【专项练】双角平分线模型-鲁教版五四制六年级下册期中、期末专项（初中数学）

画学科网·橙子学 Www,Z××k,C0m 让学习更高效 双角平分线模型 中等题 1.已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线. 图1 图2 (1)如图1，OC是∠AOB外部的一条射线. ①若∠AOC=28°，∠B0C=144°，则∠DOE= ②若∠BOC=156°，求∠D0E的度数： (2)如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC=,用m的代数式表示∠DOB的度数.（请 用几何符号语言规范地表达) 2,一个等腰直角三角形GBF的直角顶点G和正方形ABCD的顶点A重合，点B和点D分别在 GF和GE上（如图1），将三角形GEF绕点A逆时针旋转，使得GF与线段CD相交，如图2. D D E A(G) B A(G) B 图1 图2 (1)当∠BAF=2∠DAF时，求∠EAD的度数： (2)猜想∠EAB与∠DAF的数量关系，并说明理由； (3)射线AM和AN分别是∠DAF,∠FAB的角平分线，求∠MW的大小. 3.点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OE,OF,使得∠EOF=70°， 图1 图2 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 (I)如图1，过O点作射线OC使得OC为∠AOB的角平分线，且∠AOC=15°，求∠BOF的度数. (2)如图2，过O点作射线OC使得OC为∠AOB的角平分线，过O点作射线OD使得OD为∠BOF的 角平分线，求∠CoD的度数. 4.综合与探究 【初步探究】 (1)如图①，已知线段AB=16,C,D为线段AB上的两个动点，且CD=4,M,N分别是AC 和BD的中点，求线段MN的长： 【类比探究】 (2)如图②，直角∠COD与平角∠AOB如图摆放在一起，且OM和OW分别是∠AOC,∠BOD的 角平分线，则∠MON的度数： 【知识迁移】 (3)当∠AOB=a,∠COD=B时，如图③摆放在一起，且OM和Ow分别是∠AOC,∠BOD的平 分线，求∠MON的度数（用含a,B的代数式表示），(0°<a<180°，0°<B<180°) M CD N B 图① 图② 图③ 5.【问题背景】 如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，OW是∠BOC内部的一条 射线。 B 图1 图2 【初步探究】 (1)如图1，已知∠AOB=30°，OM是∠AOB的角平分线 ①则∠AOM=°： 备学科网·橙子学 WwW,2××k,C0m 让学习更高效 ②若∠MON-70°，ON是∠BOC的角平分线，求∠BOC的度数： 【拓展提升】 (2)如图2，若∠40C=140,∠A08=44OM=4CON,且∠B0N-号B0M,求M0N的度数。 6.点O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OE,OF,使得∠EOF=70°. B 图1 图2 (1)如图1，过O点作射线OC使得OC为∠AOE的角平分线，且∠AOC=15°，求∠BOF的度数. (2)如图2，过O点作射线OC使得OC为∠AOE的角平分线，过O点作射线OD使得OD为∠BOF 的角平分线，求∠CoD的度数. 困难题 7.如图1，直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线OC.将一直角三角板 4OB(∠OAB=30)的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上 方.将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒. B E 0 图1 图2 图3 (1)若射线OC保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠C0D,此时， ∠BOC与∠BOB之间有何数量关系？并说明理由， (2)若射线OC的初始位置不变，且∠COE=140°. ①在直角三角板旋转的过程中，若射线OC保持位置不变，当边AB与射线OE相交时（如图3）， 求∠AOC-∠BOE的值， ②在直角三角板旋转的过程中，将射线OC绕着点O按每秒5°的速度顺时针旋转（随三角板旋 转停止而停止)，是否存在某个时刻，使得射线OA,OC与OD中的某一条射线是另两条射线 所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的的取值.若不存在，请说明理由. 命学科网·橙子学 WwW,2××k,C0m 让学习更高效 8.如图1，直线AB和直线CD相交于O,且∠BOD=a,点M,N分别是射线OA、OB上一点， 射线oM绕点O以10°/s的速度逆时针旋转，射线oW绕点O以30°/s的速度顺时针旋转，旋转时 间为(0≤t≤6)，其中O9为MON的角平分线， M —B D 图1 图2 备用图 (1)当t=3s时，∠MON=- (2)如图2，当t为多少秒时，ON,OM恰好分别为∠BOD和∠AOD的角平分线？并求出此时a的 度数 (3)当a=120°，且∠DO2=20°时，求旋转时间t的值？ 9.如图1，OC是一条射线，将一把直角三角尺（∠OAB=30°，∠OBA=60°）的直角顶点放在O 处，∠BOC=40°，将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°，设旋转时间为t秒，分别作 出∠BOC、∠AOC的角平分线OB、OF. 图1 图2 备用图 (1)当t=0时，求∠AOF的度数： (2)如图2，当OC旋转至如图所示位置时，求∠OF的度数： (3)在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，直接写出t的值.（注：本题所有 的角均是指大于0°且小于或等于180°的角)画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 双角平分线模型 中等题 1.(1)①72：②78 (2)m°，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，解题的关键是熟练掌握双角平分线的解题思 路，能够根据角度关系用字母表示∠DOE. (1)①∠A0B=∠B0C-∠A0C=144°-28°=114°， ∠A0B=3A0c=14,A0D=3A0B=57r, ②根据角平分线定义得出∠A0D=号A0B40B=A0c,根据 ∠DO8=∠AOD+∠A0E=∠BOC,求出结果即可； (2)根据角平分线定义得出∠A0D-A08,∠A0B=号A0C,根据∠D08=∠A0D-∠A05=80c, 求出结果即可. 【详解】(1)解：①∠AOC=28°，∠BOC=144°， ∠A0B=∠B0C-∠A0C=144°-28°=114°， OD、OB分别是∠AOB、∠AOC的角平分线， ∠A0B-=∠A0C=14,∠A0D=5∠A0B=570, ÷∠D0E=14°+57°=72° ②：OD、OB分别是∠AOB、∠AOC的角平分线 240D-号40B40号40c ,∠DOE=∠AOD+∠AOE 408+号4oc =(∠AOB+∠AOC) 2 1 x156 =78; 备学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 (2)解：：OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线 ∠AOD=号∠AOB∠AOB=}∠40C, 2 ∴∠DOE=∠AOD-∠AOE =∠AOB-1∠A0C 2 2 -408-a0g 号c 2.(1)60° (2)∠EAB+∠DAF=180°.理由见解析 (3)∠MAN的度数为45 【分析】本题主要考查角平分线的定义的角的运算，识别图形是解答本题的关键。 (1)由∠BAF+∠DAF=90°可得绪论： (2)由∠FAB=∠DAB-∠DAF=90°-∠DAF,∠EAB=∠EAF+∠FAB=90°+∠FAB,可得结论： (3)根据角平分线定义求解即可」 【详解】(1)解：因为∠BAF+∠DAF=∠DAB, 又因为∠EAF=∠DAB-90°，∠BAF=2∠DAF, 所以2∠DAF+∠DAF=90°，3∠DAF=90,∠DAF=30°， 因为∠EAD=∠EAF-∠DAF, 所以∠EAD=90°-30°=60°， (2)解：∠EAB+∠DAF=180°. 理由如下：因为∠EAF=∠DAB=90°， 所以∠FAB=∠DAB-∠DAF=90°-∠DAF, 因为∠EAB=∠EAF+∠FAB=90°+∠FAB, 所以∠EAB=90°+90°-∠DAF=180°-∠DAF, 所以∠EAB+∠DAF=180°. (3)解：如图， 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 M A(G)B 因为AM和AN是∠DAF和∠FAB的角平分线， 所以∠RAM=号DAP,∠RN=5RAB, 2 因为∠DAF+∠FAB=90°， 所以MN-=∠RM+∠RN=DMP+∠R)=90=45, 答：∠M4N的度数为45°. 3.(1)80° (2)1250 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线 的定义是解题的关键。 (1)根据角平分线的定义得到∠AOC=∠COE,求出∠AOE=∠AOC+∠COE=30°，再由三角形内 角和定理计算答案即可 (2)先求出∠AOE+∠BOF=110°，根据角平分线的定义得到 ∠COB+∠DOF=<AOB+∠B0P)=55,即可求出答案。 【详解】(1)解：，OC为∠AOP的角平分线， ,∠AOC=∠COE, ,∠A0C=15°， ∴∠AOE=∠AOC+∠COE=30°， :∠EOF=70°， :∠BOF=180°-∠EOF-∠AOB=180°-70°-30°-80°： (2)解：∠EOF=70,∠AOE+∠EOF+∠BOF=180°， ,∠AOB+∠BOF=180°-∠EOF=180°-70°=110°， :OC为∠AOE的角分线，OD为∠BOF的角平分线， COE-AOE,ZDOF-BOF 画学科网·橙子学 WwW,Z×xk,C0m 让学习更高效 <C8+∠D0P-<4o8+<B0r)=35, ∴.∠COD=∠COE+∠DOF+∠EOF=55°+70°=125°. 4.(1)10:(2)135°：(3) (a+) 【分析】本题考查了线段的中点及线段的和与差以及角的平分线及角的和与差，根据图形找到 线段与角的关系是解题的关键， (1)根据AB=16,CD=4,求出4C+BD=16-4=2,根据中点定义得出MC=号4C,DN=号BD, 求出MC+DN-=4C+BD)=x2=6,最后求出结果即可： (2)根据oM和ow分别是∠AOC,∠BOD的角平分线，得出∠MOC=】∠AOC,∠DON=∠BOD, 求出M0C+∠DON-A0C+B0D)-x0=45°，最后求出结果即可： (3)根据角平分线定义得出AoCA0C,∠DON=)B0D,根据 MON=AM0C+∠COB+∠BON=∠A0C+2∠COB+∠BOD)求出结果即可. 【详解】解：(1)因为AB-16,CD=4, 所以AC+BD=16-4=12, 因为M,N分别是AC和BD的中点， 所以Mc=4C,N=D, 所以MC+DN=(4C+BD)=2=6. 所以MN=MC+CD+DN=6+4=10. (2)因为∠AOB=180°，∠COD=90°， 所以∠AOC+∠BOD=90°， 因为OM和ON分别是∠AOC,∠BOD的角平分线， 所以M0C=40C,∠DON=号BOD, 所以AM0C+∠D0N=2(∠A0C+∠B0D)=2x90=45, 所以MON=∠M0C+∠C0D+∠D0N=90°+45°=135°. (3)因为OM和ON分别是∠AOC,∠BOD的角平分线， 所以MOC=;A0C,∠DON=3∠BOD, 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 所以∠MON=∠MOC+∠COB+∠BOWN =1∠AOC+∠COB+1∠BOD E∠A0C+2∠C0B+∠B0D A08+∠coD) -e+. 5.(1)①15：②110°；(2)100 【分析】本题考查了求角度，角平分线的应用. (1)①由角平分线的性质，可得到∠AOM=】∠AOB=15°： 2 ②由角平分线的性质，得到∠BOM度数，由已知条件中∠MON=70°，得到∠BON的度数，利用 角平分线，得到结果： (2)设∠AOM=∠CON=a,通过已知条件，求得a=20°，从而得到结果. 【详解】解：(1)①∠AOB=30°，OM是∠AOB的角平分线， 240M=40B=15, 故答案为：15： ②因为∠AOB=30°，OM是∠AOB的平分线， 所以∠BOM=∠AOM=15°， 因为MON=70°， 所以∠BON=∠MON-∠BOM=55°， 因为OW平分∠BOC, 所以∠BOC=2∠BON=110°： (2)设∠AOM=∠CON=a,则∠AOB=4a, 因为∠BOM=∠AOB-∠AOM, 所以∠BOM=4a-a=3a, 因为∠BON=2∠BOM, 3 所以∠BON=2a, 因为∠AOC=∠AOB+∠BON+∠CON=140°， 所以4a+2a+a=140°， 金学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 解得a=20°， 因为∠MON=∠BOM+∠BON, 所以∠MON=3a+2a=100°. 6.(1)80 (2)125 【分析】本题考查了角的有关计算，用到了角平分线的性质和角的和差计算， (1)根据角平分线的性质，可知∠AOC=∠COE=15°，即∠AOE=-30°，又∠EOF=70°，即可得 出答案。 (2)根据题意结合角平分线性质，因为∠EOF-70°，∠AOE+∠EOF+∠BOF-180°，所以 A0E+B0F=18P-∠B0F=10°，所以∠COB=A0E,∠D0F-B0P, ∠C0D=∠COB+∠DOF+∠EOF=55°+70°=125°，即可求出答案. 【详解】(1)解：OC为∠AOB的角平分线 ·∠AOC=∠COE ∠A0C=159 ·.∠AOE=∠AOC+∠COE=30 ∠EOF=70° ∴∠BOF=180°-∠EOF-∠AOE =180°-70°-30° =80° (2)解：∠EOF-70°，∠AOE+∠EOF+∠BOF=180° ÷.∠AOE+∠BOF=180°-∠EOE =180°-70° =110° :OC为∠AOE的角平分线，OD为∠BOF的角平分线. A∠COB=1∠AOB ∠DOR=∠BOF 2 .∠COE+∠DOF (AOE+BOF) 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 =550 ·.∠COD=∠COE+∠DOF+∠EOF =55°+70° =1250 困难题 7.(1)∠BOC=∠BOE a0∠40c-∠B0g=50:@g4,2,l 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角平分线的性质及角的计算，根据题意全面考虑 所有可能进行分类讨论是解题的关键， (1)由∠AOB=90°知∠BOC+∠AOC=90°、∠AOD+∠BOB=90°，根据∠AOD=∠AOC可得答案； (2)①根据∠AOC-∠BOB=∠EOC-∠AOB,即可求解： ②当OA平分∠COD时∠COD=2∠AOD、当OC平分∠AOD时∠AOD=2∠COD分别列出关于t的方程， 解方程即可求解 【详解】(1)解：∠BOC与∠BOE之间的数量关系为∠BOC=∠BOB,理由如下： ,·∠AOB=90°， .∠BOC+∠AOC=90°，∠AOD+∠BOE=90°， OA平分∠COD, .∠AOD=∠AOC, ,∠BOC=∠BOE」 (2)①：∠COE=140°，∠AOB=90° ∠AOC-∠BOE =(∠EOC-∠AOB)-(∠AOB-∠AOE) =∠EOC-∠AOB =140°-90° =50°； ②由题意得：∠COD=(40-5t)°，∠AOD=(10t)° 当Q1平分∠c0时，<c0D=1A0,即40-(6)°-2x0mp,解得1- 当OC在ED上方，第一次平分∠AOD时，∠AOD=2∠COD,即(10r)°=2(40-5t)°，解得1=4： 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 当OC在ED下方，第二次平分∠AOD时，360°-∠AOD=2∠COD,即360°-(10)°=2(5t-40)°，解 得t=22; 当0A第二次平分∠C0D时，∠C0D=2∠AoD,即(51-40)°=2×(360-10)°，解得：t=12 综上，1的值为，4,22,1 5 8.(1)60 2r-,130 (3)t=1或t=5 【分析】(1)当1=3s时，∠AOM=10°×3=30°，∠BON=30°×3-90°，根据 ∠MON=180°-∠AOM-∠BON计算即可. (2)设运动t秒时，ON,OM恰好分别为∠BOD和∠AOD的角平分线，根据题意，得 ∠AOM=10°xt=10t°，∠BON=30°×t=30r°，根据角的平分线，得2∠BON+2∠AOM=180°，即 ∠BON+∠AOM=90°，列出方程解答即可. (3)设运动t秒时，根据题意，得∠AOM=10°×t=10t°，∠BON=30°×t=30°，根据a=120°，且 ∠DO2=20°，分点Q在OD左侧和右侧两种情况，列出方程解答即可. 【详解】(1)解：：射线OM绕点O以10°/s的速度逆时针旋转，射线ON绕点O以30°/s的速度 顺时针旋转，旋转时间为t(0≤1≤O, 当t=3s时，∠AOM=10°×3=30°，∠B0N=30°×3=90°， ÷∠MON=180°-∠AOM-∠BON=60°. 故答案为：60° (2)解：设运动t秒时，ON,OM恰好分别为∠BOD和∠AOD的角平分线，根据题意，得 ∠AOM=10°×t=10°，∠BON=30°×t-30°， :ON,OM恰好分别为∠BOD和∠AOD的角平分线， .∠BOD=2∠BON,∠AOD=2∠AOM, :∠BOD+∠AOD=180°， .2∠BON+2∠AOM=180°， ∴∠BON+∠AOM=90°， .101+301=90, 解得- 画学科网·橙子学 Www,Z×xk,C0m 让学习更高效 a=∠BOD=2∠BON=2x30°x9-1350. 4 (3)解：设运动t秒时， 当点Q在OD右侧时， 根据题意，得∠AOM=10°×t=10t°，∠BON=30°×1=30°， .∠MON=180°-∠AOM-∠BON=(180-40t)°. :oQ为∠MON的角平分线， ∠0oN=号∠MoN=(90-20r)°. 2 ×a=120°，且∠D02=20°， ÷∠BO0=100°， ÷∠BON+∠QON=100°， 30t+90-20t=100, 解得t=1; B D 当点Q在OD左侧时，如图， 根据题意，得∠AOM=10°×1=10t°，∠BON=30°×t=301°， ÷.∠MON=∠AOM+∠BON-180°=(40t-180)°. :o2为∠MON的角平分线， M-MV-(20) :∠BOD=a=120°， ÷∠AOD=180°-∠BOD=60°， 根据题意，得∠DOM=∠QOQ-∠OOM=∠AOD-∠AOM, .20-20t+90-60-10t, 解得1=5； 画学科网·橙子学 WwW,2××k,C0m 让学习更高效 0 B N 综上所述，当1=1或t=5时，=120°，且∠DO2=20°。 【点睛】本题考查了角的平分线，角的和差计算，平角的定义，一元一次方程的应用，分类思 想的应用，熟练掌握角的平分线，一元一次方程的应用是解题的关键。 9.(1)250 (2)45° a)号秒或智秒 【分析】(1)根据角的和差得出∠AOC=50°，再根据角平分线的定义可得出结论： (2)根据题意可得∠B0C=15t+40°，∠A0C=15t-50°，根据角平分线的定义可得 ∠B0C-B0c-51+40),A0F=A0C=5-0,再代入∠B0F=∠B0c-∠A0F即可 得出结论： (3)分两种情况：①当OF∥AB时，（②当OE∥AB时，进行讨论即可. 【详解】(1)解：根据题意得：∠AOB=90°， :∠B0C=40°， ÷∠AOC=90°-∠BOC=90°-40°=50°， :OF平分∠AOC, ∠A0F=1∠A0C=x50°=25°， 2 2 ∠AOF的度数为25°： (2)如图，将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°， 360°÷15°-24（秒）， 0≤t≤24， ∠B0C=151+40°， ∴.∠AOC=∠BOC-∠AOB=15t+40°-90°=15t-50°， :OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC,