为. 故选：B. 7.（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由，得，则， 又均为非零向量，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，，，在上的投影向量，则， 因此，，又，于是，D正确. 故选：BCD. 8．（多选）下列说法中正确的是（ ） A 若，则，且方向相同 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 对任意向量，，，都有 D. 是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍 【答案】ABD 【解析】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确； 对于B，依题意，， 则向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，对任意向量，，，与结果均为实数， 设为，，则，， 而与关系不明确，故得不到，即C错误； 对于D，如图，分别取，则，即得，故， 因，则， 故，即的面积是的面积的2倍，故D正确. 故选：ABD. 9．（多选）已知等边边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，因为为等边三角形，，为中点，所以， 所以，即，所以 ，故B正确； 对于C选项，设， 由（1）得，所以， 又三点共线，所以，解得，所以为上靠近点的四等分点，故C错误； 对于D，，设，则， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以为中点，所以，故D正确， 故选：ABD. 10．已知向量满足，且，则______． 【答案】 【解析】由题设，，又， 所以，可得， 所以，可得. 故答案为： 11.已知菱形边长为1，且为线段的中点，若在线段上，且，则 ，点为线段上的动点，过点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示，以为原点建立平面直角坐标系，则有、，    由，则， 则，则，， 则，，由， 即，则， 则，， 又在线段上，故有， 解得，即，； 设，， 则，由，则， 由，，则，则， 则，故， 则，，， 则 ， 则当时，有最小值. 故答案为：；. 12.已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】（1）因为，所以，则，解得， 故，. （2）因为，所以，则，. （3），， 若与共线，则，解得，即， 故. 13.如图，在梯形中，，且为的中点，，． （1）求的值； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）由， 由，又，结合图知同向共线， 所以； （2）由, 由（1），则， ， ，，则 14.如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，. （1）若，用，表示，； （2）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形. 所以， 因为，，所以， 所以， . （2）因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ， 所以， 设，则，. 所以， ， 所以 ， 因为， 所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为. 所以取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$