精品解析：江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2024-2025学年高一下学期阶段测试1（3月）数学试题

扬大附中2024~2025学年度第二学期高一年级阶段测试1 数学试卷 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1 已知向量，，则 A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 3. 在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）（参考数据：） A. 2033年 B. 2032年 C. 2031年 D. 2030年 5. 如图，已知中，为的中点，，若，则 A. B. C. D. 6. 已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ） A B. C. D. 7. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数，则方程实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 已知函数有两个零点，则零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 10. 对于向量，，，实数t，下列判断不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则的充要条件是 D. 若，且，则对任意实数t，都有 11. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知点，，，则向量的坐标为______. 13. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数．现有的物体放到的空气中冷却2分钟后，物体的温度为，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到_______． 14. 已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为__________． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且与垂直，求实数的值. 16. 在中，，，且与的夹角为．P为线段AB上的一点，设． （1）若，用基向量，表示，并求； （2）若，求实数t的值． 17. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数部分图象如图所示； （ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分． 现有以下三个函数模型供选择：． （1）选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？ 18. 在等腰梯形ABCD中，，，，设，，取，为基底，若点P是梯形ABCD内部（含边界）上一点，且（，）． （1）设，求，的值； （2）当时，求的最小值； （3）若，求证的面积为定值，并求出这个定值． 19. 已知函数，，其中． （1）若的定义域是一切实数，求m的取值范围； （2）若的值域是，求m的值； （3）证明：对任意，函数存在零点； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中2024~2025学年度第二学期高一年级阶段测试1 数学试卷 一、单选题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题. 2. 已知，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，， 故、、三点共线，A对； 对于B选项，因为，，故、不一定共线，B错； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错. 故选：A. 3. 在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果. 【详解】由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 【点睛】本题考查三角形的重心公式，属基础题. 4. 某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）（参考数据：） A 2033年 B. 2032年 C. 2031年 D. 2030年 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件得到从而2020年起第年投入的研发资金的表达式，再根据参考数据可得正确的选项. 【详解】设2022年起第年投入的研发资金为（2022年为第一年）， 由，得， 两边取常用对数得，则， 所以2032年第一次研发资金超过. 故选：B 5. 如图，已知中，为的中点，，若，则 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值. 【详解】因为， 所以，.故. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析. 6. 已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 7. 非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用投影向量求出，再利用向量垂直关系计算向量数量积构造关于实数的方程，最后结合及解方程求出实数． 【详解】向量在向量上的投影向量为， ， ， ， 又， ， 是非零向量，， ，解得， 故选：A． 8. 已知函数，则方程实数根的个数为（ ） A 6 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先通过换元将方程等价转化为四个方程，，，的根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得. 【详解】令，则.当时，则，得或. 当时，则，得或. 再由，即，所以原方程等价于下面四个方程的根： ——①，——②，——③，——④. 再由，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，图象如下： 对方程①，因为， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对方程——②，因为. 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或（舍去）. 所以方程共有3个根. 对于方程——③， 所以时，，得或，解得或； 当时，，得或. 所以方程共有4个根. 对于——④，由函数的图象可知方程有唯一的根. 综上所述，方程的根共有个根. 故选：D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 已知函数有两个零点，则零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数， 又，， ，， ， 且，， 所以由零点存在性定理可知函数在和上有零点. 故选：AD. 10. 对于向量，，，实数t，下列判断不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则的充要条件是 D. 若，且，则对任意实数t，都有 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面零向量的概念即可判断A；根据向量的运算律和垂直的向量表示即可判断BC；根据共线向量的概念即可判断D. 【详解】对于A，是零向量时，对任意和都成立，故A不正确； 对于B，，即，与可能垂直，不一定有，故B不正确； 对于C，的充要条件是， 即，所以，故C正确； 对于D，消去向量，则有，， 若，则，， 若，则，，所以，故D正确． 故选：AB 11. 是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据向量线性运算求解判断；对B，根据向量的数量积及运算律和模的计算判断；对C，由向量数量积及运算律求解判断；对D，由向量投影的定义求解判断. 【详解】如图： 对于A，，故A错误； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知点，，，则向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据得到方程组解出即可. 【详解】设，∵，， ∴，∴，解得， ∴，又，∴. 故答案为：. 13. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数．现有的物体放到的空气中冷却2分钟后，物体的温度为，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得正确结论. 【详解】依题意，， 故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到： . 故答案为： 14. 已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助投影向量定义可得，借助模长公式可得，再利用夹角公式计算即可得解. 【详解】由，是两个单位向量，且，得， ，， 因此，而， 因此， 所以与的夹角为. 故答案为： 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，进而得到，再利用向量的模长公式即可得解； （2）利用向量线性运算的坐标表示得到与，再利用向量垂直的坐标表示列式即可得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 又与垂直，所以， 即，则. 16. 在中，，，且与的夹角为．P为线段AB上的一点，设． （1）若，用基向量，表示，并求； （2）若，求实数t的值． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求得，再利用数量积的定义及运算律求出. （2）用基向量，表示，再利用垂直关系向量表示列式求出t的值． 【小问1详解】 在中，，则，因此； 由，，且与的夹角为，得， 所以． 【小问2详解】 由，得，， 由，得， 因此， ，所以. 17. 为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象如图所示； （ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分． 现有以下三个函数模型供选择：． （1）选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？ 【答案】（1）选对数型模型，； （2）70分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图像的特点选择函数模型，再代点进去即可求得结果. （2）利用函数的单调性求解即可得到结果. 【小问1详解】 根据图象是曲线且单调递增， 故选对数型模型，； 由题意可知在上， 所以，解得， 所以， 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 令，可得， 即解得，所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟． 18. 在等腰梯形ABCD中，，，，设，，取，为基底，若点P是梯形ABCD内部（含边界）上一点，且（，）． （1）设，求，的值； （2）当时，求的最小值； （3）若，求证的面积为定值，并求出这个定值． 【答案】（1），； （2）1； （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据向量的减法运算和平面向量基本定理即可求解； （2）先用表示，求出，将两边平方，利用平面向量数量积的定义与运算律，结合二次函数的性质即可求解； （3）当时，得，即，即可求解. 【小问1详解】 根据题意有， ，， ， 又，，由， 即， 所以，，则，； 【小问2详解】 在等腰梯形ABCD中，，，， 过点作，过点作，则有，则，得， 所以， ， 当且仅当时，有最小值1，此时， 满足条件的点在梯形ABCD内部． 【小问3详解】 ， 当时，， 所以，从而动点P在过点D且与BC平行的直线上，设过点D且与BC平行的直线与交点， 过点作，由，， 所以 所以的面积为定值，所以． 19. 已知函数，，其中． （1）若的定义域是一切实数，求m的取值范围； （2）若的值域是，求m的值； （3）证明：对任意，函数存在零点； 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得对一切实数x恒成立，进而结合二次函数求解即可； （2）令，由题意可得t可以取中的一切实数，且t的最大值是8，进而结合二次函数求解即可； （3）按的取值分类讨论，结合函数零点存在性定理求证即可. 【小问1详解】 依题意对一切实数x恒成立， 则或， 解得：或，所以m的取值范围是； 【小问2详解】 令，的值域是知， t可以取中的一切实数，即t的最大值是8， 由， 则，且，所以． 【小问3详解】 ， 令， 当时，，由，得，即函数有零点； 当时，若，则，函数在有定义， 且在上的图象连续不断，而，， 因此函数在内有零点； 当时，，恒成立，函数定义域为R， 由，，得函数在内有零点； 当时，，，， 函数在内有零点； 当时，， 当且仅当时取等号，，， 在，上各有一个根， 记在上的零点为，当x从小于的方向趋近于时，从大于0的方向趋近于0， 趋近于负无穷大，则趋近于正无穷大，而，函数在内有零点， 所以对任意，函数存在零点． 【点睛】方法点睛：函数的零点问题常常可以利用零点存在性定理进行判断，或者转化为函数与函数的交点问题进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $