精品解析：江苏省连云港市赣榆高级中学等校2024-2025学年高一下学期3月学情检测数学试题

2024~2025学年第二学期高一年级3月学情检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选:D 2. 已知两个向量，，若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示分析运算. 【详解】若，则，解得. 故选：A. 3. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：. A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项不符合题意； C：因为，所以本选项不符合题意； D：因为，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 4. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理可知时，为钝角，推得充分性成立；举反例推得必要性不成立，从而得解. 【详解】充分性： 当时，， 又，所以是以为钝角的钝角三角形； 必要性： 当为钝角三角形时，取， 则，又， 故为钝角，但不成立，故不满足必要性. 所以“”是“为钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方关系由结合已知角的范围求出的值，再代入二倍角公式和和角公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 因为，所以， 所以. 则. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 【详解】由可得 ， 故选：C 7. 如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象知与的夹角的大小相等，结合向量夹角余弦公式可得结论. 【详解】因为，所以为直角三角形， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则有，，， 又D，E分别为BC，AB中点， 所以，， 故，， 所以， 故选：D． 【点睛】 8. 在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算求得，由数量积坐标表示得出，然后利用两角和的正弦公式及正弦函数的性质得最大值． 【详解】由已知， ∵，且，∴， ∵为线段AB上的动点，则，， ∵，， 则． 所以，其中，且为锐角，则， 所以时，的最大值为， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若为单位向量，则 B. 若，则 C. 两个非零向量，若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，单位向量的方向不一定相同；B项，向量性质判断； C项，两边平方展开化简可得；D项，特殊向量的数量积计算求解. 【详解】选项A，由为单位向量，即，而方向不一定相同，故A错误； 选项B，向量不能比较大小， 故B错误； 选项C，由，得， 即，整理得，又因为是两个非零向量，所以，故C正确； 选项D，当时，则不一定成立，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式，结合角的变换公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以，故A正确； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，则，故D错误. 故选：AC. 11. 正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为1 C. 最大值是 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ，，，，，设，， 则，，，由， 得，则，解得， 对于A，，其中锐角由确定， ，则当时，，A错误； 对于B，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，，则 ，而，当时，取得最大值为，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，共15分． 12. 已知平面内两向量，若，则的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于，又向量， 所以，所以. 故答案为： 13. 已知，且，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，求得，得，可得，进而求得，，由，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 又，则， 所以， 所以， ， 所以 . 故答案为：. 14. 如图，在中，，分别是直线上的点，，且，则_____________．若是线段上的一个动点，则的取值范围是_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，根据向量的线性运算以及向量基本定理，将转化为之间的运算，即可求得答案； 第二空，设，，根据数量积的运算律，化简为之间的相关运算，结合二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】∵，，∴，， ∵，又，， ∴ ， 解得，∵，∴． 设，， ∴ ，， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：；. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案； （2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围． 【小问1详解】 由已知，，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． 【小问2详解】 若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， ，且，所以且． 16. 已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由于，所以代值求解即可； （2）由求出的值，从而可求出的值，而，进而可求得结果 【详解】（1） （2）因为为锐角，所以，， 又，所以， ， 又， 所以 因为，所以. 17. 如图，、是单位圆上的相异两定点（为圆心），且（为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点． （1）求（结果用表示）； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解； （2）设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，结合三角函数值域从而得解； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 当时，， ． 设，由条件知：， ∴ ， ∵，则， ∴，∴. 18. 设函数． （1）当时，求函数的最小值并求出对应的； （2）在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围． 【答案】（1）当时，函数取到最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数化简，得到，再利用函数的图像与性质即可求出结果. （2）利用（1）中条件求出角，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式和三角形任何两边之和大于第三边，即可求得周长的范围. 【小问1详解】 因为 ， 因为，所以， 由的图象与性质知，当，即时，函数取到最小值为， 即当时，函数的最小值为，此时． 【小问2详解】 因为，由（1）得到， ， 即，又在中，则， 所以，即， 又，由余弦定理，得到， 又由基本不等式知，，当且仅当取等号， 所以，则， 又因为，所以， 所以周长的取值范围为． 19. 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，将可化为进而根据题意得答案； （2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围 （3）由可求得时，f(x)取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【小问1详解】 解： ∴的“相伴向量”为. 【小问2详解】 解：由题知：. 可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且 ∵图像与有且仅有四个不同的交点　　　　 所以，实数k的取值范围为 【小问3详解】 解： 其中 ∴当即时，取得最大值. 此时 令，则由知：，解之得 ， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 从而 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期高一年级3月学情检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知两个向量，，若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 如图，在中，，，，边上的两条中线于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，若点是线段上的动点，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若为单位向量，则 B. 若，则 C. 两个非零向量，若，则 D. 若，则 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为1 C. 最大值是 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，共15分． 12. 已知平面内两向量，若，则的值为_____________． 13. 已知，且，则的值为_____________． 14. 如图，在中，，分别是直线上的点，，且，则_____________．若是线段上的一个动点，则的取值范围是_____________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，其中是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 16. 已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，、是单位圆上的相异两定点（为圆心），且（为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点． （1）求（结果用表示）； （2）若，求的取值范围． 18. 设函数． （1）当时，求函数的最小值并求出对应的； （2）在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围． 19. 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”. （1）设函数，求的“相伴向量”； （2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点M运动时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $