专题02 一元一次不等式组的解法重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题02 一元一次不等式组的解法重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 解特殊不等式组 题型四 解|x|≥a型的不等式 题型五 求一元一次不等式组的整数解 题型六 由一元一次不等式组的解集求参数 题型七 由不等式组解集的情况求参数 题型八 不等式组和方程组结合的问题 题型九 列一元一次不等式组 题型十 一元一次不等式组的新定义问题 知识点01 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 知识点02 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示： 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 知识点03 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 知识点04 一元一次不等式(组）之含参问题 【经典例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】 （23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）是不小于的负数，则可表示为（          ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·全国·单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【经典例题二 求不等式组的解集】 【例2】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）不等式组的解集是 ． 3．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 【经典例题三 解特殊不等式组】 【例3】（2024·湖南株洲·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ． 3．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【经典例题四 解|x|≥a型的不等式】 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【经典例题五 求一元一次不等式组的整数解】 【例5】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有两个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，按下面的程序进行运算，规定：从“输入”到“判断结果是否？”为一次运算，已知运算恰好进行两次停止，若为整数，则的值是 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）符号表示不大于x的最大整数，例如，．如果，求满足条件的正整数x的值． 【经典例题六 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例6】（24-25七年级下·湖南娄底·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（    ） A．0 B．3 C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式． (1)求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)求不等式的所有负整数解； (3)若不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值； (4)若不等式的最小整数解也是关于不等式的解，求m的取值范围． 【经典例题七 由不等式组解集的情况求参数】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 1．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）若关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”；若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，求m的取值范围． 【经典例题八 不等式组和方程组结合的问题】 【例8】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（　　） ①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解 ②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数； ③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变； ④若x≤1，则y≥； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·湖南·期中）已知关于的方程组，其中，以下结论：①当时，方程组的解与互为相反数；②是方程组的解；③时，方程组的解也是的解；④若．正确的结论有 （填序号） 3．（23-24七年级下湖南株洲·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 【经典例题九 列一元一次不等式组】 【例9】（23-24七年级·全国·假期作业）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024·湖南湘潭·一模）对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围 ． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）感知：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组①或② 解不等式组①，得x>3， 解不等式组②，得． 所以原分式不等式的解集为x>3或． 探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式 【经典例题十 一元一次不等式组的新定义问题】 【例10】（24-25七年级下·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·重庆江津·期末）对a、b定义一种新运算T，规定：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，则下列结论正确的个数为（　　） ①；②若，则；③若，则；④若，则m、n有且仅有6组整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为 ． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)填空：______； (2)若则的取值范围为______； (3)已知，求的取值范围． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（    ） A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4 3．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则.其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②③④ 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）万州区的出租车起步价是8元（2千米及2千米以内为起步价），以后每千米收费是1.6元，不足1千米按1千米收费，小明乘出租车到达目的地时计时器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为（　　） A．6.9千米 B．5.5千米 C．4.1千米 D．3.5千米 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ． 7．（2024九年级·湖南常德·模拟预测）如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 9．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于x，y的不等式组有以下说法： ①若它的解集是1＜x≤4，则a＝4；②当a＝1时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5；④若它有解，则a≥2．其中所有正确说法的序号是 ． 10．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x、y的方程组，其中-3 ≤ t ≤ 1，给出下列结论：①是方程组的解；②t=-2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④若S=3x-y+2t，则S的最大值为11．其中正确的有 ．(填写序号) 11．（24-25七年级下·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 12．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）若不等式组的解集为3≤x≤4． (1)试求a，b的值； (2)把不等式ax+b<0的解集在数轴上表示出来． 13．（23-24七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式组的解法重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 一元一次不等式组的定义 题型二 求不等式组的解集 题型三 解特殊不等式组 题型四 解|x|≥a型的不等式 题型五 求一元一次不等式组的整数解 题型六 由一元一次不等式组的解集求参数 题型七 由不等式组解集的情况求参数 题型八 不等式组和方程组结合的问题 题型九 列一元一次不等式组 题型十 一元一次不等式组的新定义问题 知识点01 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 知识点02 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示： 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 知识点03 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 知识点04 一元一次不等式(组）之含参问题 【经典例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】 （23-24七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 1．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）是不小于的负数，则可表示为（          ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】【分析】直接用不等式表示题意,即可. 【详解】是不小于的负数，则可表示为. 故选D 【点睛】本题考核知识点：用不等式表示数量关系.解题关键点：理解题意，并用不等式表示. 2．（23-24七年级·全国·单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ． 【答案】 一元一次不等式组 公共部分 解集 【分析】根据一元一次不等式组的定义，及一元一次不等式组解集的定义，进行填空即可． 【详解】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 故答案为一元一次不等式组；公共部分；解集. 【点睛】考查一元一次不等式组的相关概念，比较基础，难度不大. 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】（1）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （2）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （3）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答． 【详解】解：（1），符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （2）中，是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）中，是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，注意掌握把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 【经典例题二 求不等式组的解集】 【例2】（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集等知识．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ， 解得，， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示解集如下； 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， ∴此不等式组的解集为：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）八年级数学课外活动小组在探究用类比思想解决实际问题时发现，用表示不大于A的最大整数，如：，，，，……以此类推． (1)______； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确理解新定义和求出每一个不等式解集是解答此题的关键． （1）根据表示不大于A的最大整数即可得； （2）根据新定义知，解之可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：， 解得：， 故答案为：． 【经典例题三 解特殊不等式组】 【例3】（2024·湖南株洲·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】 解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞2，在数轴上表示为： 则不等式组的为空集． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 1．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可． 【详解】解：∵[]=2， ∴由题意得2≤＜3， 解得5≤x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键． 2．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是 ． 【答案】-5 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3， 则3＜xy＜5， 又∵x、y均为整数， ∴x=1，y=4；此时，x+y=5； x=2，y=2；此时，x+y=4； x=-1，y=-4；此时，x+y=-5； x=-2，y=-2；此时，x+y=-4； 故x+y的最小值是-5， 故答案为-5． 【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键． 3．（23-24七年级下·湖南张家界·期末）阅读材料： 李老师给数学兴趣小组布置了这样一个关于不等式的问题：求不等式的解集. 小组成员百思不得其解，这时，李老师提示说：“我们可以利用有理数的运算法则解决这一问题”，话音刚落，聪明的小明就说：“我明白了”！你们想到解决问题的方法了吗？小明是这样做的：根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”. 可得①；或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：， ∴原不等式的解集为：或. 你明白了吗？请结合以上材料解答问题：解不等式. 【答案】 【分析】根据有理数相除异号得负，故可得①；②，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得： ①；② 解不等式组①，得无解 解不等式组②，得 原不等式的解集为 【点睛】本题主要考查了分式不等式，根据有理数除法同号得正，异号得负的法则，判断出分式不等式分子，分母的正负，组成不等式组是解题的关键． 【经典例题四 解|x|≥a型的不等式】 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各数：①；②；③0；④5．其中能使不等式成立的为（   ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了解绝对值不等式，根据题意得出x的取值范围是解题的关键．先求解绝对值不等式，得出x的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴能使不等式成立的为①；④5． 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， ∴不等式组的解集为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解不等式组和含绝对值的不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【详解】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【答案】(1)6；2；12 (2)0 (3)10 (4)或 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离． （2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解． （3）由题意得：，去绝对值即可求解． （4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为， 、两点的距离 6 2 12 故答案为：6、2、12． （2）7到的距离为，     7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0． （3）由题意得：， 则． （4）当时， 不等式，即：， 解得：； 当时， 不等式，即， 则无解， 当时，不等式，即：， 解得：， 综上所述：有理数x的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键． 【经典例题五 求一元一次不等式组的整数解】 【例5】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）不等式组的整数解的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，进而可得出其整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解决此题的关键． 【详解】解：解不等式得，, 解不等式得，, ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：,即不等式组有个整数解， 故选：． 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有两个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式组的整数解等知识点．根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，按下面的程序进行运算，规定：从“输入”到“判断结果是否？”为一次运算，已知运算恰好进行两次停止，若为整数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查程序流程图与不等式，根据题意，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∵为整数， ∴； 故答案为：4． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）符号表示不大于x的最大整数，例如，．如果，求满足条件的正整数x的值． 【答案】7，8，9 【分析】本题属于新定义型，符号具有性质，由此性质可将原方程转化为不等式组，再解之即得．本题考查了新定义以及解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵x为正整数 故满足条件的x的值为7，8，9． 【经典例题六 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例6】（24-25七年级下·湖南娄底·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 1．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）关于x的不等式的解集如图所示，则a的值是（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式是解题的关键．根据不等式解集求出参数即可． 【详解】解：解不等式为： 由题可知，不等式的解集为， 解得， 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得，； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式． (1)求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)求不等式的所有负整数解； (3)若不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值； (4)若不等式的最小整数解也是关于不等式的解，求m的取值范围． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及一元一次不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． （1）解不等式将解集在数轴上表示出来即可； （2）根据解集写出所有负整数即可； （3）解不等式，得，由题意，得，即可得到答案； （4）解不等式，得，根据题意得到，即可得到答案； 【详解】（1）解：解不等式，得，解集在数轴上如图所示； （2）解：不等式的所有负整数解为； （3）解：解不等式，得， 由题意，得， 解得； （4）解：解不等式，得， 不等式的最小整数解为， 解不等式， 得， 根据题意，得， 解得． 【经典例题七 由不等式组解集的情况求参数】 【例7】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：由方程，得， ∵关于的方程的解为非负整数， ∴，得， ， 由①，得， 由②，得， ∵关于的不等式组有解， ∴，得， 由上可得，， ∴符合条件的整数的值为：，0，1，2，3， ∴符合条件的整数的值的和为：． 故选：C． 1．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）若关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由一元一次不等式组解集求参数，解一元一次不等式．根据题意解出一元一次不等式组，继而求出本题答案． 【详解】解：∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： ∵关于x的不等式组有四个整数解， ∴不等式组的四个整数解为：， ∴，解得：， 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的解集情况求解参数的取值范围，熟练解一元一次不等式组是解本题的关键． 先解不等式组可得解集，再结合解集的情况求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵关于的不等式组有解， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”；若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式组，已知不等式组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，列出不等式组．先解不等式组得出，，再根据两个不等式组有解，得出，再求出，根据不等式组D对于不等式组C“中点包含”，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵不等式组D对于不等式组C“中点包含”， ∴不等式组C和不等式组D有解， 解不等式组得， 解不等式组得， ∴， 解得：， ∴， 不等式组C的“解集中点值”为， ∵不等式组D对于不等式组C“中点包含”， ， 解得， 又， 的取值范围为． 【经典例题八 不等式组和方程组结合的问题】 【例8】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（　　） ①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解 ②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数； ③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变； ④若x≤1，则y≥； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】解方程组得，①将a＝1的值代入方程组的解和方程中进行判断即可；②将a＝﹣2代入方程组的解，依据相反数的概念判断即可；③将所求x、y代入2x+7y，判断最后化简结果与a有无关系即可；④由x≤1得出a的范围，再结合a的范围求出的范围即可． 【详解】解：解方程组得， ①当a＝1时，，此时方程x+y＝4﹣1＝3，x＝3、y＝0是该方程的解，正确，不符合题意； ②当a＝﹣2时，，x、y不是互为相反数，错误，符合题意； ③2x+7y＝＝6，不论a取什么数，2x+7y的值始终不变，正确，不符合题意； ④若x≤1，则≤1，解得a≤，此时≥，正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式及不等式组的能力． 2．（23-24七年级下·湖南·期中）已知关于的方程组，其中，以下结论：①当时，方程组的解与互为相反数；②是方程组的解；③时，方程组的解也是的解；④若．正确的结论有 （填序号） 【答案】①②④ 【分析】①将代入方程组，两式相加即可做出判断； ②将x与y代入方程组检验即可做出判断 ③将代入方程组求出x与y的值，即可确定做出判断； ④先解方程组，根据y的范围确定出x的范围即可做出判断． 【详解】解：①将代入方程组得：； 两式相加得： ∴x与y互为相反数，①正确； ②将代入方程组得： 解得：， ∵，∴②正确； ③将代入方程组得： 解得：， 代入方程，左边得：；右边，即左边右边， ∴方程组的解不是方程的解；③错误； ④解方程组得： ∵，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，， ∴，④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 3．（23-24七年级下湖南株洲·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①② 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的综合应用： （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （2）①设，构成方程组，求出的范围，代入即可； ②解方程组得到关于a的不等式组解出，利用，套入a的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）解：， 由①，得：， 由②，得：， ∴； 故答案为：； （2）①设， 构成方程组，解得：， ∵， ∴，解得：； ∴． ②解，得：， ∵， ∴，解不等式组得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 【经典例题九 列一元一次不等式组】 【例9】（23-24七年级·全国·假期作业）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：依题意，得： ， 由①得： ， 由②得：＞， ＞ ＞， 所以不等式组的解集为：． 故选：A 【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）某企业次定购买，两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： 型 型 价格（万无台） 12 10 月污水处理能力（吨月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买型污水处理设备台，所列不等式组正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可． 【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得： ， 故选A． 【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组． 2．（2024·湖南湘潭·一模）对于实数，用表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据表示不大于的最大整数可列不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义最大整数问题，掌握表示不大于的最大整数的定义，抓住是解题关键． 3．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）感知：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组①或② 解不等式组①，得x>3， 解不等式组②，得． 所以原分式不等式的解集为x>3或． 探究：请你参考小亮思考问题的方法，解不等式 【答案】 【分析】先转化成不等式组，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可． 【详解】解：根据“两数相除，同号得正，异号得负”，原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①，或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②得此不等式组无解． 所以原分式不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据题意列出不等式组是解此题的关键． 【经典例题十 一元一次不等式组的新定义问题】 【例10】（24-25七年级下·重庆·期末）对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 1．（23-24七年级下·重庆江津·期末）对a、b定义一种新运算T，规定：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，则下列结论正确的个数为（　　） ①；②若，则；③若，则；④若，则m、n有且仅有6组整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于①根据定义计算即可判断；由，得方程，求解即可判断②；由，得不等式组，求解即可判断③；由，得，求得，根据、都是整数，可得或或，解得或或0或或或，即可求得所有满足条件的、的值，即可判断④． 【详解】解：①，故①正确； ②，即，解得，故②正确； ③，即，解得，即，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵、都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的、的值可以为：，，，，，，共6组，故④正确； 综上所述，正确有4个， 故选：D 【点睛】本题主要考查了解方程及不等式组，正确理解题目所给的新定义是解题的关键． 2．（2024·湖南岳阳·模拟预测）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为 ． 【答案】，0，1 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解以及有理数的混合运算，根据，可以将不等式组转化为，然后求解即可． 【详解】由题意可得， 不等式组转化为， 解得． 所以不等式组的整数解为，0，1． 故答案为：，0，1． 3．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：． (1)填空：______； (2)若则的取值范围为______； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）根据公式直接解答； （2）结合公式可得，求解即可； （3）分两种情况：①，②，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵当时， ∴， 故答案为：1； （2）∵， ∴ ∴ 故答案为：； （3）由题意可知分两种情况讨论： ①，解得； ②，解得 综上，x的取值范围为或． 【点睛】此题考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是解题的关键，尤其需要注意不等式两边乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组，解题的关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 利用一元一次不等式组定义逐个判断解答即可． 【详解】A．，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故不符合题意； B．，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组，故不符合题意； C．，是一元一次不等式组，故符合题意； D．，含有分式不等式，不是一元一次不等式组，故不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）不等式组的解集中任何x的值均在2≤≤5的范围内，则a的取值范围是（    ） A．≥2 B．2≤≤4 C．≤4 D．≥2且≠4 【答案】B 【分析】由x-a≥0，得x≥a；由x-a≤1，得x≤a+1．再根据“小大大小中间找”可知不等式组的解集为： a≤x≤a+1；然后根据x的值均在2≤x≤5的范围内，可得出a的取值范围． 【详解】试题解析：， 由①得：x≥a， 由②得：x≤1+a， ∴不等式的解集是a≤x≤1+a， ∵不等式组的解集中x的值均在2≤x≤5的范围内， ∴ 解得：2≤≤4． 所以a的取值范围是：2≤≤4． 故选B． 【点睛】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，等知识的理解和掌握，能根据不等式组的解集，和已知得出a≥5且1+a≤2是解此题的关键． 3．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先求出不等式组的解集，再根据关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，可以求得的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴， 故选：B． 4．（23-24七年级下·湖南娄底·期末）已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则.其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①④ D．②③④ 【答案】D 【分析】解二元一次方程组，根据方程组的解x为正数，y为非负数，列不等式求解即可证明①；把代入验证即可证明②；把代入验证③即可；根据条件求出a的取值范围即可求出④． 【详解】解：， 得：， ∴， 把代入①得：， ∵方程组的解x为正数，y为非负数， ∴，解得， ∴，故①错； 当时，，， ∴，故②正确； 当时，，，故③正确； 若，则，即， ∴，即，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，正确解出方程组是解题的关键，注意方程与不等式组的综合运用． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）万州区的出租车起步价是8元（2千米及2千米以内为起步价），以后每千米收费是1.6元，不足1千米按1千米收费，小明乘出租车到达目的地时计时器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为（　　） A．6.9千米 B．5.5千米 C．4.1千米 D．3.5千米 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出2千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计时器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】设出租车行驶的路程为s千米， 由已知得：， 解得：5<s6. 故答案选B. 【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式组的应用. 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ． 【答案】m≠－2 【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m的求值． 【详解】mx－8≤4－2x， mx＋2x≤4＋8， (m＋2)x≤12， ∴m＋2≠0， 解得m≠－2， 故答案为m≠－2． 【点睛】此题主要考查不等式的定义． 7．（2024九年级·湖南常德·模拟预测）如图，若整式的值落在数轴上的区间②内，则整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，由整式的值落在数轴上的区间②内得，解不等式得x的取值范围，进而可得整数x的值． 【详解】解：若整式的值落在数轴上的区间②内，则 ， 解得， 整数， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 分别解出每个不等式，然后根据不等式组的解集是，即可得到一个关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 关于的不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于x，y的不等式组有以下说法： ①若它的解集是1＜x≤4，则a＝4；②当a＝1时，它无解；③若它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5；④若它有解，则a≥2．其中所有正确说法的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】先求出各不等式的解集，再根据各小题的结论解答即可． 【详解】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1；解不等式x﹣a≤0得，x≤a，故不等式组的解集为：1＜x≤a． ①∵它的解集是1＜x≤4，∴a＝4，故本小题正确； ②∵a＝1，x＞1，∴不等式组无解，故本小题正确； ③∵它的整数解只有2，3，4，则4≤a＜5，∴4≤a＜5，故本小题正确； ④∵它有解，∴a＞1，故本小题错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键. 10．（23-24七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x、y的方程组，其中-3 ≤ t ≤ 1，给出下列结论：①是方程组的解；②t=-2时，x、y的值互为相反数；③若x≤1，则1≤y≤4；④若S=3x-y+2t，则S的最大值为11．其中正确的有 ．(填写序号) 【答案】②③④ 【分析】①②将结果带入即可进行判断，③④需要对原方程组进行化简，通过消元法消去一个未知数，再根据已知的范围，确定不等式，从而算出取值范围和最大值． 【详解】①：将代入方程组得： ，解得 ∵-3 ≤ t ≤ 1 ∴不是方程组的解，故①错误； ②：当t=-2时，代入方程组得： ，两式相加可得， 整理得 ∴x、y的值互为相反数，故②正确； ③：中①+②得： ①-③得：，化简得 ∵-3 ≤ t ≤ 1， ∴，解得， ①+③得：，化简得 ∵x≤1，∴，解得：， ∴，故③正确； ④：从③可知， ∴ ∵-3 ≤ t ≤ 1， 当t=1时，S取得最大值，最大值为：9+2=11， 故④正确； 故本题的答案为：②③④． 【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组问题，一元一次不等式组的求解问题，当有多个未知数时，消去一个未知数即消元法是本题的关键． 11．（24-25七年级下·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集是，不等式组的整数解为0和1 【分析】先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 12．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）若不等式组的解集为3≤x≤4． (1)试求a，b的值； (2)把不等式ax+b<0的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） ；（2）见解析 【分析】（1）先求出不等式组的解集，根据已知即可求出a、b的值； （2）代入后求出不等式的解集即可． 【详解】解：(1)解不等式组得：≤x ≤ -a， ∴ 即a= -4．b=6． (2)由(1)可知ax+b= -4x+6<0， 解得x> 该不等式的解集在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式组或不等式的解集是解此题的关键． 13．（23-24七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案； （2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于的不等式组，解之可得答案；②根据子集方程的概念可得答案． 【详解】（1）解：①的解为， ②的解为， ③的解为， 由得， 由得：， 所以不等式组的解集为， 其中是不等式组的解的有，， 所以为不等式组的子集方程的是②③， 故答案为：②③； （2）①由得：， 由得：， 解方程得， 由题意知，， 解得； ②方程，都不是该不等式组的子集方程， 或，即， 故答案为：或． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 学科网（北京）股份有限公司 $$