精品解析：2024年辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题

2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像的长（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. 3a﹣a=2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2 C. a（a+b）=a2+b D. 6ab2÷2ab=3b 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 若，则b取值范围是（   ） A. B. C. D. 7. 如图，等边内接于，已知的半径为2，则图中的阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 8. 抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 9. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数满足，且y随x增大而减小，则此函数的图像一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11. 已知关于x的方程x2﹣2x+n=1没有实数根，那么|2﹣n|﹣|1﹣n|的化简结果是_____． 12. 一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______． 13. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个． 14. 如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是_____平方米． 15 分解因式：_________． 16. 若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是_____． 17. 分解因式：=______． 三、解答题（共7小题，满分69分） 18. 如图，在中，，，． （1）在上求作一点P，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的长． 19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 20. 已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． 21. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 译文为： 现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？ 请解答上述问题． 22. 已知抛物线的开口向上顶点为P （1）若P点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式； （2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y的取值范围（用含a的代数式表示） （3）若a＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上点到x轴距离的最大值为6，求b的值 23. 为了加强学生的安全意识，我校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题： （1）A组的频数a比B组的频数b小24，则样本容量为 ，a为 ； （2）n ，E组所占比例为 ； （3）补全频数分布直方图； （4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有 名． 24. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届辽宁省沈阳市和平区中考二模数学试题 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像的长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可. 【详解】过O作直线OE⊥AB，交CD于F， ∵AB//CD， ∴OF⊥CD，OE=12，OF=2， ∴△OAB∽△OCD， ∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高， ∴，即， 解得：CD=1. 故选D. 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键. 2. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故选：B． 3. 一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里， ∴OM2+ON2=MN2， ∴∠MON=90°， ∵∠EOM=20°， ∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°． 故选C． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握方位角的定义及勾股定理逆定理是本题的解题关键． 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. 3a﹣a=2 B. （a﹣b）2=a2﹣b2 C. a（a+b）=a2+b D. 6ab2÷2ab=3b 【答案】D 【解析】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式=2a，不符合题意； B、原式=a2-2ab+b2，不符合题意； C、原式=a2+ab，不符合题意; D、原式=3b，符合题意； 故选D 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解． 先根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 6. 若，则b的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质：是解题的关键．利用二次根式的性质得出，再利用绝对值性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，等边内接于，已知的半径为2，则图中的阴影部分面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算．先求得，，据此求解即可． 【详解】解：连接，连接并延长交于H，则． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，则， 由圆周角定理得，， ∴图中的阴影部分面积． 故选A． 8. 抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少， 故选A． 【点睛】本题主要考查统计有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键. 9. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可． 【详解】解：与只有符号不同， 所以的相反数是， 故选：C． 10. 一次函数满足，且y随x的增大而减小，则此函数的图像一定不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】y随x的增大而减小，可得一次函数y=kx+b单调递减，k＜0，又满足kb<0，可得b>0，由此即可得出答案． 【详解】∵y随x的增大而减小，∴一次函数y=kx+b单调递减， ∴k＜0， ∵kb<0， ∴b>0， ∴直线经过第二、一、四象限，不经过第三象限， 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象和性质是解题的关键. 二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11. 已知关于x的方程x2﹣2x+n=1没有实数根，那么|2﹣n|﹣|1﹣n|的化简结果是_____． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0，求出n＞2，再去绝对值符号，即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2−2x+n=1没有实数根， ∴b2-4ac=（-2）2-4×1×（n-1）=-4n+8＜0， ∴n＞2， ∴|2−n |-│1-n│=n-2-n+1=-1 故答案为-1. 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是根据根与系数的关系求出n的取值范围再去绝对值求解即可. 12. 一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为______． 【答案】55cm2 【解析】 【分析】由正视图和左视图判断出圆锥的半径和母线长，然后根据圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】由三视图可知，半径为5cm,圆锥母线长为6cm, ∴表面积=π×5×6+π×52=55πcm2， 故答案为: 55πcm2. 【点睛】本题考查了圆锥的计算,由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键，本题体现了数形结合的数学思想.如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的表面积=πrl+πr2. 13. 为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买_____个． 【答案】16 【解析】 【分析】设购买篮球x个，则购买足球个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过3000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可． 【详解】设购买篮球x个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得：． 为整数， 最大值为16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式． 14. 如图，一根长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是_____平方米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题结合实际问题考查了扇形面积的计算方法，解题关键是弄清小羊活动的范围是哪些图形． 小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为和一个半径为1、圆心角为的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 【详解】解：如图．， 小羊的活动范围是：（平方米） 故答案为． 15. 分解因式：_________． 【答案】y（x+1）（x﹣1） 【解析】 【分析】利用提公因式及平方差公式进行因式分解． 【详解】解：x2y﹣y=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）， 故答案为y（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法与公式法的综合运用． 16. 若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】（﹣7，0） 【解析】 【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案． 【详解】∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2， 故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）． 故答案为（-7，0）． 【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 17. 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 三、解答题（共7小题，满分69分） 18. 如图，在中，，，． （1）在上求作一点P，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用； （1）作的垂直平分线与相交于P即可； （2）设，则，可得，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示， ∴， ∴, ∴点P即为所求． 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）中作图知， 在中， ∴， 解得：， ∴． 19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】-7＜≤1.数轴见解析. 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得≤1， 解不等式②，得＞-7， ∴不等式组的解集为-7＜≤1． 在数轴上表示不等式组的解集为 故答案为-7＜≤1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了“的原则是解此题的关键． 20. 已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． 【答案】解：（1）证明见解析； （2）⊙O的半径是7.5cm 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线． （2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径． 【详解】（1）证明：连接OD． ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵∠OAD=∠DAE， ∴∠ODA=∠DAE． ∴DO∥MN． ∵DE⊥MN， ∴∠ODE=∠DEM=90°． 即OD⊥DE． ∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3， ∴． 连接CD． ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠AED=90°． ∵∠CAD=∠DAE， ∴△ACD∽△ADE． ∴． ∴． 则AC=15（cm）． ∴⊙O的半径是7.5cm． 【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作出相应的辅助线. 21. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 译文为： 现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？ 请解答上述问题． 【答案】共有7人，这个物品的价格是53元 【解析】 【分析】根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程. 【详解】解：设共有x人，这个物品的价格是y元， 解得 答：共有7人，这个物品的价格是53元. 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程. 22. 已知抛物线的开口向上顶点为P （1）若P点坐标为（4，一1），求抛物线的解析式； （2）若此抛物线经过（4，一1），当－1≤x≤2时，求y的取值范围（用含a的代数式表示） （3）若a＝1，且当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6，求b的值 【答案】（1）；（2）1－4a≤y≤4＋5a；（3）b＝2或－10. 【解析】 【分析】（1）将P（4，-1）代入，可求出解析式 （2）将（4，-1）代入求得：b=-4a-1，再代入对称轴直线 中，可判断，且开口向上，所以y随x的增大而减小，再把x=-1，x=2代入即可求得． （3）观察图象可得，当0≤x≤1时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为6，这些点可能为x=0，x=1，三种情况，再根据对称轴在不同位置进行讨论即可． 【详解】解：（1）由此抛物线顶点为P（4，-1）， 所以y＝a（x-4）2-1＝ax2－8ax＋16a－1，即16a－1＝3，解得a=， b=-8a=-2 所以抛物线解析式为：； （2）由此抛物线经过点C（4，－1）， 所以 一1＝16a＋4b＋3，即b＝－4a－1． 因为抛物线的开口向上，则有 其对称轴为直线，而 所以当－1≤x≤2时，y随着x的增大而减小 当x＝－1时，y=a+(4a+1)+3=4+5a 当x＝2时，y=4a-2(4a+1)+3=1-4a 所以当－1≤x≤2时，1－4a≤y≤4＋5a； （3）当a＝1时，抛物线的解析式为y＝x2＋bx＋3 ∴抛物线的对称轴为直线 由抛物线图象可知，仅当x＝0，x＝1或x＝－时，抛物线上的点可能离x轴最远 分别代入可得，当x＝0时，y=3 当x=1时，y＝b＋4 当x=-时,y=-+3 ①当一＜0，即b＞0时，3≤y≤b+4， 由b＋4＝6解得b＝2 ②当0≤-≤1时，即一2≤b≤0时，△＝b2－12＜0，抛物线与x轴无公共点 由b＋4＝6解得b＝2(舍去)； ③当 ，即b＜－2时，b＋4≤y≤3， 由b＋4＝－6解得b＝－10 综上，b＝2或－10 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，以及最值问题，关键是对称轴在不同的范围内，抛物线上的点到x轴距离的最大值的点不同． 23. 为了加强学生的安全意识，我校组织了学生参加安全知识竞赛．从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制统计频数分布直方图（未完成）和扇形图如下，请解答下列问题： （1）A组的频数a比B组的频数b小24，则样本容量为 ，a为 ； （2）n为 ，E组所占比例为 ； （3）补全频数分布直方图； （4）若成绩在80分以上优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀学生有 名． 【答案】（1）200；16； （2）126；12 （3）见解析 （4）940 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）由于A组的频数比B组小，而A组的频率比B组小，则可计算出调查的总人数，然后计算a的值； （2）用360度乘以D组的频率可得到n的值，根据百分比之和为1可得E组百分比； （3）计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图； （4）利用样本估计总体，用2000乘以D组和E组的频率和即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为，即样本容量为200， ∴； 【小问2详解】 解：部分所对的圆心角，即， 组所占比例为：， 【小问3详解】 解：组的频数为，组的频数为， 补全频数分布直方图为： 【小问4详解】 解：， ∴估计成绩优秀的学生有人． 24. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，利用证明即可； （2）菱形的性质和中位线定理，得到，得到四边形是菱形，再根据，得到，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形． 理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握菱形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$