精品解析：江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025【金陵中学、海安中学】高一下3月考 一、单选题． 1. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，若，则（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 8. 已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的增区间是 C. D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若，为锐角，则实数m的取值范围是且 B. 若P为的垂心，．则 C. 点O在所在的平面内，若，分别表示，的面积，则 D. 点O在内，满足且，则点O是的重心． 三、填空题 12. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________. 13. 如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______. 14. 已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为______. 四、解答题 15. 如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，，，，. （1）求的值； （2）求与夹角的余弦值. 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知函数的部分图象如下图所示． （1）求解析式及单调减区间； （2）要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） （3）对于（2）中的函数，若对任意，有，求实数a的最小值． 18. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 19. 设平面内两个非零向量，夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： （1）已知向量满足，，，求的值； （2）①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025【金陵中学、海安中学】高一下3月考 一、单选题． 1. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数定义，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】依题意点的坐标为， 故选： 2. 已知向量，若，则（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出的坐标，根据向量垂直的坐标表示可解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：D 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角的变换，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】. 故选：C 4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可. 【详解】因为，所以， 又，，所以，得到， 所以， 设与的夹角为，则， 所以在上的投影向量为：， 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合诱导公式与同角三角函数的基本关系运算即可得. 【详解】由题意得，则， 故 . 故选：D. 6. 将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的，若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数图象的变换规律可得的解析式，结合x的取值范围利用正弦函数的性质，即可求得答案. 【详解】将正弦曲线向左平移个单位得到曲线：的图象， 再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线：的图象， 将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到是曲线：的图象， 由于曲线恰好是函数的图象，故， 由得， 故， 故选：B 7. 已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解. 【详解】因为函数图象过点，所以， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以，， 即且，， 则，， 因为，得， 因为，所以时，，则； 当时，， 综上，，即的最大值为. 故选：C. 8. 已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可求得，，令，则，从而可得点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，令， 则，然后结合图形可求出的最小值 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 如图，令，则，， 所以，， 因为，， 所以，即， 设，则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 令， 则， 所以当，且C，P，Q三点共线时，取最小值， 则， 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化向量的关系为图形的关系，数形结合即可得解. 二、多选题 9. 如图，在平行四边形中，为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图形利用向量的线性运算一一判断即可. 【详解】对A，由题意得，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：BCD 10. 若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的增区间是 C. D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合图象根据正弦函数的图象和性质逐项进行分析即可求解. 【详解】由图象可知：，，所以，则， 又因为函数图象过点，所以，则，所以， 又因为，所以，则函数解析式为：. 对于，函数的最小正周期，故选项正确； 对于，因为，令， 解得：， 所以函数的增区间是，故选项正确； 对于，因为函数的最小正周期，则， ，所以 ，故选项错误； 对于，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到，故选项正确， 故选：. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若，为锐角，则实数m的取值范围是且 B. 若P为的垂心，．则 C. 点O在所在的平面内，若，分别表示，的面积，则 D. 点O在内，满足且，则点O是的重心． 【答案】BC 【解析】 【分析】A.利用，与不共线即可求解；B. 为垂心，则，即可利用平面向量基本定理得到；C.利用奔驰定理即可；D.由 可知OA是的角平分线可得. 【详解】对于A，， 因为为锐角，故，与不共线，所以， 解得且，故A错误； 对于B，为的垂心，则，则，所以B正确； 对于C，因为，由奔驰定理，， 所以，故C正确； 对于D，由， 可得，所以OA是的角平分线，同理OC是的角平分线，所以点O是的内心，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12. “数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合圆的面积公式，列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，即, 即，解得（）, 故答案为： 13. 如图所示，边长为的正，以的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点在圆弧上运动，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接，以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】连接，因为为等边三角形，且为的中点，则， 以点为坐标原点，、所在直线别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，设点，其中， 则，， 所以，， 因为，则，所以，， 故. 因此，的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可求得答案. 【详解】若恒成立，则， 所以，即，又在区间上单调递增， 所以，故，， 解得，令得，又，所以， 令得；当时，，不合题意； 综上可得或. 故答案为：. 四、解答题 15. 如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，，，，. （1）求的值； （2）求与夹角的余弦值. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由已知条件得出为等边三角形，求出各边长，然后以BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得． （2）利用向量夹角的坐标表示可得． 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为，所以为等边三角形， 所以，， 在中，由得， 所以， 所以，. 以BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则， 因为E为DC的中点，所以， 所以， 所以 【小问2详解】 由（1）得，， 所以． 16. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）3； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由余弦二倍角公式及同角三角函数的商数关系，化简得，将代入即可求值； （2）根据同角三角函数关系，可求得，，结合余弦两角差公式，可得结果； （3）通过凑角，可得，结合同角三角函数关系及两角和差公式，可求得结果. 【小问1详解】 因为，又， 所以； 【小问2详解】 因为，，所以，， 所以； 【小问3详解】 因为，，所以， 又，所以，又， 所以 . 17. 已知函数的部分图象如下图所示． （1）求的解析式及单调减区间； （2）要得到的图象，需要将的图象作怎样的变换？（详细写出每步变换） （3）对于（2）中的函数，若对任意，有，求实数a的最小值． 【答案】（1），减区间为 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用图象可得出的值，求出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可得出的值，即可得出函数的解析式，然后利用正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）根据三角函数图象变换规律求解； （3）利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最小值和最大值，可得出，即可得解. 【小问1详解】 由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，可得， 因为，则，所以，，所以，， 因此，， 由解得， 所以，函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 继续将图象纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象， 最后将图象向上平移1个单位得到的图象； 【小问3详解】 当时，， 则，则， 对任意的、，， 则，故实数的最小值为. 18. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数 ； （ⅰ）求的值域. （ⅱ）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）或 【解析】 【分析】（1）根据向量共线可得，结合三角恒等变换分析求解； （2）根据数量积结合三角恒等变换整理可得.（ⅰ）换元设，可知，结合二次函数求值域；（ⅱ）结合（ⅰ）可知，设，结合向量的坐标运算分析求解. 【小问1详解】 因为，，且∥， 则， 即 整理得，所以. 【小问2详解】 因为，则，， 可得 设， 因为，则， 可得，， （ⅰ）设， 因为的图象开口向上，对称轴为， 由二次函数性质可得：， 所以的值域为； （ⅱ）当取最小值时，即，此时， 设，由题意可得，解得 或， 所以或 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： （1）已知向量满足，，，求的值； （2）①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）①，②7 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解. （2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解. （3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； 【小问2详解】 ①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 【小问3详解】 由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$