10.1 二元一次方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

知识回顾 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程叫作一元一次方程. 解一元一次方程的一般步骤： 去分母 去括号 移项 合并同类项 未知数的系数化为1 x＝c(c为常数) 一元一次方程的概念是什么？如何解一元一次方程？ 知识回顾 如何用一元一次方程解决实际问题？ 解：设鸡有x只. 根据题意，得 2x＋4(35－x)＝94. 解这个方程，得 x＝23. 35－x＝12. 答：鸡有23只，兔有12只. 这个问题有几个未知量？ 能不能设两个未知数呢？ 审→ 设→列→解→验→答 问题引入 项 目 只 数 足 数 鸡 兔 合计 35 94 2x 4y x y x＋y＝35 ① 2x＋4y＝94 ② 解：设鸡有x只，兔有y只. 填写下表，你可以发现哪些等量关系？ 上面方程中有几个未知数？如何解？ 你能列出几个关于x、y的方程？ 章节导读 10.1 二元一次方程 10.2 二元一次方程组的概念 10.3 解二元一次方程组 10.4 三元一次方程组 二元一次方程 的解的概念 二元一次方程的概念 二元一次方程 组的解的概念 二元一次方程组的概念 加减消元法 代入消元法 10.5 用二元一次方程组解决问题 解决问题的基本策略 解决问题的基本步骤 二元一次方程 的解法 三元一次方程的概念 10.1 二元一次方程 学习目标 1. 了解二元一次方程及二元一次方程的解的概念，会判断一对数值是否为某个二元一次方程的解； 2. 能利用二元一次方程表示实际问题中的数量关系，并能结合实际意义求解. 问题引入 问题中涉及哪些量，如果该球队赢x场，输y场，请你填写下表： 某市中学生篮球联赛积分规则规定：赢一场得2分，输一场得1分. 某球队本次联赛的目标是积20分，怎样描述该球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系？ 结果 场数 每场得分 积分 赢 输 x y 2 1 2x y 这些量存在哪些相等关系？可以用怎样的式子表达问题中的相等关系？ 20分 赢的场数×2＋输的场数×1＝ 问题引入 解：设该球队赢x场，输y场，则有 某市中学生篮球联赛积分规则规定：赢一场得2分，输一场得1分. 某球队本次联赛的目标是积20分，怎样描述该球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系？ 2x＋y＝20 x＋y＝35，2x＋4y＝94，2x＋y＝20，这几个方程有哪些共同的特点？ 归纳与总结 含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with twounknowns)． ① ② 是整式方程 二元一次方程必须满足三个条件 ③ 新知探究 解：设该球队赢x场，输y场，则有 某市中学生篮球联赛积分规则规定：赢一场得2分，输一场得1分. 某球队本次联赛的目标是积20分，怎样描述该球队恰好完成目标时的输赢场数与积分之间的关系？ x y 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 20 18 16 14 12 8 6 4 2 0 2x＋y＝20 你能列出该球队输赢场数的所有可能情况吗？ 列表讨论方程解的所有可能情况： 5 10 归纳与总结 满足二元一次方程的一对未知数的值叫作二元一次方程的一个解． 这对未知数的值能够使方程左右两边的值相等. 如x＝5，y＝10 是方程2x＋y＝20 的一个解，记作 一个二元一次方程通常有很多个解. 新知巩固 1. 下列哪些是二元一次方程？哪些不是？ (1)3a＋4b＝5； (2)2x＋x2＝0；(3)4x＋π＝7； (4)－4m－2n＝1； (5)3x＋＝1； (6)xy＝3； (7)3x－y； (8) x＋y＋z＝6. 解：(1)(4)是二元一次方程，(2)(3)(5)(6)(7)(8)不是二元一次方程． 新知巩固 2. 下面三对数值，哪几对是二元一次方程2x＋y＝3的解？哪几对是二元一次方程3x＝2－4y的解？ 解：是方程的2x＋y＝3的解， 是方程的3x＝2－4y的解. 例题讲解 例1 把方程3x＋2y＝12写成用含x的代数式表示y的形式，并写出方程的四个解. 解：∵3x＋2y＝12，2y＝12－3x， ∴y＝，即 y＝6－x. 当x＝0时，y＝6； 当x＝1时，y＝； 当x＝2时，y＝3； 当x＝3时，y＝； ∴是方程的四个解. 一变(形) 二定(值) 三试(值) 四写(值) 例题讲解 解：∵3x＋2y＝18，2y＝18－3x， ∴y＝，即 y＝9－x. 当x＝0时，y＝9； 当x＝2时，y＝6； 当x＝4时，y＝3； 当x＝6时，y＝0； ∴非负整数解为． 变式 已知二元一次方程3x＋2y＝18，写出此方程的非负整数解． 例题讲解 例2 在某次中学生环保知识竞赛中，规定抢答题答对一道得5分，必答题答对一道得3分，答错不扣分. 小明抢答题答对x道，必答题答对y道，得了20分. 请列出关于x，y的二元一次方程，并写出这个方程符合实际意义的解. 解：根据题意，得 5x＋3y＝20， 列表讨论方程解的可能情况： x y 0 1 2 3 4 5 0 因为x，y都是自然数，所以符合实际意义的解是 例题讲解 也可以把方程变形为x＝4－ ， 然后先确定y的值，再代入求出x的值，讨论方程解的情况. 例2 在某次中学生环保知识竞赛中，规定抢答题答对一道得5分，必答题答对一道得3分，答错不扣分. 小明抢答题答对x道，必答题答对y道，得了20分. 请列出关于x，y的二元一次方程，并写出这个方程符合实际意义的解. 解：根据题意，得 5x＋3y＝20. 变形，得 x＝4－ . ∵ x，y都是自然数， ∴ y是5的整数倍， ∴ y＝5时，， y＝0时，， 符合实际意义的解是 例题讲解 变式 某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，有几种购买方案？ 解：设：购买甲种奖品x件，乙种奖品y件， 4x＋3y＝48， 变形，得， ∵x≥1，y≥1且x，y都是正整数， ∴y是4的整数倍， ∴y＝4时，， y＝8时，， y＝12时，， ∴ 符合条件的解是 ∴有3种购买方案. 巩固练习 1. 二元一次方程x－y＝5的解有多少个？写出这个方程的三个解. 只要x比y大5，既可以是整数也可以是分数. 解：二元一次方程x－y＝5的解有无数个. 如. 巩固练习 2. 把下列方程写成用含y的代数式表示x的形式，并求方程的正整数解： (1) x＋3y＝7； (2) 32－4x＝3y. 解：(1) ∵ x＋3y＝7， ∴ x＝7－3y. 当y＝1时，x＝4； 当y＝2时，x＝1； ∴ 方程的正整数解为. 巩固练习 2. 把下列方程写成用含y的代数式表示x的形式，并求方程的正整数解： 解：(2)∵32－4x＝3y，4x＝32－3y ∴ x＝，即 x＝8－y . 当y＝4时，x＝5； 当y＝8时，x＝2； ∴方程的正整数解为． (1) x＋3y＝7； (2) 32－4x＝3y. 巩固练习 3. 小亮在一场篮球比赛中共得21分，其中罚球得3分. 怎样用二元一次方程描述他投中的两分球、三分球个数与得分之间的等量关系？他分别投中了几个两分球和三分球？ 解：设他分别投中了x个两分球，y个三分球， 根据题意，得2x＋3y＋3＝21．即2x＋3y＝18， 变形，得 x＝9－ . ∵x、y都是自然数， ∴ y是2的整数倍， 当y＝0时，x＝9；当y＝2时，x＝6；当y＝4时，x＝3；当y＝6时，x＝0； 方程的解为，，． 答：他投中了0个两分球，6个三分球或他投中了3个两分球，4个三分球或他投中了6个两分球， 2个三分球或他投中了9个两分球，0个三分球． 二元一次方程的概念 二元一次方程的特殊解 课堂总结 二元一次方程的解的概念 二元一次方程在实际问题中的应用 当堂检测 基础过关 1. 下列方程是二元一次方程的是 (　　) A．2x－y＝y B．xy＝－2 C．3x2－y＝5 D. ＝2 A 当堂检测 基础过关 2．下列各组是二元一次方程x＋3y＝14的解的是 (　　) A． B． C． D． A 当堂检测 基础过关 3．足球联赛积分规则如下：每胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．第20轮后（即每队均比了20场），甲球队的积分为25分，若设甲队胜了场，负了场，则与应满足的关系是 (　　) A．x＋y＝19 B．2x－y＝5 C．y－x＝3 D．3x＋y＝25 B 当堂检测 基础过关 4. 已知方程(a＋2)x＋(b－3)y＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的取值范围是________，b的取值范围是_______． a≠－2 b≠3 5．若是方程ax＋3y＝2的一个解，则a的值为 ． －4 当堂检测 基础过关 6．把3x－4y＝7改写：用含的式子表示，得y＝ ；用含y的式子表示x，得x＝ ． 7．关于、的二元一次方程2x＋y＝7的非负整数解有 组． 4 当堂检测 基础过关 8. 盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到一个红球得2分，摸到一个白球得3分. 小丽摸到x个红球，y个白球，共得12分. 列出关于x，y的方程，并写出这个方程符合实际意义的所有的解. 解：由题意得，2x＋3y＝12， 符合实际意义的所有的解为，，. 当堂检测 能力提升 1．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值是 (　　) A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 A 2．若是方程2x－3y＝2的解，则－4m＋5＋6n的值是 (　　) A．2 B．－ C．8 D．1 D 当堂检测 能力提升 3．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为 (　　) A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 C 当堂检测 能力提升 4．若某个二元一次方程的解为x＝3，y＝1，则这个方程是___________ ______________________． x＋y＝4 5．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有 种购买方案． 3 (答案不唯一) 当堂检测 能力提升 6．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，……都是方程的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可． 我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法： 当堂检测 能力提升 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：， 根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道 方程的正整数解为或． 问题：(1)若为非负整数，则满足条件的整数x的值有______个． (2)直接写出满足方程的正整数解___________． 6 当堂检测 能力提升 (3)若要把一根长为的绳子截成长为和两种规格的绳子若干段（两种规格都有），请你在不浪费材料的情况下，通过计算来设计几种不同的截法． (3) 解：设和两种规格的绳子分别为x段，y段， 由题意得，， ∴， ∵x、y都为正整数， ∴是正整数，∴x是4的倍数， ∴当，；当，， ∴共有2种截法，截法1：截成4段3m，5段4m的绳子；截法2：截成8段3m，2段4m的绳子． 2021 Blues 4800.0 $$