10.1　两角和与差的三角函数【10大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

10.1　两角和与差的三角函数 【考点梳理】 · 考点一：两角和与差的余弦公式 · 一：已知两角的正、余弦求和差角的余弦 · 二：用和差余弦公式进行化简求值 · 三：逆用和差余弦公式进行化简求值 · 考点三：两角和与差的正切公式 · 一：已知两角的正、余弦求和差角的正切 · 二：用和差正切公式进行化简求值 · 三：逆用和差正切公式进行化简求值 · 考点四：两角和与差的三角函数综合应用 【知识梳理】 知识点一　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点二　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点三：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 【题型归纳】 题型一：两角和与差的余弦公式 一：已知两角的正、余弦求和差角的余弦 1．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 二：用和差余弦公式进行化简求值 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知都是锐角，，（    ）． A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 三、逆用和差余弦公式进行化简求值 7．（23-24高一下·江苏连云港·期中）的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 8．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·江苏常州·期中）（    ） A． B． C． D． 三：逆用和差余弦公式进行化简求值 题型二：两角和与差的正弦公式 一：已知两角的正、余弦求和差角的正弦 10．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·江苏连云港）已知，则为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一上·福建福州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 二：用和差正弦公式进行化简求值 13．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 15．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 三：逆用和差正弦公式进行化简求值 16．（23-24高一下·江苏南京·期中）（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·江苏苏州·期末）（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D．1 题型三：两角和与差的正切公式 一：已知两角的正、余弦求和差角的正切 19．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．－3 B．2 C．3 D．不存在 21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 二：用和差正切公式进行化简求值 22．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知，则的值（    ） A． B． C． D． 24．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知，则（    ） A． B．0 C． D． 三：逆用和差正切公式进行化简求值 25．（23-24高一下·江苏南通）（    ） A． B． C．1 D． 26．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）的值为（    ） A． B． C．3 D． 27．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 题型四：两角和与差的三角函数综合应用 28．（24-25高一上·江苏无锡）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)若钝角满足，求的值. 29．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 30．（23-24高一下·江苏）已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【高分演练】 一、单选题 31．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，是方程的两个根，则的值为（    ）． A． B． C． D．2 32．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知、，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 34．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·江苏盐城·期中）化简值为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 37．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 38．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 40．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 42．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，则 ． 43．（23-24高一下·江苏盐城·期中）若，，则 . 44．（23-24高一下·江苏淮安）已知是锐角，，则的值为 . 45．（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值为 ． 四、解答题 46．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知均为锐角，且. (1)求的值： (2)求的值. 47．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，求的值． 48．（23-24高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 49．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知. (1)求； (2)求. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1　两角和与差的三角函数 【考点梳理】 · 考点一：两角和与差的余弦公式 · 一：已知两角的正、余弦求和差角的余弦 · 二：用和差余弦公式进行化简求值 · 三：逆用和差余弦公式进行化简求值 · 考点三：两角和与差的正切公式 · 一：已知两角的正、余弦求和差角的正切 · 二：用和差正切公式进行化简求值 · 三：逆用和差正切公式进行化简求值 · 考点四：两角和与差的三角函数综合应用 【知识梳理】 知识点一　两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R 两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R 知识点二　两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R 知识点三：　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和的正切 tan(α＋β) ＝ T(α＋β) α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β) ＝ T(α－β) α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 【题型归纳】 题型一：两角和与差的余弦公式 一：已知两角的正、余弦求和差角的余弦 1．（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因此， 于是有 ， 故选：C 2．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先求出，然后利用诱导公式、两角和差的余弦公式运算即可求解. 【详解】由题意，得， 所以. 故选：D. 3．（22-23高一下·江苏镇江·期中）已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为且都是第二象限角， 所以，， 所以. 故选：C. 二：用和差余弦公式进行化简求值 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值. 【详解】∵为锐角，， ∴， ∴． 又，∴. 故选：B． 5．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知都是锐角，，（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求，再由结合两角差余弦公式求结论. 【详解】因为为锐角， 所以， 又， 所以，， 又， 所以 故选：A. 6．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知求出、和，接着结合两角和的余弦公式求即可得解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以. 故选：B. 三、逆用和差余弦公式进行化简求值 7．（23-24高一下·江苏连云港·期中）的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据两角和的余弦公式即可求解. 【详解】. 故选:B. 8．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦两角和公式和诱导公式化简即可得解. 【详解】 . 故选：D 9．（23-24高一下·江苏常州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式求解. 【详解】原式 . 故选：B 三：逆用和差余弦公式进行化简求值 题型二：两角和与差的正弦公式 一：已知两角的正、余弦求和差角的正弦 10．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】因为所以， 又，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 11．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合同角关系求，再利用两角和正弦公式求. 【详解】由已知，所以， 又，所以， 所以， 又， 所以， 故选：B. 12．（22-23高一上·福建福州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求出，利用差角公式求解答案. 【详解】因为，所以，所以； . 故选：A. 二：用和差正弦公式进行化简求值 13．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解. 【详解】由，则， 又，， 而 . 故选：D. 14．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用同角三角函数关系结合两角和差角公式计算即得. 【详解】因为, 所以， 所以. 故选：A. 15．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得，得到，结合，利用两角和正弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，可得，所以， 由 . 故选：B. 三：逆用和差正弦公式进行化简求值 16．（23-24高一下·江苏南京·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式把题目中的角转化为锐角，最后逆用两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】 故选：A 17．（23-24高一下·江苏苏州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值. 【详解】 . 故选：A. 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】将原式转化为，然后利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：C 题型三：两角和与差的正切公式 一：已知两角的正、余弦求和差角的正切 19．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以且， 即，且，解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 20．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．－3 B．2 C．3 D．不存在 【答案】B 【分析】利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知，且，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和差正切公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 二：用和差正切公式进行化简求值 22．（23-24高一下·江苏南京·期末）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的范围确定，然后使用正切差公式. 【详解】由，知，故，从而. 所以. 故选：D. 23．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对利用诱导公式与两角和的余弦公式化简可得，代入中利用两角和的正切公式化简计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，所以， 所以， 所以 ， 故选：D 24．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的正切公式计算可得，结合弦化切即可求解. 【详解】由，得， 解得， 所以. 故选：C 三：逆用和差正切公式进行化简求值 25．（23-24高一下·江苏南通）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案. 【详解】， ， 所以， 所以 故选：A 26．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用正切的和角公式，逆用即可求出结果. 【详解】 . 故选：B. 27．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案. 【详解】， ， ． 故选：C 题型四：两角和与差的三角函数综合应用 28．（24-25高一上·江苏无锡）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)若钝角满足，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角函数定义得到和的值，再根据两角和的正弦公式求得结果； （2）由角和的范围，以及得出的范围，求得的值，再根据，结合两角差的余弦公式求得结果. 【详解】（1）由角的终边过点得， 所以. （2）由角的终边过点得， 由是钝角，是第三象限角，则，， 所以， 由得， 则. ； 所以. 29．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 【答案】（1）.（2）. 【分析】（1）把题目给的两角和看成一个整体，则，结合已知条件再运用和差公式化简求值即可. （2）把看成一个整体，把条件变形为，再运用和差公式化简求值即可. 【详解】（1），， ，， ，， . 故答案为：. （2）， ，即， ，又， ， ，即. 故答案为：. 30．（23-24高一下·江苏）已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解； （2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 【高分演练】 一、单选题 31．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，是方程的两个根，则的值为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由已知结合方程的根与系数关系可得，，，然后结合两角和的正切公式即可求解． 【详解】由题意得，，， 所以． 故选：B． 32．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数关系得到，，凑角法得到答案. 【详解】因为，，所以，所以，， 所以 . 故选：C 33．（23-24高一下·江苏南京·期中）已知、，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系中平方和关系求出相应角的正弦值，然后运用余弦两角和公式进行求解即可. 【详解】、，且，， ， ， ， ，， 、， ， ， 故选： B 34．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，即可求出、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ， 解得， 所以. 故选：D 35．（23-24高一下·江苏盐城·期中）化简值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：B 36．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可. 【详解】若，则 若，则， 将两式子相加可得， 化简得， 由两角和的正弦公式得，故C正确. 故选：C 37．（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用切化弦可得，再由两角和差公式先求，最后由同角基本关系式求解. 【详解】因为，则，则， 所以， 而，则， 所以. 故选：C 二、多选题 38．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正弦、余弦的两角和差公式即可逐一求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确， 故选：ACD. 39．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，及三角恒等变换一一判定选项即可. 【详解】由题意可知， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由C可知，故D正确. 故选：ABD 40．（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知，且是方程的两根，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由方程解出，利用两角和与差的正弦余弦正切公式和同角三角函数的商数关系，求解各选项中的算式，验证选项. 【详解】是方程的两根，又， 解得， ，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，，则，有， ， ，D选项正确. 故选：AD. 41．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用正弦函数两角和公式展开后再利用正切公式可对A判断；逆用正弦函数两角差公式可对B判断；利用正余弦两角差公式可对C判断；逆用正切两角和公式即可对D判断. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 42．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】先利用诱导公式对已知等式化简求出，再利用两角差的正切公式求解. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故答案为： 43．（23-24高一下·江苏盐城·期中）若，，则 . 【答案】 【分析】由题设求出，利用拆角变换，将化成，利用和角公式计算即得. 【详解】由，可得， 则， 于是，   . 故答案为：. 44．（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知是锐角，，则的值为 . 【答案】 【分析】先由已知结合特殊角的三角函数值确定，再由正弦展开式结合拆角计算得到最后结果. 【详解】因为，，所以， 又，所以，即，又，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 45．（2024高三·全国·专题练习）若，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据条件，得出，利用平方关系得到，进而有，再利用正切的和角公式得到，利用角的范围和特殊角的三角函数值，即可求出结果. 【详解】因为，又，所以， 又，所以， 又，故， 所以，得到， 又，所以， 又，所以， 故答案为：. 四、解答题 46．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知均为锐角，且. (1)求的值： (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），然后根据两角差的余弦公式展开，结合题目条件，分别算出每个量即可； （2）结合（1）的结果，求出，然后利用正切的两角差，二倍角公式计算. 【详解】（1）因为为锐角.且， 所以， 因为，且， 所以 所以 （2），是锐角，则， 于是， 所以 所以. 47．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用诱导公式再将分子的“1”转化为，然后再进行化简； （2）两等式平方相加即可得到答案. 【详解】（1）原式 ． （2） ， 则. 48．（23-24高一下·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解； （2）首先利用角的变换求，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，，，， 所以，， ； （2）， ， ， 由，得，，则， 所以. 49．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知余弦求出正弦，已知正弦求出余弦，再利用以及展开计算即可； （2）将以及展开解方程求出，相除即可得. 【详解】（1）因为， 由得， 因为，所以，所以， 因为， 由得， 因为，所以，所以， ， ； （2）由（1）知，又， 所以解得 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$