第07讲 三角形的综合问题（8个考点8个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

专题五 几何图形的性质与判定的综合问题 第07讲 三角形的综合问题 （思维导图+8考点+8种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、全等三角形的性质与判定 题型01、全等三角形的性质与判定的综合 考点二、等腰三角形的性质与判定 题型02、等腰三角形的性质与判定的综合题 考点三、相似三角形的性质与判定 题型03、相似三角形的性质与判定的综合 考点四、（尺规）作图背景下三角形 题型04、（尺规）作图背景下三角形性质应用 考点五、三角形背景下的轴对称问题 题型05、三角形背景下的轴对称问题 考点六、三角形背景的旋转问题 题型06、三角形背景的旋转问题 考点七、三角形背景下的平移问题 题型07、三角形背景下的平移问题 考点八、函数与三角形的综合问题 题型08、函数与三角形的综合问题 中考考点 新课标要求 命题预测 三角形 1、①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 ②探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ③证明三角形的任意两边之和大于第三边。 ④理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。 2、掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 ⑥掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 ②掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。 证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 @理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 @理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理： 直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 @探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 了解三角形重心的概念。能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主，常结合四边形综合考查. 等腰三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考 直角三角形在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，加是考察的重点出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、全等三角形的性质与判定的综合问题 题型01、全等三角形的性质与判定的综合问题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ）．    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    4．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 5．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结． (1)求的度数． (2)求证：． 6．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q． 求证： (1)； (2)是等边三角形 7．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)若，求的度数． 8．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 考点二、等腰三角形的性质与判定的综合问题 题型02、等腰三角形的性质与判定的综合问题 9．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    10．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    11．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件． 12．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 13．（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 14．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为   ) A．2 B． C．3 D． 15．（2024·浙江·模拟预测）如图，在等边中，过点A作，在射线上取一点P，连接和．设的最大值为a，最小值为b，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 16．（2025·浙江宁波·一模）如图， 在 中， 于点 ， 则 的面积为 . 17．（19-20八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，在上取点使得，连结，过点作，垂足为，延长交于点，连结． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，，求的长． 19．（2021·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，于D，作于E，F是中点，连交于点G． (1)求证：； (2)若，求的值． 20．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设． (1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：． 21．（2022·浙江宁波·一模）如图，中，，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结． (1)如图1，当点在线段上时， ①求证：； ②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)当为等腰三角形时，求的值． 22．（2018·陕西西安·一模）如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，求证 (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，求的长． 23．（2024·浙江绍兴·二模）如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，． (1)特例探索：如图，若，求的度数； (2)类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明． 考点三、相似三角形的性质与判定的综合问题 题型03、相似三角形的性质与判定的综合问题 24．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 25．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 26．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．    （1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ． （2）若，则 ． 27．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：______，______； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 28．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”． (1)你赞同他的作法吗？请说明理由． (2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造DPE，使得DPE∽CPB． ①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数． ②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由． 29．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 30．（2025·浙江宁波·一模）如图， 在中，， ， ， 点N是边上的一点， 且 ，点M是边上一个动点，连接，以为直角边，点M为直角顶点，在的左侧作等腰直角三角形，则的最小值是 （ ） A． B． C． D． 31．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，，高线的长为，腰上的中线的长为，过作于点，则之间的数量关系式为（    ） A． B． C． D． 32．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 33．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ． 34．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ． (1)求 的值； (2)连接 ，若 ，，求的值． 35．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 36．（2018·浙江杭州·一模）如图，在中，是角平分线，点E在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 37．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的中线，作于，作交于． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 38．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，为中边上两点，过作交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 考点四、（尺规）作图背景下三角形性质综合应用 题型04、（尺规）作图背景下三角形性质综合应用 39．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 41．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 42．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 43．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 44．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以点A为圆心，长为半径作弧交于点与相交于点，则的值为(     ) A． B． C． D． 45．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹． (2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹． 46．（2024·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合． (1)在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边上，且与互相平分； (2)在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边上，且要求分为两部分． 47．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，于D． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连结，判断和的数量关系，并说明理由． 48．（2023·浙江温州·一模）如图，在8×8的方格纸中，，为格点，的顶点均在格点上，请按要求画图．（注：图1，图2在答题卷上．） (1)在图1中画出平移后的格点三角形，使得点的对应点是线段的中点． (2)在图2中画出平移后的格点，点，，的对应点分别是点，，，满足以下两个条件： ①直线经过线段的一个端点； ②三个顶点均不落在线段上． 49．（2024·浙江台州·模拟预测）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．    (1)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的． (2)点D为边与网格线的交点，试用无刻度的直尺找出点D关于对称的对称点． 50．（2024·浙江·一模）如图，将线段绕点B旋转至，点D恰好落在射线上，分别以点为圆心，大于线段的一半长为半径画弧，过两弧的交点作直线交射线于点E，连结，量得，则的度数是 ． 五、 考点五、三角形背景下的轴对称问题 题型05、三角形背景下的轴对称问题 51．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 52．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    53．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 54．（2024·浙江·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（   ） A． B．5 C． D． 55．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿，折叠，顶点，，，的对应点分别为，，，，点与重合，点恰与，的交点重合．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 56．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 57．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，连接，将沿翻折，点C的对应点落在平面内，连接．若，则的面积为 ． 58．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ． 59．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是 60．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ． 61．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．    (1)依题意补全如图； (2)若，求； (3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 62．（16-17八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)三角形的面积为 ； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出 个三角形与全等； (4)在直线上找一点P，使PCB的周长最短（在图中作出点P）． 考点六、三角形背景的旋转问题 题型06、三角形背景的旋转问题 63．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．    64．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转，点A的对应点D正好在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 65．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 66．（2023·浙江宁波·三模）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 67．（2024·浙江温州·三模）如图，为等腰直角三角形，，将其绕顶点C逆时针旋转，得到，连接、，则（    ） A． B． C． D． 68．（2024·浙江宁波·二模）如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 69．（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 70．（23-24九年级上·北京西城·期中）在中，，．将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点间的距离记为，点间的距离记为．给出下面四个结论：①的值一直变大；②的值先变小再变大；③当时，的值保持不变；④当，的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 71．（2024·浙江·二模）如图，在等腰中，，，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转，交斜边于点．则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为 ． 72．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，是上一点，连结，将绕点逆时针旋转至，连结，交于，交于点． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 73．（2024·浙江杭州·模拟预测）在中，是斜边上的一点，将线段绕点旋转至位置，点C，D在直线的同一侧． (1)当M是的中点时，连接． ①如图1，求的大小； ②如图2，已知点D和边上的点E满足，连接．求证：． (2)如图3，当时，在线段取一点G，连接并延长交的延长线于点F，当四边形是平行四边形时，若的面积为8，，求平行四边形的面积． 74．（23-24八年级下·广东佛山·期中）综合与实践 如图1是实验室中的一种机械装置，在地面上，所在等腰直角三角形是固定支架，机械臂可以绕点A旋转，同时机械臂可以绕点D旋转，已知，，． (1)如图2，把机械臂顺时针旋转，点D旋转到点E处，连结，当， ①连接，探究与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当时，求的长 (2)如图3，机械臂A、D、M三点共线，，此时机械臂顺时针旋转，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架的长． 75．（2024·浙江杭州·三模）综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，在9×9的方格纸中，每个小方格的边长为1．为格点三角形（顶点都在格点上），将绕点B顺时针旋转90°得到，点A与点D对应，点C与点E对应． ①请在方格纸中按要求画出经过旋转后的图形． ②求点C旋转到点E所经过的路程．（结果保留π） 【深入探究】 （2）如图2，中，点C在右侧，，将绕点B顺时针旋转90°得到，连接AD．已知．求的值．（用含有k的代数式表示） 三角形背景下的平移问题 考点七、三角形背景下的平移问题 题型07、三角形背景下的平移问题 76．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm 77．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．      (1)在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形． (2)在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 78．（2024·浙江台州·二模）如图，将三角形沿方向平移得到，使，与交于点，以下关于四边形和四边形周长的说法，正确的是(    ) A．周长之差可由值确定 B．周长之和可由值确定 C．周长之差可由值确定 D．周长之和可由值确定 79．（2024·浙江温州·二模）如图，在的方格纸中，已知格点和格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中，画出平移后的图形，使为其中一边的中点． (2)在图2中，画出与成中心对称的图形，使为其中的一个顶点． 80．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出两次平移后的， 并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（）的条件下，求旋转过程中点所经过的路径长．（结果保留） 81．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题情境】 在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片，其中，．如图2，将矩形纸片沿对角线剪开，得到纸片与． 【实践探究】 （1）将纸片沿方向平移，连结（与相交于点O），，，得到图3所示的图形．若，解答下列问题： ①求证：． ②求出平移的距离． 【拓展延伸】 （2）如图4，先将纸片沿方向平移一定距离，然后将纸片绕点顺时针旋转，使，若此时恰好经过点C，求出平移的距离． 考点八、函数与三角形的综合问题 题型08、函数与三角形的综合问题 82．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． (1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线． (2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”． (3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 83．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 84．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为 ． 85．（2024·浙江温州·二模）已知反比例函数与一次函数（，，b是常数，，）的图象交于点，． (1)求函数和的表达式； (2)若点P是反比例函数图象上一点，将点P先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得点M，点M恰好落在一次函数图象上，求点P的坐标． 86．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 87．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点，且 (1)当时，求点A和点B的坐标； (2)将点C先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得点D，若点D恰好落在该二次函数的图象上，求n的值； (3)当时，n的最大值为5，n的最小值是，直接写出a的取值范围． 88．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，且、满足 ． (1)求、两点的坐标； (2)如图2，点在线段上（不与端点、重合），点在线段上（不与端点、重合），连，过作的垂线交于，若 ，设点横坐标为，求点横坐标（用含的代数式表示）． (3)如图3，在（2）的条件下，连，点是中点，，交于点，连，若 ，求的长． 试卷第26页，共132页 4 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题五 几何图形的性质与判定的综合问题 第07讲 三角形的综合问题 （思维导图+8考点+8种题型） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、全等三角形的性质与判定 题型01、全等三角形的性质与判定的综合 考点二、等腰三角形的性质与判定 题型02、等腰三角形的性质与判定的综合题 考点三、相似三角形的性质与判定 题型03、相似三角形的性质与判定的综合 考点四、（尺规）作图背景下三角形 题型04、（尺规）作图背景下三角形性质应用 考点五、三角形背景下的轴对称问题 题型05、三角形背景下的轴对称问题 考点六、三角形背景的旋转问题 题型06、三角形背景的旋转问题 考点七、三角形背景下的平移问题 题型07、三角形背景下的平移问题 考点八、函数与三角形的综合问题 题型08、函数与三角形的综合问题 中考考点 新课标要求 命题预测 三角形 1、①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。 ②探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ③证明三角形的任意两边之和大于第三边。 ④理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。 2、掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 ⑥掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 ②掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。 证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 @理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 @理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。 理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理： 直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 @探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 了解三角形重心的概念。能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。 在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主，常结合四边形综合考查. 等腰三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的.而数学中考中，等腰三角形单独出题的可能性还是比较大的，多以选择填空题型出现，但是因为等腰三角形可以放在很多模型，所以等腰三角形结合其他考点出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考 直角三角形在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，加是考察的重点出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向。 02知识导图·思维引航 03核心精讲·题型突破 考点一、全等三角形的性质与判定的综合问题 题型01、全等三角形的性质与判定的综合问题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，由，，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，求出的长度以及证明全等找出，设，则，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出x以及的值，此题得解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，如图所示： 过点A作于点N，如图， ∵，， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的方程是解题的关键． 2．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ）．    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故B是真命题； 若，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C是真命题； 若，则在和中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或 【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定． 【详解】解：∵在与中，，， ∴添加，则； 或添加，则； 或添加，则； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 5．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，，过点A作，垂足为D，延长至E．使得．在边上截取，连结． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理： （1）由三角形外角的性质可得出答案； （2）证明，得出． 【详解】（1）解：∵． ∴． ∵， ∴； （2）证明：在中，，， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 6．（2025·浙江杭州·一模）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q． 求证： (1)； (2)是等边三角形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过等边三角形的性质找出三角形全等的条件． （1）由等边三角形的性质得，， 由等式性质推出，从而证明出，根据全等三角形的对应边相等得； （2）由全等三角形的对应角相等得，根据平角定义可推出，从而证明，根据全等三角形的对应边相等得，从而根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形可得结论． 【详解】（1）证明：，是等边三角形， ， ，即， ， ； （2）证明：， ， ， ， 在和中， ， ， 又， 是等边三角形． 7．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，射线平分，交于点E，点F在边的延长线上，，连接． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)为 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：射线平分， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，过点作，在上截取，上截取，连接，． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由，根据全等三角形的对应角相等证明，然后利用勾股定理即可解决问题． 此题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ． 考点二、等腰三角形的性质与判定的综合问题 题型02、等腰三角形的性质与判定的综合问题 9．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 10．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    【答案】4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 11．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上 填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理． 12．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，最后根据条件可知是的中位线，求得的长． 【详解】解，∵，于点D， ∴．                     ∵， ∴．                             ∵于点D， ∴， ∴在中，．     ∵， ∴，         ∵E为AB的中点， ∴． 【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 13．（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．    (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的． (2)将图2中的格点绕点C按顺时针方向旋转，画出经旋转后的． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）确定A，B旋转后的对应点，而C的对应点是其本身，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，，即为所求作的三角形；    （2）如图，即为所求作的三角形，    【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键． 14．（2024·浙江宁波·一模）如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为   ) A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：C． 15．（2024·浙江·模拟预测）如图，在等边中，过点A作，在射线上取一点P，连接和．设的最大值为a，最小值为b，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作交延长线与S，过点B作，过点C作的垂线交于R，取中点T，连接，先由等边三角形的性质可设，，解直角三角形得到，证明，得到，由直角三角形的性质可设，则，由勾股定理得到；根据，可得，则的最大值为；证明（大角对大边），得到只有点P与点A重合时，有最小值，最小值为1，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线与S，过点B作，过点C作的垂线交于R，取中点T，连接， ∵是等边三角形， ∴可设，， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 设，则， ∴； ∵， ∴， ∴的最大值为； ∵，且点P在射线上， ∴， ∴， ∴（大角对大边）， ∴只有点P与点A重合时，有最小值，最小值为1， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形求出最大值和最小值的情形是解题的关键． 16．（2025·浙江宁波·一模）如图， 在 中， 于点 ， 则 的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．易得，勾股定理求出，利用求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：． 17．（19-20八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E． (1)过点E作交于点F，求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解答 (2)的度数是 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． （1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证； （2）易得，根据三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，D是边上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数是． 18．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，在上取点使得，连结，过点作，垂足为，延长交于点，连结． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明出垂直平分，然后得到，进而求解即可； （2）首先证明出，然后得到，过作于，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 垂直平分， ∴为等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 过作于， ∴， ， ， ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，含角的直角三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 19．（2021·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，于D，作于E，F是中点，连交于点G． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）只要证明，可得，推出即可解决问题； （2）利用直角三角形斜边中线定理求出，题根据，可得，由此可得，题利用第一问的结论，即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵于，作于， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 20．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设． (1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理， （1）根据等腰三角形的性质可得，设，，解出方程组，即可求解； （2）延长，交于点F，过点A作于点E．根据，可得 ．再由等腰三角形的性质可得    ，从而得到，，进而得到，然后根据角平分线的性质定理，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴． 设，，则 解得：， 即； （2）解：如图，延长，交于点F，过点A作于点E． ∵，． ∴． 又∵， ∴     ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 21．（2022·浙江宁波·一模）如图，中，，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结． (1)如图1，当点在线段上时， ①求证：； ②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由； (2)当为等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2)1或3 【分析】（1）①推导角度关系可得，结合即可得出结论． ②由①中相似可得，结合即可得出结论． （2）点可能在线段上或者线段的延长线上，分两种情况讨论，结合（1）中的相似三角形即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时， ∵，为钝角， ∴为等腰三角形时有， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图：连接，， ∵， ∴， 当为等腰三角形时，有为等边三角形， ∵，点是的中点， ∴， 设， 在中，，， ∴，， 设，则， 由（1）得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 综上，的值为1或3． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22．（2018·陕西西安·一模）如图，在中，，，是等边三角形，点在边上． (1)如图1，当点在边上时，求证 (2)如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明； (3)如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，从而得出，从而得出； （2）取的中点，连接、，根据和为等边三角形，从而得出和全等，然后得出和全等，从而得出答案； （3）取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图：取的中点，连接、、， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得：，即． 23．（2024·浙江绍兴·二模）如图，锐角中，，点在上，交于点E，连接，． (1)特例探索：如图，若，求的度数； (2)类比迁移：如图，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)拓展提升：在图中，猜想与的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（）首先证明是等边三角形，由得到，从而求解； （）由，，得，再根据三角形内角和与直角三角形的性质即可求解； （）在上截，连接，则，再根据等腰三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴是等边三角形, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图，在上截，连接， ∵ ∴ 则， 由（）知， ∴， ∴， 又∵， ∴． 考点三、相似三角形的性质与判定的综合问题 题型03、相似三角形的性质与判定的综合问题 24．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接，   点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 25．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 26．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．    （1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ． （2）若，则 ． 【答案】 9 / 【分析】（1）在图1中，过作于，由，可得，，故，而的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为； （2）标识字母如图，设，证明，可得，由，有，即，可得或，而，，即可得到答案． 【详解】（1）在图1中，过作于，如图：   ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， 的面积为16， ， ， ， 纸片Ⅲ的面积为； 故答案为：9； （2）如图：   ， ， 设，则，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 解得或， 当时，，这情况不符合题意，舍去； 当时，， 而，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理． 27．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：______，______； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为； ； （2）解：． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，， ， ，． ∴ ． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． 28．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”． (1)你赞同他的作法吗？请说明理由． (2)小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造DPE，使得DPE∽CPB． ①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数． ②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由． 【答案】(1)赞同，理由见解析， (2)①，②点N是线段ME的“趣点”，理由见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明 再利用 从而可得结论； （2）①由题意可得： 再求解 证明 从而可得答案；②先证明可得 再证明 从而可得结论． 【详解】（1）证明：赞同，理由如下： 等腰直角三角形ABC， ∴点P为线段AB的“趣点”． （2）①由题意可得： DPE∽CPB，D，A重合， ②点N是线段ME的“趣点”，理由如下： 当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD）， 而 同理可得： 点N是线段ME的“趣点”． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，理解新定义的含义，掌握特殊的几何图形的性质是解本题的关键． 29．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 30．（2025·浙江宁波·一模）如图， 在中，， ， ， 点N是边上的一点， 且 ，点M是边上一个动点，连接，以为直角边，点M为直角顶点，在的左侧作等腰直角三角形，则的最小值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，在的下方作等腰直角，作射线，交的延长线于．证明，可得，，证明在射线上，可得当时，最短，再进一步求解即可. 【详解】解：∵， ， ， 点N是边上的一点， 且 ， ∴，，， 如图，在的下方作等腰直角，作射线，交的延长线于． ∴，， ∵等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在射线上， ∴当时，最短， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 31．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，中，，，高线的长为，腰上的中线的长为，过作于点，则之间的数量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，，得到，利用相似三角形的性质得到，在中，用勾股定理即可求解． 【详解】∵， ∴ ∴ ∴ ∵腰上的中线为 ∴ ∵，， ∴是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴在中，，即， 整理得： 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，垂线的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，证出是解题关键． 32．（2024·浙江·模拟预测）如图，D是的边上一点，且，过点D作，交于点E，取线段的中点F，连接．若，则中边上的中线长为（   ） A．2 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 证明出，得到，即可求解． 【详解】解：取中点为H，连接，则为边上的中线， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵线段的中点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 33．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形相似问题，利用三角形中位线性质与平行线的性质得到相似三角形是解题关键．根据题意得，和，可证，有，由得，设，则，，即可求得比值． 【详解】解：∵、是的中线，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴． 故答案为：． 34．（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ，是的三等分点且靠近点， 是的中点，过点作交延长线于点 ． (1)求 的值； (2)连接 ，若 ，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （）作交于点，则，所以，而，求得，再证明，得，所以的值为； （）连接，由，，得，，由，得，而，所以，可证明，得 ，则，，再证明，得 ，所以，则，所以，，求得 ； 【详解】（1）解：作交于点， ∵是的三等分点且靠近点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为； （2）解：连接， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都是正数， ∴， ∴，， ∴， ∴的值为． 35．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，过点作，垂足为． (1)若，，，求的长； (2)连接，若，且，，求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明即可求解； （）由得到，求得，利用勾股定理可得，再证明即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．（2018·浙江杭州·一模）如图，在中，是角平分线，点E在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理： （1）根据是的角平分线可得出，由可得出，进而即可证出； （2）由可得出，根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，结合公共角相等可得出，再利用相似三角形的性质即可求出的长度即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在中，，是的中线，作于，作交于． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用直角三角形的斜边上的中线的性质，相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质求得三角形 的三边，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质求得的长；再利用相似三角形的判定与性质求得即可． 【详解】（1）证明：，是的中线， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ． 由（1）知：， ， ， ，． ，是的中线， ； ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 38．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，为中边上两点，过作交的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，再根据“角边角”的判定方法即可求解； （2）根据题意可证，可得，由（1）可得，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 考点四、（尺规）作图背景下三角形性质综合应用 题型04、（尺规）作图背景下三角形性质综合应用 39．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【详解】根据题中所给的作图步骤可知， 是的角平分线，即． 当时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 41．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，已知，根据尺规作图痕迹，能得出的是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的作法等知识点，读懂图象信息、灵活运用相关知识是解题的关键． ①由基本作图可知；②利用全等三角形的性质证明即可；③利用等腰直角三角形的性质证明即可． 【详解】解：如图①中，由作图可知平分， ∵， ∴； 如图②中，由作图可知， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由于， 则， ∴； 如图③中，由作图可知是等腰直角三角形，可以推出． 综上，①②③能得出； 故选：D． 42．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，尺规作图−作一个角等于已知角；尺规作图−作角的平分线；尺规作图−垂直平分线，痕迹为作等角判断A，痕迹为等腰与角平分线角度转换判断B，同理进行角度转换判断C，利用圆的对称性及垂直平分线的性质检验D． 【详解】解：对于A，根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，符合题意； 对于B，此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，符合题意； 对于C，以P为圆心为半径，交于点C、交延长线于点D，此时，再分别以C和D为圆心作出角平分线， 故，易得，即同位角相等，两直线平行，符合题意； 对于D，以C为圆心，为半径作弧交于点D，即有，再分别以D和P为圆心作出线段的垂直平分线交弧于点G，易得，但无法证明此时，即无法得证菱形，故无法证明平行，不符合题意 故选：D． 43．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在中，．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结．则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，由此即可判断选项B；先假设可得，再根据角的和差可得，从而可得，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的判定可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，最后根据等量代换即可判断选项D． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ，则选项A正确； ， ， ，， ，， ，， ， ，则选项B正确； 假设， ， 又， ， ，与矛盾， 则假设不成立，选项C错误； ，， ， 在和中，， ， ，即， ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键． 44．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点为的中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以点A为圆心，长为半径作弧交于点与相交于点，则的值为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，延长，交于点，设，则，先计算出，则表示出，由平行得到，利用比例式求出比值． 【详解】解：延长，交于点， 矩形， ，，，， ，为中点， 设， 则， 在 中，， 由题意得：， 则， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 45．（2025·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上． (1)在的边上找到一点D， 连接， 使得的面积与的面积之比为，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹． (2)在网格中找到一个格点E（E点不同于A、B、C） ， 连接、， 使得 ，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图痕迹． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求； （2）取格点，满足，则即为所求， 【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； 理由：∵， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比为． （2）解：如图，格点即为所求， 理由：连接并延长，为上点， ∵， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是无刻度的直尺作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的性质，熟练的作图是解本题的关键． 46．（2024·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合． (1)在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边上，且与互相平分； (2)在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边上，且要求分为两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握平行四边形和相似三角形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的对角线互相平分作图； （2）根据网格线是平行的得出相似三角形，再利用相似三角形的性质作图． 【详解】（1）解：如下图：线段即为所求； 如图：根据勾股定理可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：如下图1，2，3：线段、、即为所求． 如图： ， ， ， ∴点、、为的三等分点， ∴点、为的三点等分点， 过的三等分点画出即可． 如图1，2，3：、、即为所求． 47．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，于D． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连结，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图：作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是关键． （1）按作线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可； （2）由等腰三角形的性质知，A点在线段的垂直平分线上，则，由垂直平分线的性质，则，由三角形外角的性质得． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线如下图所示； （2）解：； 理由如下： 是线段的垂直平分线， ，， ， A点在线段的垂直平分线上， ，， ， ； ， ， 由三角形外角的性质得． 48．（2023·浙江温州·一模）如图，在8×8的方格纸中，，为格点，的顶点均在格点上，请按要求画图．（注：图1，图2在答题卷上．） (1)在图1中画出平移后的格点三角形，使得点的对应点是线段的中点． (2)在图2中画出平移后的格点，点，，的对应点分别是点，，，满足以下两个条件： ①直线经过线段的一个端点； ②三个顶点均不落在线段上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先在线段上找到其中点，观察并确定点与点平移的方向和距离即可作图； （2）由平移性质结合两个要求可知线段在过点（或点）且平行的直线上，除去点（或点）的格点即可． 【详解】（1）解：在线段上找到其中点，通过观察发现，将向右平移4个单位长度即可使得点的对应点是线段的中点， 如图，即为所求． （2）由平移的性质可知，， ∵直线经过线段的一个端点， ∴线段在过点（或点）且平行的直线上， ∵三个顶点均不落在线段上， ∴在过点（或）且平行的直线上找除去点（或点）的格点即可； 如图，即为所求． 【点睛】本题考查平移作图，熟练掌握平移的性质是解决问题的关键． 49．（2024·浙江台州·模拟预测）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．    (1)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，画出平移后的． (2)点D为边与网格线的交点，试用无刻度的直尺找出点D关于对称的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平移作图，作轴对称图形，熟练掌握平移的性质与轴对称的性质是解题的关键． （1）利用平移性质作出点A、B、C的对应点、、．再顺次连接即可； （2）利用网格和轴对称的性质作出点C关于的对称点，再连接这点与点B，交格线的点即为所求点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，    （2）解：如图所示，点即为所求．    50．（2024·浙江·一模）如图，将线段绕点B旋转至，点D恰好落在射线上，分别以点为圆心，大于线段的一半长为半径画弧，过两弧的交点作直线交射线于点E，连结，量得，则的度数是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，旋转的性质，等腰三角形的性质，先证明，，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵由作图可得，在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 五、 考点五、三角形背景下的轴对称问题 题型05、三角形背景下的轴对称问题 51．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 52．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明，推出，即可求出的值． 【详解】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明． 53．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 【答案】 或 【分析】四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形，过点作于点，于点，延长交CA于点，把穿过圆洞的四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，利用锐角三角函数分别求出、、的长度，根据求出穿过圆洞的最大面积； 点与点重合，过点作，可得，利用相似三角形的性质把各边用含的代数式表示出来，再利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出的值，再利用勾股定理求出的长度； 当为直角三角形时，分两种情况：一种情况是当时，另一种情况是当时，分别利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如下图所示，四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形， 圆洞的最大直径为， ，，，， 过点作于点，于点，延长交CA于点， 则有， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 如下图所示，当时，点与点重合，过点作， ，点为的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：或(舍去)，            当时，，， ， ， 故答案为：；                            如下图所示，当时，  过点作，                                则有， ， ，， ， 过点作，则四边形为矩形，， ，，， 在中，， ， 解得：； 如下图所示，当时，，，， 点、、在一条线上，                                则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 综上所述当或时为直角三角．                                                                           【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形和全等三角形． 54．（2024·浙江·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，，由翻折得，，继而可得，则，故，因此，代入求解得，因此． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，， ∵点E为中点， ∴， 由翻折得，， ∴， 当点P与点D重合时，此时点F的位置如图， 当点F与点C重合时，长即为点P的运动路径长，如图， 此时，连接， ∵，， ∴， ∴，， 由翻折得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 55．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，把一张长方形纸片沿，折叠，顶点，，，的对应点分别为，，，，点与重合，点恰与，的交点重合．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，由折叠及矩形的性质得：，，，再证，得，又证四边形是矩形，得，进而利用勾股定理求得于是利用得求解即可得解。 【详解】解：过点作于点， 由题意得：，，， ， ， ∴ ， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴ 由折叠可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些知识是解题的关键． 56．（2024·浙江宁波·二模）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得A与重合，B与重合，若，则 ． 【答案】3 【分析】连接，依据勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出是等腰三角形；再根据平行线的性质得出与相等，进而得到是等腰三角形，即可得出的长． 【详解】解：如图所示，连接， 设，， 在中，，，， ， 中，是的中点， ， 又， ， ，即， ， 又， ， ∴， 又∵， ∴， ， 又， ， ，即， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，直角三角形斜边上中线，等腰三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 57．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，连接，将沿翻折，点C的对应点落在平面内，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质，连接，过A点作交延长线于M，由，可知，再由折叠可得，由，求出，则，求出，所以，即可求． 【详解】解：连接，过A点作交延长线于M， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 58．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题关键．分两种情况讨论，画出图形分别进行解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ∵点是的中点， ∴ 由翻折性质得，不可能为直角， 当是直角时，如图， 是直角，， ∴， ， ， 由翻折可知， ，， ， ， ； 当是直角时，如图， 连接、、，由翻折可知， ， ∴ ， ， ， ， ∴, ∵，， ∴， ， ， 又， ∴， ， ，延长交于，可得， ∵， ∴垂直平分， ， 在直角三角形中，由，， ∴ 得到， ． 在直角三角形中，， 将，代入①可得． 故答案为：或． 59．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，以为折痕，将折叠得到，与边相交于点．若 为直角三角形， 则的长是 【答案】2或5 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，根据题意和勾股定理得，以为折痕，将折叠得到，则，，分情况讨论问题：当时，过点作，垂足为F，设，则，，在中，由勾股定理得，，即可得，进行计算即可得，当时，点C与点E重合，根据，得，设，则，在中，根据勾股定理得，，可得，进行计算可得，即可得；掌握翻折的性质，勾股定理，能考虑到分情况讨论问题是解题的关键． 【详解】解：在中，，，，根据勾股定理得， ， ∵以为折痕，将折叠得到， ∴，， 如图1所示，当时，过点作，垂足为F， 设，则，， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ∴， 如图2所示，当时，点C与点E重合， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ∴， 综上，的长为2或5， 故答案为：2或5． 60．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，锐角三角函数等腰直角三角形的性质 ，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键. 先求出 ，由等腰直角三角形的性质可得由锐角三角函数可求的长，即可求解. 【详解】如图， 过点作于， ∵将沿着折痕翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 61．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．    (1)依题意补全如图； (2)若，求； (3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形； （2）由等腰三角形的性质和外角性质即可求解； （3）连接交于点，证明，过点作于点，设，，则，，根据勾股定理求出，在中，由勾股定理得出，代入相关数据得出，由，可得出结论． 【详解】（1）解：过点作直线的垂线，交于点，取点，使得，连接，交于点，连接，则点为点关于直线的对称点，图1为所求的图： （2）如图2：连接，    ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，连接交于点， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在与中， ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴， 过点作于点， 设，，则，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∵，， ∴ 62．（16-17八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)三角形的面积为 ； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出 个三角形与全等； (4)在直线上找一点P，使PCB的周长最短（在图中作出点P）． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)3 (4)见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可． （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． （3）根据全等三角形的判定作出图形即可． （4）连接交直线l于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解： （3）解：如图，以为边作与全等的三角形有3个． （4）解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 考点六、三角形背景的旋转问题 题型06、三角形背景的旋转问题 63．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．    【答案】 【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可． 【详解】解：如图1，过点G作于H，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∵是等腰直角三角形， ∴点在直线上， 连接，是旋转到的过程中任意位置， 则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积， ∵， ∴， ∴， 作于N，则， ∴， 过点B作交的延长线于M，则， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积， ， ， ， 故答案为：，．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键． 64．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，将线段绕着点C顺时针旋转，点A的对应点D正好在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边对等角以及三角形内角和可求，而，故． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和，外角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 65．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，已知点，A与关于y轴对称，连结，现将线段以点为中心顺时针旋转得，点 B的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转问题，坐标与图形．过点作轴于点C，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点，A与关于y轴对称， ∴， 如图，过点作轴于点C，    ∵将线段以点为中心顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点 B的对应点的坐标为． 故选：A 66．（2023·浙江宁波·三模）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到， ，， ． 故选：C． 67．（2024·浙江温州·三模）如图，为等腰直角三角形，，将其绕顶点C逆时针旋转，得到，连接、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，设，则，则，然后过点C作于点E，得到，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， 又∵，逆时针旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 过点C作于点E，则， ∴， ∴， ∴， 故选A． 68．（2024·浙江宁波·二模）如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先证，进而易得出，则点在以为直径的圆上运动，当与以为圆心，为半径的圆相切时，点到的距离最小，再解直角三角形求解即可得到答案． 【详解】解：设与交于点，如图所示： 由题易知， ， ， ， ， ， 点四点共圆，且为直径，设圆心为， 当与以为圆心，为半径的圆相切时，点到的距离最小， 过点作，过点作于点，如图所示： ， ， ， 与切于点， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ， ， ， ， ， ， 故选： C． 【点睛】本题主要考查动点最值-辅助圆问题，涉及旋转的性质、全等三角形得判定和性质、圆的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识处理辅助圆问题是解题的关键． 69．（17-18九年级下·全国·单元测试）如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用正方形性质和勾股定理求出的长，即的长，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴，， ∴，， 由旋转得：， ∴， 故答案为：． 70．（23-24九年级上·北京西城·期中）在中，，．将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点间的距离记为，点间的距离记为．给出下面四个结论：①的值一直变大；②的值先变小再变大；③当时，的值保持不变；④当，的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质，当时，的值由会逐渐变大，可判断①；而当时，可知的值先变小再变大，可判断②；当时，在上取点，使，连接，，证明，有，知，可判断③错误，④正确；掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，的值一直变大，故①正确； 当时，的值逐步变小；当时，；当时，的值逐步变大，故②正确； 当时，连接，如图， 由题意得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的值保持不变，故③错误； 当时，在上取点，使，连接，如图， 由题意得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的值保持不变，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 71．（2024·浙江·二模）如图，在等腰中，，，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转，交斜边于点．则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轨迹、相似三角形的判定和性质 、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 过点E作，再根据等腰三角形的性质得，再证明，，设，，得，整理方程得根据方程有解，得，求出y的最大值和最小值，得，根据再返回B点，即可得出结论。 【详解】过点E作， 等腰中，， 是等腰直角三角形， 且， ， ， ， 设，，则， ， ， 整理得∶ （关于x的方程有解） ， ，且， 令得， ， ，(舍去) ， 即y最小值为0，y最大值为， ， 最大值为 E点从B点出发运动至处，再 返回B点， E点运动路径为． 故答案为：． 72．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，，是上一点，连结，将绕点逆时针旋转至，连结，交于，交于点． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）过点作于点，证明，可得结论； （2）过点作于点，证明，，设，求出，，可得结论． 【详解】解：（1）如图，过点作于点． ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）当时，过点作于点． 同法可证，， ，，设，则， ，， ， ， ， ． 故答案为：； 【点睛】本题考查了作图－旋转变换，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 73．（2024·浙江杭州·模拟预测）在中，是斜边上的一点，将线段绕点旋转至位置，点C，D在直线的同一侧． (1)当M是的中点时，连接． ①如图1，求的大小； ②如图2，已知点D和边上的点E满足，连接．求证：． (2)如图3，当时，在线段取一点G，连接并延长交的延长线于点F，当四边形是平行四边形时，若的面积为8，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)①；②见解析 (2)8 【分析】（1）根据旋转的性质和线段中点的定义得到，根据等边对等角得到，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解；②延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）连接，设平行四边形的面积为S，则，由平行四边形的性质和平行线的性质可得，则，进而得到，，由，得到；证明，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1， ∵将线段绕点M旋转至位置， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②如图，延长，交于点，则，    ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，即， ∴，即点是斜边的中点． ∴． （2）解：如图3，连接，设平行四边形的面积为S， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴平行四边形的面积为8． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 74．（23-24八年级下·广东佛山·期中）综合与实践 如图1是实验室中的一种机械装置，在地面上，所在等腰直角三角形是固定支架，机械臂可以绕点A旋转，同时机械臂可以绕点D旋转，已知，，． (1)如图2，把机械臂顺时针旋转，点D旋转到点E处，连结，当， ①连接，探究与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②当时，求的长 (2)如图3，机械臂A、D、M三点共线，，此时机械臂顺时针旋转，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架的长． 【答案】(1)①，，理由见详解② (2) 【分析】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． （1）①连接，先证明，则，； ②根据勾股定理求即可． （2）过点N作,根据 所对的边等于斜边的一半可得构造勾股定，即可得出结论； 【详解】（1）①连接， 由旋转可知，，， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ∵ ②，， ， ， ，， ， ． （2）过点N作 ， ∵顺时针旋转 , ∵ ∵ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 75．（2024·浙江杭州·三模）综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，在9×9的方格纸中，每个小方格的边长为1．为格点三角形（顶点都在格点上），将绕点B顺时针旋转90°得到，点A与点D对应，点C与点E对应． ①请在方格纸中按要求画出经过旋转后的图形． ②求点C旋转到点E所经过的路程．（结果保留π） 【深入探究】 （2）如图2，中，点C在右侧，，将绕点B顺时针旋转90°得到，连接AD．已知．求的值．（用含有k的代数式表示） 【答案】（1）①见解析；②5π；（2） 【分析】本题考查旋转变换，旋转的性质，掌握旋转作图是解题的关键． （1）①根据旋转的性质作出点A的对应点点D，点C的对应点点E，然后连接即可解题； ②先根据勾股定理求出长，然后利用弧长公式计算即可； （2）延长交于M，过M作于F，得到是等腰直角三角形，然后设，，然后利用计算即可． 【详解】解：（1）①如图，即为所求； ②∵，， ∴点C旋转到点E所经过的路程； （2）如图，延长交于M，过M作于F， ∵， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转90°得到， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴设，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， ，， ， 三角形背景下的平移问题 考点七、三角形背景下的平移问题 题型07、三角形背景下的平移问题 76．（2022·浙江嘉兴·中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm 【答案】D 【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可． 【详解】解：由题意，BD=cm， 由平移性质得=1cm， ∴点D，之间的距离为==（）cm， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键． 77．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．      (1)在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形． (2)在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）底边长为即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰，然后根据中心旋转性质作出绕矩形的中心旋转180°后的图形． （2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可． 【详解】（1）（1）画法不唯一，如图1（ ，），或图2（）．    （2）画法不唯一，如图3或图4．    【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段． 78．（2024·浙江台州·二模）如图，将三角形沿方向平移得到，使，与交于点，以下关于四边形和四边形周长的说法，正确的是(    ) A．周长之差可由值确定 B．周长之和可由值确定 C．周长之差可由值确定 D．周长之和可由值确定 【答案】A 【分析】此题考查平移的性质，根据平移的性质分别表示出四边形和四边形周长，得出周长关系解答即可． 【详解】解：由平移可知，，，，， ， ，， 四边形和四边形周长之差 ， 四边形和四边形周长之和 ， 周长之差可由值确定， 故选：A． 79．（2024·浙江温州·二模）如图，在的方格纸中，已知格点和格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中，画出平移后的图形，使为其中一边的中点． (2)在图2中，画出与成中心对称的图形，使为其中的一个顶点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了作图一平移变换、旋转变换，熟记平移变换、旋转变换的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质结合网格特点即可作出图形； （2）根据中心对称的性质结合网格特点即可作出图形． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求； 80．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出两次平移后的， 并写出点的坐标； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（）的条件下，求旋转过程中点所经过的路径长．（结果保留） 【答案】(1)画图见解析，； (2)画图见解析，； (3)． 【分析】（）利用平移的性质作出对应点，然后连接即可； （）利用旋转的性质作出对应点，然后连接即可； （）用勾股定理求出，再利用弧长公式求解； 本题考查了平移，旋转，勾股定理和弧长公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求，； （2）解：如图， ∴即为所求，； （3）解：∵， ∴旋转过程中点所经过的路径长为：． 81．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题情境】 在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片，其中，．如图2，将矩形纸片沿对角线剪开，得到纸片与． 【实践探究】 （1）将纸片沿方向平移，连结（与相交于点O），，，得到图3所示的图形．若，解答下列问题： ①求证：． ②求出平移的距离． 【拓展延伸】 （2）如图4，先将纸片沿方向平移一定距离，然后将纸片绕点顺时针旋转，使，若此时恰好经过点C，求出平移的距离． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】（1）①先证明四边形是平行四边形，再根据得到是菱形，从而得证结论； ②根据勾股定理求出的长，利用的面积求出的长，进而根据勾股定理求出，从而求出，再根据线段的和差即可求解； （2）证明，得到，设，在中，根据勾股定理构造方程，求解得到的长，再根据线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）①∵四边形是矩形， ∴，． 由平移得，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴是菱形， ∴．     ②∵，， ∴在中，． ∵， ∴，即 ∴， ∴在中，， ∴在菱形中，． ∵， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． ∵在中，， 即，解得， ∴，     ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等角对等边，平移的性质，解题的关键是综合运用这些知识． 考点八、函数与三角形的综合问题 题型08、函数与三角形的综合问题 82．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． (1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线． (2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”． (3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识． （1）分别作，，垂足为E，F，利用证明，得到即可证明直线是点A、B的一条等距线； （2）根据两点等距线的定义作图，连接中点与组成的直线或者过作的平行线即可； （3）由可得A、B两点到直线的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）证明：分别过A，B两点作，垂足分别为E，F． ， 是的中点， ， 在和中， ， ， 即直线是点A，B的一条等距线； （2）如图，直线就是所有的直线， （3）设直线的解析式为， ， ∴解得： ∴直线的解析式为． ， 两点到直线的距离相等， ∴或过中点， 如图，当时，可设直线的解析式为，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与坐标轴的交点为； ②当直线过中点时， ， ∴中点E的坐标为， ∴设直线的函数解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式为， ∴直线与坐标轴的交点为． 综上所述，满足条件的点P的坐标为． 83．（2023·浙江温州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别为，，轴，，将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点），直线经过点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，坐标与图形变化平移．先根据勾股定理求出，再由平移的性质得出，把代入，求出，再把代入，解得，即可求出点的坐标． 【详解】解：点、的坐标分别为，， ， 轴，， ． 将沿轴向右平移，得到（A和，B和，C和分别是对应顶点）， ． 直线经过点， ，解得， 直线经过点， 把代入，解得， 点的坐标为． 故选：A． 84．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在直角坐标系中，，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据点在直线上，得，结合折叠性质，得，，，再运用两点距离公式列式，得出，，则，同理设，结合，故，解得，同理得，把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】解：过点作轴，如图所示： ∵点在直线上，过点作轴， ∴设点， ∵， ∴， ∵，是直线上一点，连结，沿着折叠，点的对应点为， ∴，， 则， ∴， 解得， ∴，； ∴， ∵是直线上一点， ∴设， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正比例函数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 85．（2024·浙江温州·二模）已知反比例函数与一次函数（，，b是常数，，）的图象交于点，． (1)求函数和的表达式； (2)若点P是反比例函数图象上一点，将点P先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得点M，点M恰好落在一次函数图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求出函数解析式，平移的性质，一次函数和反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数的表达式，将点代入，求得点，再将点A，B代入求解，即可解题； （2）设，则，根据点M恰好落在一次函数图象上，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 将点代入，得， 将点A，B代入， 得，解得， ； （2）解：设，则， 点M恰好落在一次函数图象上， ，得， 当时，， ． 86．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得：，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． （3）解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． 87．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点，且 (1)当时，求点A和点B的坐标； (2)将点C先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得点D，若点D恰好落在该二次函数的图象上，求n的值； (3)当时，n的最大值为5，n的最小值是，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化——平移，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可知，，关于抛物线的对称轴对称，故把代入解析式得到关于的方程，解方程即可求得点和点的坐标； （2）表示出点的坐标，然后把的坐标代入解析式，得到关于的方程组，解方程组即可； （3）把代入抛物线解析式求得对应的的值，然后根据二次函数的性质即可求得的取值范围． 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过，， ，，关于抛物线的对称轴对称， 当 时， 则 ，即， 解得 ； （2）将点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得点， ∵， ， ∵点在该二次函数的图象上， ，解得 ， ∴的值为 （3）当 时，的最大值为，的最小值是， ， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 把 代入 得 ， 解得： ∴当或5时，有最大值为， 当时，有最小值， ∴的取值范围是． 88．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图1，平面直角坐标系中，，且、满足 ． (1)求、两点的坐标； (2)如图2，点在线段上（不与端点、重合），点在线段上（不与端点、重合），连，过作的垂线交于，若 ，设点横坐标为，求点横坐标（用含的代数式表示）． (3)如图3，在（2）的条件下，连，点是中点，，交于点，连，若 ，求的长． 【答案】(1)， (2)点的横坐标为 (3) 【分析】（1）由条件可得，求出，的值，则，两点的坐标可求出； （2）过点作于点，证明，设，则，得出方程可求出，则点的横坐标可求出； （3）求出直线的解析式，由（2）可知，由可求出，则，则的长可求出． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， ，； （2）解：过点作于点， 点横坐标为，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， 即点的横坐标为； （3）解：，， 设直线的解析式为， ， 解得． 直线的解析式为， 由（2）可得， ，， ，， ， ， ， 解得（负值舍去）， 点是中点，， 是的中点， ，， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质、相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、待定系数法、两点间的距离等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 试卷第26页，共132页 4 / 134 学科网（北京）股份有限公司 $$