专题04 一元一次不等式与不等式组80道计算题专项训练（10大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题04 一元一次不等式与不等式组80道计算题专项训练（10大题型） 【题型目录】 题型一 利用不等式的性质解不等式 题型二 解一元一次不等式 题型三 解一元一次不等式组 题型四 在数轴上表示不等式（组）的解集 题型五 不等式（组）有解计算 题型六 不等式（组）无解计算 题型七 一元一次不等式的整数解计算 题型八 一元一次不等式解的最值 题型九 不等式组和方程相结合的计算 题型十 一元一次不等式新定义计算 【经典计算题一 利用不等式的性质解不等式】 1．（23-24七年级下·山东烟台·阶段练习）若，求当时，m的取值范围． 【答案】 【分析】解答本题的关键是根据非负数是性质准确列出方程组．根据非负数的性质，列出方程组，解出的值，然后根据来求m的取值范围． 【详解】解答：解：根据题意，得 ， 解方程组，得 ， ∵， ∴， 不等式的两边同时加，得 不等式的两边同时乘以，得 ∴当时，m的取值范围是． 故答案为： 2．（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的基本性质，将下列不等式化成或的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，不等式的解法； （1）根据不等式的两边都除以可得答案； （2）根据不等式的两边都除以可得答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 即． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）根据不等式的性质解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：①不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．据此解该不等式即可． （1）根据不等式的性质1可得，再利用不等式的性质2可得； （2）根据不等式的性质1可得，再利用不等式的性质2可得； 【详解】（1）解：不等式两边同时减去，得． 不等式两边同时除以2，得． （2）解：不等式两边都减去2，得． 不等式两边都除以得， 即． 4．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）已知．当时，；当时，． (1)求出的值； (2)当时，求代数式y的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）本题考查了二元一次方程组的解法，熟悉二元一次方程组的解法是解决问题的关键．根据已知条件，可列出关于未知数、的方程组，解方程组即可求得其值． （2）本题考查了不等式的性质，熟悉不等式性质是解决问题的关键．根据第一问的结果，可得到，求当时，的范围，注意不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，不等式两边同加一个数，不等号方向不变，即可解决问题． 【详解】（1）解： 当时，；当时，． 、满足方程组， 解方程组得：． 所以，． （2）解：根据第一问结果，，， ， 当时，， ， ． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之间（包括60元和70元），买3个这样的键盘需要多少钱（用适当的不等式表示）？ 【答案】（答案不唯一） 【分析】设一个计算机键盘的单价为x元，则，再根据不等式的性质，即可求解． 【详解】解：设一个计算机键盘的单价为x元，则， ∴买3个这样的键盘需要的钱为． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 6．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减运算，注意比较两个数大小的方法：若，则；若，则；若，则，另外也考查了非负数的性质． （1）把原式化为，再移项即可得到答案； （2）利用作差法计算，再利用非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 7．（2024七年级下·江苏·专题练习）以下是明明解不等式组的解答过程． 解：由①，得，……步骤1 所以……步骤2 所以.……步骤3 由②，得，……步骤4 所以．……步骤5 所以……步骤6 所以原不等式组的解是……步骤7 指出明明的解答过程从第几步出现了错误，请写出正确的解答过程． 【答案】明明的解答过程从第6步出现了错误，正确的解答过程见解答 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：明明的解答过程从第6步出现了错误，错误的原因是：不等式两边同时除以时，不等号的方向没有改变， 正确的解答过程如下： 由①，得， 所以， 所以， 由②，得， 所以， 所以， 所以原不等式组的解集为：． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）【阅读材料】： “已知均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法： ∵， ∴， ∵，是非负数， ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【回答问题】：已知，，． (1)试确定的取值范围； (2)求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； 本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质及应用． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， 由（）得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是． 【经典计算题二 解一元一次不等式】 9．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． （1）根据不等式的基本性质求出不等式的解集即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可求出不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 移项得：， ∴， 解得：； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，， ∴， 解得， ∴原不等式组的解集为． 11．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）解下列不等式和不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤． （1）按照解一元一次不等式步骤即可解得x的范围即可； （2）解出每个不等式，再求公共解集即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 把未知数系数化为1得：； （2）解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：．已知，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，解题的关键是根据二阶行列式的运算法则列出不等式并求解． 先依据二阶行列式的运算法则列出关于的不等式，再通过解不等式得出的取值范围． 【详解】解：根据题意，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以3，得． 故的取值范围为． 14．（24-25七年级下·湖南张家界·期中）定义关于的一种运算：，如． (1)若，求的取值范围． (2)若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据新定义运算列出不等式即可求解； （）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解； 本题考查了新定义，解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）如果不等式①的解都是不等式②的解，那么称不等式①是不等式②的“蕴含不等式”．例如：不等式的解都是不等式的解，则称不等式是不等式的“蕴含不等式”． (1)若不等式是不等式的“蕴含不等式”，求m的取值范围； (2)已知是的“蕴含不等式”，试判断是不是的“蕴含不等式”，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式， 对于（1），求出的解集，再根据“蕴含不等式”的定义得出关于m的不等式，求出解集； 对于（2），根据“蕴含不等式”的定义求出，再结合题意判断即可． 【详解】（1）解：解不等式，得． 依题意，得，解得． 故m的取值范围是； （2）解：是．理由如下： 依题意，得，解得， 的解都是的解． 故是的“蕴含不等式”． 16．（2024·浙江嘉兴·一模）以下是甲、乙两位同学解不等式的过程： 甲： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 乙： 裂项，得： 移项，得： 合并同类项，得： 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】甲、乙两位同学的解法均错误；见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵甲在去分母时，不等号右边的1没有乘最简公分母，去括号时没有变号，乙同学在裂项时，去括号没有变号， ∴甲、乙两位同学的解法均错误， 正确解答过程如下： 去分母得，， 去括号得，， 移项得， 合并同类项得，， 的系数化为1得，． 【经典计算题三 解一元一次不等式组】 17．（2024七年级下·全国·专题练习）求绝对值不等式的解集 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分和两种情况求解即可． 【详解】解：当，即， 解得：； 当，即， 解得：， ∴原不等式的解为：． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组：． 【答案】． 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组的方法，掌握不等式的性质，运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的方法解不等式组是解题的关键． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 19．（2025·陕西西安·一模）解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 分别解出两不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：． 20．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）（1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）11；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）先计算乘方和括号内减法，再算乘除，最后进行加减计算； （2）分别求出每一个不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 21．（23-24七年级下·四川成都·期中）解不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 22．（24-25七年级下·全国·期末）解方程组或不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴，得． 把代入，得． 解得， 原方程组的解为． （2）解：∵ ∴解不等式，得． 解不等式，得． 原不等式组的解集为：． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列不等式组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，熟练掌握求不等式组解集的口诀，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到是解答本题的关键． （1）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可； （2）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可； （3）分别求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集即可． 【详解】（1）解: ， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为； （3）， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 24．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）已关于：的方程组，若方程组的解满足均为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先求出方程组的解，再根据均为负数得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （）根据（）所得的取值范围及绝对值的性质化简即可； 本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，绝对值化简，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足均为负数， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴，， ∴． 【经典计算题四 在数轴上表示不等式（组）的解集】 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及其解集在数轴上的表示， 首先解出不等式组中每个不等式的解集，然后找出两个不等式解集的公共部分，求出不等式组的解集，最后把不等式组的解集在数轴上表示出来即可．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 故不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图． 26．（24-25七年级下·全国·周测）解下列不等式，并在数轴上表示不等式的解集． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解不等式，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． （1）先解不等式，求出不等式的解集，再用数轴表示不等式的解集； （2）先解不等式，求出不等式的解集，再用数轴表示不等式的解集． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 解集在数轴上表示如图． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上： (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】（）先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了解一元一次不等式组，再数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：（）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组解集在数轴上表示如下： （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组解集在数轴上表示如下： 28．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）不等式①，得____________； （Ⅱ）不等式②，得____________； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （Ⅳ）原不等式组的解集为____________． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析；（Ⅳ） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键， （Ⅰ）解不等式①即可得解； （Ⅱ）解不等式②即可得解； （Ⅲ）在数轴上表示出不等式①和②的解集即可； （Ⅳ）根据求不等式组解集的原则求解即可； 【详解】解：（Ⅰ）解不等式①，得； （Ⅱ）解不等式②，得； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示； （Ⅳ）由①②得和图知，原不等式组的解集为； 故答案分别为：，，． 29．（24-25七年级下·湖南湘潭·阶段练习）解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式及其在数轴上的表示，解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． （1）利用解一元一次不等式的法则求解即可； （2）利用解一元一次不等式的法则求解即可； （3）利用数轴表示不等式的方法表示即可，注意取等用实心，不取等用空心； （4）根据数轴即可表示出． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并，得， 系数化1，得， 故答案为：； （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 故答案为：； （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4）解：由图可知不等式组的解集为， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）已知为整数，关于，的方程组的解满足不等式组． (1)解关于，的方程组，并用的代数式表示出来； (2)求整数的值． 【答案】(1)方程组的解为 (2)的整数值为 【分析】本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． （1）利用加减消元法解关于，的方程组即可； （2）将（1）中关于，的方程组的解代入不等式组，得到关于的不等式组，解得的取值范围，再求出的整数值即可． 【详解】（1）解：， ，得：， 解得：， 把代入①，得：， ∴方程组的解为； （2）解：将代入不等式组， 得：，即， 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：， ∴的整数值为． 31．（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：并把解集表示在数轴上；    （2）解不等式组 解不等式组①，得______． 解不等式组②，得______． 将不等式①②的解集分别表示在数轴上：    则原不等式组的解集为______． 【答案】（1），数轴见解析；（2），数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示出不等式的解集： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出解集，找到它们的公共部分，即可得出结果． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 将不等式的解集在数轴上表示如图①．    （2）解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 将不等式①②的解集分别表示在数轴上：      则原不等式组的解集为． 32．（24-25七年级下·湖南常德·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【答案】杭杭的解答过程错误，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：有错误， ， 去分母：， 去括号：， 移项、合并：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如下． 【经典计算题五 不等式（组）有解计算】 33．（2024·湖南娄底·二模）若不等式组有解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式组的运算法则进行运算即可． 【详解】解：解不等式，得 解不等式，得 原不等式组有解，则 解得 【点睛】本题主要考查了不等式组的特殊解法，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 34．（2024七年级下·湖南湘潭·阶段练习）若不等式组有解，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后求其公共部分即可解答． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 ∵不等式组有解， ∴，即，解得：． 【点睛】本题主要考查了解不等式组、根据不等式解得情况求参数等知识点，正确求出不等式的解集是解答本题的关键． 35．（23-24七年级下·湖南常德·单元测试）已知关于的不等式组 (1)如果该不等式组有解，求的取值范围； (2)如果该不等式组有个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式组有解得出，解关于a的不等式即可； （2）不等式组有个整数解得出，解关于a的不等式组即可． 【详解】（1）解：∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：， 即此时的取值范围是． （2）解：关于的不等式组的解集为：， ∵该不等式组有个整数解， ∴四个整数解为，4，5，6， ∴， 解得：， 即此时的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解题的关键是根据不等式组解的情况列出关于a的不等式或不等式组． 36．（2024七年级下·湖南张家界·阶段练习）已知关于的不等式组． (1)若该不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在的范围内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1） 解不等式①，得， 解不等式②，得． 不等式组有且只有三个整数解， 不等式组的解集为， ，解得． （2）由（1）可得，当不等式组有解时，不等式组的解集为， ，解得． 又它的解集中的任何一个值均不在的范围内， ，解得， 的取值范围为． 37．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）已知关于x的不等式组 （1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围； （2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在的范围内，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，得出关于a的不等式组，从而求解； （2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，得出关于a的不等式组，从而求解． 【详解】解：（1）解不等式，得． 解不等式，得， ∵该不等式组有且只有三个整数解， ∴这三个整数解为3，4，5． ∴． ∴． （2）∵该不等式组有解，由（1）知． ∴该不等式组的解集为． 又它的解集中的任何一个值均不在的范围内， ∴． 解不等式组得符合题意的a的取值范围为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 38．（23-24七年级下·上海杨浦·阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7． （1）求5#x>0解集； （2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】（1）x＜4；（2）；（3）-1≤m＜0 【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可； （2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集； （3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0， 解得x＜4； （2）由题意，得：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：x＜3-m， 则不等式组的解集为； （3）∵该不等式组有3个整数解， ∴3＜3-m≤4， 解得-1≤m＜0． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 39．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． （1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据能被关于的不等式 “容纳”列式即可得到答案． 【详解】（1）解：不等式A的解集为：， A不符合题意； 不等式B的解集为：， ∴B不符合题意； 不等式C的解集为：， ∴C符合题意； 不等式组D的解集为：无解， ∴D不符合题意； 综上，能被不等式“容纳”的是：C． 故答案为：C； （2）解不等式得， 不等式被 “容纳”， ， ； （3）能被关于的不等式 “容纳”， ，不等式的解集为， ， 的取值范围为 40．（2024七年级下·全国·专题练习）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”．例如：不等式组：是的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式组________是不等式组的“子集”（填A或B）； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是________； (3)已知a，b，c，d为互不相等的整数．其中，，下列三个不等式组：，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为________． (4)已知不等式组有解，且是不等式组M的“子集”，请分别写出m、n满足的条件：________． 【答案】(1)A (2) (3) (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （3）由题意根据“子集”的定义得到，再根据a、b、c、d都是整数确定出各自的值，代入原式计算即可求出值； （4）由题意根据“子集”的定义确定出所求即可． 【详解】（1）解：A：的解集为，B：的解集为，M：的解集为， ∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集， 故答案为：A； （2）解：不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴， 故答案为：； （3）解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中， ∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：解不等式组M：得：， ∵不等式组M有解， ∴， ∵N：是不等式组的“子集”， ∴，， ∴， 故答案为：． 【经典计算题六 不等式（组）无解计算】 41．（23-24七年级下·湖南永州·期中）已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式组无解，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴． 【点睛】本题考查根据不等式组的解集的情况，求参数．熟练掌握不等式组的解集的确定方法：大大小小，无解了，是解题的关键． 42．（23-24七年级下·湖南株洲·开学考试）已知关于的不等式组无解，化简代数式． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式组无解，求出的取值范围，然后利用绝对值的意义化简即可求出值． 【详解】解：， 原不等式组无解， ， ， ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，绝对值的意义，求出的取值范围是解答此题的关键． 43．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式组无解可知，解之即可； （2）根据不等式组恰好有2022个整数解，那么整数解是从0开始到2021结束的自然数，由此可知，解之即可． 【详解】（1）解：∵不等式组无解， ∴， ∴； （2）解：∵不等式组恰好有2022个整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 44．（23-24七年级下·湖南永州·期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．． (1)若，则______． (2)若关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据定义得出，再解出方程，即可求解 （2）先根据定义得出，再结合可得关于x的不等式组，然后根据方程组无解，可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：∵， ∴， 即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是截一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 45．（23-24七年级下·湖南常德·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可； （2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可； （3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得，， 由②， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：由（1）可得，， ∵该不等式组只有4个整数解， ∴， 解得， ∴m的整数解是0． 46．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）不等式组， (1)当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； (2)要使不等式组无解，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法及无解问题，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集； （2）求出每个不等式的解集，根据不等式组无解即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 把解集表示在数轴上如下： ∴不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵使不等式组无解， ∴， 解得， 即m的取值范围是． 47．（24-25七年级下·湖南湘潭·单元测试）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)小颖填入数字后得到该不等式组的解集为，求出小颖填写的数字； (2)小明说：“当该一元一次不等式组无解时，在‘□’中填入的数字的取值范围大于．”请判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)小颖填写的数字为6． (2)小明的说法错误，理由见解析 【详解】解：（1）设小颖填写的数字为a， 则 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∵该不等式组的解集为， ∴，解得， ∴小颖填写的数字为6． （2）小明的说法错误，理由如下： 设在“□”中填入的数字为m， 由（1）可得，不等式组的解集为 ∵该一元一次不等式组无解， ∴，解得， ∴当该一元一次不等式组无解时，在“□”中填入的数字的取值范围小于等于，故小明的说法错误． 48．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②覆盖．特别地，若一个不等式（组）无解，则它被其他任意不等式（组）覆盖．例如：不等式被不等式覆盖；不等式组无解，被其他任意不等式（组）覆盖． (1)下列不等式（组）中，能被不等式覆盖的是_______（多选题）． A．     B．     C．    D． (2)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． (3)若关于x的不等式被覆盖，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．本题是阅读型题目，准确理解新定义并正确计算是解题的关键． （1）求出每一个不等式及不等式组的解集，利用题干的新定义判断即可； （2）求出关于x的不等式的解集，根据题干的新定义列出关于m的不等式即可求解； （3）根据题干的新定义，分两种情形列出关于m的不等式即可求解． 【详解】（1）解：解不等式得：，故不能被不等式覆盖； 解不等式得：，故不能被不等式覆盖； 解不等式组得：，故能被不等式覆盖； 不等式组无解，故被不等式覆盖； 故答案为：； （2）解不等式得：， ∵关于x的不等式被覆盖， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：， ∵关于x的不等式被覆盖， ∴当不等式有解时，， 解得：； 当不等式无解时，可得， 解得：； ∴或， 故答案为：或． 【经典计算题七 一元一次不等式的整数解计算】 49．（2025七年级下·全国·专题练习）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的正整数解；先解不等式，然后将解集表示在数轴上，根据数轴得出正整数解，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 由数轴可知，所求不等式的正整数解为． 50．（24-25七年级下·湖南常德·期中）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 【答案】； 【分析】本题考查求不等式的正整数解，先去分母，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出正整数解即可． 【详解】解： ∴， ∴满足条件的正整数解为：． 51．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）解关于x的不等式：，并求出最小整数解． 【答案】，最小整数解为． 【分析】本题考查了解不等式，注意：不等号两边同时除以负数，不等号方向要改变．先计算多项式乘以多项式，然后再移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小整数解为． 52．（2024七年级下·湖南邵阳·专题练习）已知不等式，它的最大整数解恰好是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解，将的值解出再代入方程即可得出的值．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．此题可先将不等式化简求出的取值，然后取的最大整数解代入方程，化为关于的一元一次方程，解方程即可得出的值． 【详解】解：由得 ， 所以最大整数解为， 将代入中， 解得． 53．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【答案】（）该不等式的负整数解为，；（）该不等式的正整数解为，，，． 【分析】（）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：（）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故该不等式的负整数解为，； （）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故该不等式的正整数解为，，，． 54．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算：解不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． (1) (2) (3) (4) (5)求不等式的正整数解． 【答案】(1)，数轴表示见解析； (2)，数轴表示见解析； (3)，数轴表示见解析； (4)，数轴表示见解析； (5)不等式的正整数解是：，数轴表示见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （2）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （3）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （4）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可； （5）按照解一元一次不等的步骤求出不等式的正整数解，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：， ∴， 整理得：， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （2）解： ∴， 整理得：， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （3）解：， ∴， 整理得：， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （4）解：， ∴， ∴， 这个不等式的解集在数轴上表示如图： （5）解： ∴， ∴， ∴， ∴不等式的正整数解是：， 这个不等式的正整数解在数轴上表示如图： 55．（23-24七年级下·湖南邵阳·阶段练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式： （1）先求出方程的解，再根据，求出a的取值范围即可； （2）求出的最大整数解，代入方程，求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：； （2）解，得： ∴不等式的最大整数解为， ∴当时，，解得：． 56．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读材料，回答问题： 已知，符号表示大于或等于的最小正整数，例如，，，… (1)填空：______； (2)若，则的取值范围是______； (3)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费9元，超过的，每超过加收2元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算： 当（单位：）时，（元） 当（单位：）时，（元） 某乘客乘车后付车费33元，求该乘客所行的路程的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）按材料上提供的计算方法确定答案即可； （2）按材料上提供的计算方法确定的取值范围算即可； （2）直接把代入，求出的范围即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：1； （2）若，则的取值范围是． 故答案为：； （3）因乘车费用，故该乘客乘车路程超过， 根据题意，可得 ， 解得， ∴， ∴． 答：该乘客所行的路程的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、一元一次不等式组解决实际问题等知识，根据材料上提供的方法，弄清实际意义，得到正确的结论是解题的关键． 【经典计算题八 一元一次不等式解的最值】 57．（23-24七年级下·山东烟台·阶段练习）已知是不等式的一个解，如果m是整数，求m的最大值． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的整数解．根据不等式的解满足不等式，将代入不等式，求出的取值范围，进而求出m的最大值整数值即可． 【详解】解：把代入不等式，得：， ∴， ∴， ∴m的最大整数值为． 58．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）已知不等式组 的整数解为4， 3， 2，求整数a的最小值 【答案】33 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组的整数解的情况建立关于a的不等式组，解之即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的整数解为4， 3， 2， ∴， 解得且， ∴， ∴整数a的最小值为33． 59．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）已知：代数式的值不小于代数式与1的差，求x的最大值． 【答案】最大值为4． 【分析】本题考查了解一元一次不等式的应用，解题的关键是能根据题意得出一元一次不等式．根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得． 故的最大值为：4． 60．（2024·河北石家庄·二模）已知两个实数：和． (1)计算：； (2)若m为正整数，与这两个数的平方和小于m，求m的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查实数的运算，求一元一次不等式的整数解： （1）利用分母有理化进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，求出不等式的整数解即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意得： 解得 ∴m取最小正整数值6． 61．（2024·河北石家庄·模拟预测）琪琪和佳佳计算算式“”． (1)琪琪不小心把运算符号“+”错看成了“－”，求此时的运算结果； (2)佳佳只将数字“11”抄错了，所得结果不超过7，求佳佳所抄数字的最小值． 【答案】(1)-15 (2)1 【分析】（1）由题意计算的结果即可； （2）设佳佳将数字“11”抄错了x，根据所得结果不超过7，列出不等式求解即可 【详解】（1）解：由题意得：， 所以此时运算结果为-15； （2）解：设佳佳将数字“11”抄成了x，由题意得： ， 解得：， 所以佳佳所抄数字的最小值为1． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算及不等式的应用，解决本题的关键是准确找出题目中的不等关系列出不等式． 62．（2024·湖南株洲·一模）已知整式，，其中B的一次项系数被污染． (1)若■是－2，化简； (2)当时，的值为18 ①求原题中■是几； ②若再添加一个常数a，使得A，B，a的和不为负数，求a的最小值． 【答案】(1) (2)①4；②-18 【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）①把x的值代入计算即可；②根据A + B的值为18得到A+ B+a≥0，解不等式得到答案． 【详解】（1）解：； （2）①设■＝m， 依题意得，， 解得m＝4； ②∵A + B=18， ∴A，B，a的和不为负数，有A + B+a≥0， 即，解得， ∴a的最小值为-18． 【点睛】本题考查的是整式的加减，解一元一次方程，解一元一次不等式，解题的关键是熟练正确计算． 63．（2024·湖南张家界·一模）已知两个整式，，其中系数被污染． （1）若是，化简； （2）若时，的值为18 ①说明原题中是几？ ②若再添加一个常数，使，，的和不为负数，求的最小值． 【答案】（1）；（2）①4；②-18 【分析】（1）直接根据整式的加减运算法则求解即可； （2）①设，然后将代入，从而得到关于的方程，求解即可；②根据以及，，的和不为负数，直接建立不等式求解即可． 【详解】解：（1） （2）①设，依题意得， 解之得， ②由于，所以、、的和不为负数时有． 即，解之得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查整式的混合运算，掌握基本的运算法则和顺序，并注意题中要求，是解题关键． 64．（2024·湖南湘潭·一模）如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果：其中“●”表示一个有理数． （1）已知●表示3， ①若输入数-5，求计算结果； ②若计算结果为8，求输入的数是几？ （2）若●表示非负数，且计算结果为0，求输入数的最大值． 【答案】（1）6；（2）①，② 【分析】（1）①根据流程图计算即可；②根据流程图得出方程，即可算出输入的数； （2）根据流程图得出不等式，即可算出求输入数的最大值． 【详解】解：（1）由题意得， （2）设输入数为，依题意得， 解之得， （3）设输入数为，●表示，依题意得， ，即 又，解之得，，所以输入数的最大值为． 【点睛】本题考查了有理数计算，一元一次方程，一元一次不等式等知识点，属于基础题型． 【经典计算题九 不等式组和方程相结合的计算】 65．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）若关于、y的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据，即可求得a的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， 即的取值范围为． 66．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于，的方程组，其中为非负数，为正数，求的整数解． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，解方程组得到含a的表示x和y的代数式，是解题的关键．首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y的代数式，根据方程的解满足x为非负数，y为正数，得到不等式组，解不等式组就可以得出的取值范围，最后求出其整数解即可． 【详解】解： ， 得：， 解得：； 得， 解得：， ∴ ， ∵x为非负数，y为正数， ∴， 解得：, ∴a的整数解为，，，，． 67．（23-24七年级下·广西河池·期末）若不等式的解集为，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先用、表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据即可得到关于和的方程，求得和的值，代入即可求解，根据不等式组的解求出得到关于和的方程是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∵不等式的解集为， ∴，， 解得：，， ∴． 68．（23-24七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 【答案】k的值为，0，1，2，3． 【详解】解： ①＋②，得，∴． ∵，∴，解得． 解不等式③，得．解不等式④，得． ∵关于x的不等式组有解，∴． 综上所述，． 故符合条件的整数k的值为，0，1，2，3． 69．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知关于的方程组且，． (1)求实数的取值范围； (2)化简． 【答案】(1)； (2)8或 【分析】（1）通过解方程组知，再由x，y均为正数即可求解m的取值范围． （2）根据（1）m的取值范围代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得， 因为，， 所以， 所以； （2）解：由（1）， 所以，， 所以． 【点睛】本题的主要考查二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算规律是解答的关键． 70．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x、y满足． (1)用含有x的代数式表示y； (2)当时，求x的取值范围； (3)当x、y满足，且时，求m的取值范围． 【答案】(1)（1） (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程，解一元一次不等式．能正确解方程组或不等式组是解此题的关键． （1）把含x的项迁移到等式的右边，化y的系数为1即可； （2）建立起关于x的不等式，求解即可； （3）先构造方程组，用含有m的代数式分别表示x，y，后建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：联立方程组， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 71．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于、的方程组（实数是常数）． (1)若此方程组的解也是方程的解，求常数的值； (2)若，满足，试化简：； (3)若方程①满足，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立得出，代入原方程组的第二个方程，得到关于的一元一次方程，即可求解； （2）根据加减消元法求得，根据题意列出不等式，得到，进而化简绝对值，即可求解； （3）根据（2）的结论，得出不等式组，解不等式组得出，然后计算，即可求解． 【详解】（1）解：联立 解得： 代入得， 解得：； （2）解： 得， 解得： 将代入①得 ∴ ∵ ∴ 解得：， ∴ ∴ （3）由（2）可得 ∵，， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，掌握解二元一次方程组与不等式组是解题的关键． 72．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案； （2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于的不等式组，解之可得答案；②根据子集方程的概念可得答案． 【详解】（1）解：①的解为， ②的解为， ③的解为， 由得， 由得：， 所以不等式组的解集为， 其中是不等式组的解的有，， 所以为不等式组的子集方程的是②③， 故答案为：②③； （2）①由得：， 由得：， 解方程得， 由题意知，， 解得； ②方程，都不是该不等式组的子集方程， 或，即， 故答案为：或． 【经典计算题十 一元一次不等式新定义计算】 73．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：．如：．求不等式的非负整数解． 【答案】0，1，2 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，新定义运算，解题的关键是理解题意，列出不等式，然后求出不等式的非负整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， 不等式即为：， 解得， ∴不等式的非负整数解是0，1，2． 74．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键．解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的解集是一个“对称集”， ∴， 解得． 75．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）定义新运算“”如下：当时，；当时，． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是新定义题，考查实数运算和解一元一次不等式，读懂定义和运用分类讨论思想是解题的关键． （1）可判断出，因此可用运算即可； （2）无法直接判断4和的大小，因此利用新定义分情况讨论． 【详解】（1）解：由题意知， ， ； （2）， 当，即时 ， 解得， ； 当，即时 解得， ， 综上所述：x的取值范围是． 76．（23-24七年级下·湖南·期中）在实数范围内定义运算“※”：，例如：． (1)若，，计算的值； (2)若，求x的取值范围； (3)若，请判断a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）利用新定义的规定列式运算即可． （2）利用新定义的规定得到一元一次不等式，解不等式即可得出结论． （3）利用新定义的规定化简后，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解： ， ∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了实数的运算，解一元一次不等式，解题的关键是理解题意． 77．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对a、b定义一种新运算：. 如： (1)计算： . (2)若，求m、n的值. (3)若，求x的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的运算，掌握新定义下的运算，加减消元法，解一元一次不等式是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可得； （2）相据新定义进行计算得，再运用加减消元法进行计算即可得； （3）根据题意计算得，去括号，移项，系数法为1进行计算即可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 整理得， ，得， ， 将代入③，得， ， ∴方程组的解集为 （3）解： ． 78．（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)最大整数解是 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． （2）解：，， 则， 解得：． （3）解：，， 则， 解得：， 所以最大的整数解为． 79．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对x，y定义一种新运算F，规定：（其中m、n均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．已知：，． (1)求m，n的值； (2)求关于t的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用及不等式组的应用，理解题目中新定义的运算是解题关键． （1）按新定义代入计算，求出m与n的值即可； （2）根据题中新定义化简得出新不等式组，解不等式组求出解集即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，即； 解得：； （2）∵， ∴，； 根据题意可得： ； ， 解得：． 80．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________； (2)计算： ①；②； (3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求． 【答案】(1)51 (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据“慧泉数”的定义分析即可； （2）根据的定义求解即可； （3）根据（2）中②的结论可写出与的表达式，代入解不等式，结合“慧泉数”个位数字与十位数字的特点可得的值． 【详解】（1）解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”． （2）解：，． （3）解：，均为慧泉数， ，解得或或． 由，得的值等于的个位数字与十位数字之和， ，， ， ，解得． 或． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，充分理解新定义的概念是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04一元一次不等式与不等式组80道计算题专项训练（10大题型) 区【题型月录】 题型一利用不等式的性质解不等式 题型二解一元一次不等式 题型三解一元一次不等式组 题型四在数轴上表示不等式（组）的解集 题型五不等式（组）有解计算 题型六不等式（组）无解计算 题型七一元一次不等式的整数解计算 题型八一元一次不等式解的最值 题型九不等式组和方程相结合的计算 题型十一元一次不等式新定义计算 只计算专项训练 。经典例题 【经典计算题一利用不等式的性质解不等式】 1.(23-24七年级下山东烟台阶段练习)若x-4+(5.x-y-m)=0,求当y20时，m的取值范围. 2.(2025七年级下·全国专题练习)根据不等式的基本性质，将下列不等式化成x>a或x<a的形式： (1)-2x<-17; 3.(2425七年级下·全国·课后作业)根据不等式的性质解下列不等式： (1)5x+5<3x-2; (2)-3x+2<8. 4.(2324七年级下湖南株洲期末)已知y=G+b.当x=1时，y=3；当x=-2时，y=9, (I)求出k,b的值： (2)当x≤3时，求代数式y的取值范围. 5.(23-24七年级下：全国·课后作业)某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之间（包括60元和70元）， 买3个这样的键盘需要多少钱（用适当的不等式表示）？ 6.(23-24七年级下湖南湘潭阶段练习)根据等式和不等式的性质，可以得到：若a-b>0,则a>b:若 a-b=0,则a=b:若a-b<0,则a<b,这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小. (1)若a-b+2>0,则a+1b-1(填>=”或“<"). (2)已知A=5m°-7m+2,B=7m2-m+4,试比较A,B的大小. x2-2x-3① 2+2>3 7.(2024七年级下江苏专趣练习)以下是明明解不等式组1 的解答过程 2 解：由①，得x+2x2-3,步骤1 所以3x2-3…步骤2 所以x2-1步骤3 8,得->}2。步强4 所以 2步骤5 所以x>1.步骤6 所以原不等式组的解是x>1步骤7 指出明明的解答过程从第几步出现了错误，请写出正确的解答过程， 8.(23-24七年级下，安徽安庆阶段练习)【阅读材料】： “已知x,y均为非负数，且满足x+y=8,求2x+3y的范围”，有如下解法： x+y=8, x=8-y, x,y是非负数， x20即8-y20, .0≤y≤8， :2x+3y=28-y+3y=16+y, .16≤16+y≤24， .16≤2x+3y≤24 【回答问题】：已知x-2y=10,x>-2,y<0. (1)试确定y的取值范围； (2)求出3x+y的取值范围. 【经典计算题二解一元一次不等式】 9.(24-25七年级下·湖南益阳·期末)解不等式：-2(x-)>x+5. 10.(24-25七年级下湖南湘潭期末)解不等式（组）： (1)1-x≤2x-2; [2x+1<3x+3 ox-<x+ 3 11.(24-25七年级下，湖南常德阶段练习)解下列不等式和不等式组： (1)2x+1>3x-4: x-221 ②2(x-1<x+3 12.(2025七年级下全国专题练习)解下列不等式： (1)3x+2-128-2(x-1: 22-110r-5、 x-5. 36 4 a 13.(2025七年级下，全国专题练习)我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 c d la b=ad-be, c d 例如： 14.(2425七年级下，湖南张家界期中)定义关于@的一种运算：a@b=a+2b,如2@3=2+6=8. (1)若3@x<7,求x的取值范围. (2)若关于x的不等式3(x+1)≤8-x的解和x@a≤5的解相同，求a的值. 15.(2025七年级下·全国：专题练习)如果不等式①的解都是不等式②的解，那么称不等式①是不等式②的“蕴 含不等式”，例如：不等式x>3的解都是不等式x>1的解，则称不等式x>3是不等式x>1的“蕴含不等式” (1)若不等式x<-6是不等式3x-1)<2x+m的“蕴含不等式”，求m的取值范围： (2)已知x<-2n+4是x<2的蕴含不等式”，试判断x>n+3是不是x>2的蕴含不等式”，并说明理由. 16.（2024浙江嘉兴一模)以下是甲、乙两位同学解不等式+2-1+2“>1的过程： 23 甲： 乙： 去分母，得：3(x+2)-21+2x)>1 1,2x >1 去括号，得：3x+6-2+4x>1 移项，得： +2x,1-1*3 2T31 移项，得：3x+4x>1-4 合并同类项，得：7x>-3 合并同类项，得：石>3 71 6 你认为他们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程. 【经典计算题三解一元一次不等式组】 17.(2024七年级下，全国专题练习)求绝对值不等式x+1≤2的解集 18.（2425七年级下全国课后作业)解不等式组：-2≤20-30≤7. 5 2(x-1<3x-1 9.2025陕西西安一模)解不等式组4r3x-1≤2 20.(2425七年级下潮南菱底阶段练习)(1D计第：-42-3引+4× 5x-2<3x+3① (2)解不等式组： 2x-22x-1② 3 21.(23-24七年级下·四川成都期中)解不等式（组）： 0-1s5+1 3x-x-2)26 (2) r+1s4r-1 3 22.(2425七年级下·全国期末)解方程组或不等式组： 3x+2y=5① 04x+2y=6@ 3x>x-2① 2rs2@ 2)1 23.(2025七年级下，全国专题练习)解下列不等式组： x>6-2x (1) 3+x x≤9 4 「2r+1<3 ②)x+1-3xs1 24 5x-1<3x+1) (3)12x-1_5x+1s1 32 x+y=-7-m 24.(24-25七年级下·湖南益阳阶段练习)己关于：，y的方程组 x-少=3m+1,若方程组的解满足，y 均为负数。 (1)求m的取值范围； (2)化简：m-3+m+2斗. 【经典计算题四在数轴上表示不等式（组）的解集】 [3-(2x-1)≥-2① 25.(2425七年级下·全国·课后作业)解不等式组 -10+21-)<3x-13并把解集在数轴上表示出来。 26.(2425七年级下·全国周测)解下列不等式，并在数轴上表示不等式的解集. (1)3(x-2)<2(7-x: -3-2-101234 1 、2x-1、 26 4 3-2-1012345 27.(2425七年级下·全国课后作业)解下列不等式组，并把解集表示在数轴上： -x+3<2① 0①{x+1_x-220@ L52 -5-4-3-2-1012345> -2x-小s40 21+3x>2x-1② 2 古432101234 x+326① 28.(2425七年级下湖南张家界阶段练习)解不等式组 2x-1≤9② 请结合题意填空，完成本题的解答 (I)不等式①，得 (Ⅱ)不等式②，得」 ()把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 0123456 (Ⅳ)原不等式组的解集为 x+22-2x-1① 29.(24-25七年级下，湖南湘潭阶段练习)解不等式组： 3x≤2x+1)②请结合图意填空，完成本圈的解 答 3-210123→ (1)解不等式①，得； (2)解不等式②，得； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (④)原不等式组的解集为 x-2y=3m 30.(24-25七年级下·湖南株洲期中)已知m为整数，关于x,y的方程组 2x+3y=-m+4 的解满足不等 式组 r<3 x+5y≤14 (1)解关于x,y的方程组，并用m的代数式表示出来： (2)求整数m的值， 31.(2425七年级下全国单元测试)Q)解不等式：2≤3江+2-1并把解集表示在数轴上， 3 4 -2-1012345→ 图① (2)解不等式组 -1s号240 x-3x-1)<7② 解不等式组①，得 解不等式组②，得· 将不等式①②的解集分别表示在数轴上： -5-43-2-1012345> 图② 则原不等式组的解集为 2,(2425七年级下测南常德期中)学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式，3，<1的 过程如下： x-1_3x-2<1 24 解：去分母得：2(x-1)-3x-2<1 去括号得：2x-2-3x-2<1 移项得：2x-3x<1+2+2 合并同类项得：-x<5 两边都除以-1得：x<-5 上上 -101 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上， 【经典计算题五不等式（组）有解计算】 3x+1s2a 33.(2024湖南娄底二模)若不等式组 -2x-)54有解，求实数a的取值范围. x+1<a① 34.(2024七年级下湖南湘潭阶段练习)若不等式组 3x+5>r-7@有解，求实数a的取值范围. x>2 35.(23-24七年级下·湖南常德单元测试)已知关于x的不等式组 x<3a-2 (I)如果该不等式组有解，求a的取值范围： (2)如果该不等式组有4个整数解，求☑的取值范围. 4(2x-1)+2>7x 36.(2024七年级下·湖南张家界·阶段练习)已知关于x的不等式组 x<6x-a+1 7 (1)若该不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围： (2)若该不等式组有解，且它的解巢中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求的取值范围。 4(2x-1+2>7x 37.(23-24七年级下湖南益阳期末)已知关于x的不等式组{ (1)若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围： (2)若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求的取值范围. 38.(23-24七年级下·上海杨浦阶段练习)对于任意实数a,b,定义一种新运算：a场=a-3b+7,等式右边 是通常的加减运算.例如：3#5=3-3×5+7. (1)求5>0解集： (2)若3<2枚<7有解，求x的取值范围： (3)在(2)的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围. 39.(23-24七年级下湖南怀化期中)若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不 等式（组）①被不等式（组）②容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解.例如：不等式 x>1被不等式x>0“容纳”： (1)下列不等式（组）中，能被不等式x<-3“容纳”的是； f3x<-8 A.3x-2<0B.-2x+2<0C.-19<2x<-6D. 4-x<3 (2)若关于x的不等式3x-m>5x-4m被x≤3“容纳”，求m的取值范围； (3)若x>0能被关于x的不等式(a-3)x<6-2a“容纳”，求a的取值范围. 40.(2024七年级下·全国·专题练习)定义：给定两个不等式组P和Q,若不等式组P的任意一个解，都是 x>2 不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的子集”.例如：不等式组：M: 是W:>-2 x> x>-1 的子集