专题06 一元一次不等式（组）易错必刷题型专训（78题26个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题06 一元一次不等式（组）易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一 不等式的定义】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知是关于的一元一次不等式，求这个不等式的解集． 【易错必刷二 不等式的性质】 4．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，请写出一个有理数，使，你所写的有理数是 ． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【易错必刷三 不等式的解集】 7．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是 ． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）在，，0，，1，3，5中，哪些值是的解？哪些是的解？ 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．（23-24七年级下湖南株洲·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 12．（23-24七年级下·湖南常德·期中）已知是关于x的一元一次不等式． (1)求m的值． (2)求出原一元一次不等式的解集． 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）下列各数：，0，1，1.5，．其中是不等式的解的是 ；是不等式的解的是 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果关于x的不等式与的解集相同，请根据下面两名同学的提示求a的值． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 17．（2025七年级下·全国·专题练习）一元一次不等式的最小整数解是 ． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【易错必刷七 在数轴上表示不等式的解集】 19．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 21．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【易错必刷八 一元一次不等式组的定义】 22．（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 23．（23-24七年级下·全国·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ． 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【易错必刷九 求不等式组的解集】 25．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 26．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：对于实数，表示不大于的最大整数．例如：，，．如果，那么的取值范围是 ． 27．（23-24七年级下·湖南永州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，，解决下列问题： (1) ； ； (2)，则x的取值范围是 ；若，则y的取值范围是 ； (3)已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 【易错必刷十 求一元一次不等式组的整数解】 28．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）关于x的一元一次不等式组的所有整数解的积是（   ） A．2 B．0 C． D． 29．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）关于的一元一次不等式组的整数解为 ． 30．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）解不等式（组）： (1)解不等式：； (2)解不等式组，并求该不等式组的非负整数解． 【易错必刷十一 由一元一次不等式组的解集求参数】 31．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）已知不等式组的解集是，则 ． 33．（2024七年级下·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【易错必刷十二 解特殊不等式组】 34．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C． D． 35．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，小圆A表示不等式2x﹣1≥3的解集，大圆B表示关于x的不等式m﹣x＜1的解集，则字母m的取值范围是 ． 36．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则； 即可以写成： ； 解不等式组得：； 当若，则， 即可以写成：， 解不等式组得：， 综合以上两种情况：不等式解集：或 （以上解法依据：若，则同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1) ； (2)． 【易错必刷十三 解|x|≥a型的不等式】 37．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 38．（23-24七年级·北京·期中）不等式的解集是 ． 39．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【易错必刷十四 由不等式组解集的情况求参数】 40．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）若关于x的不等式的整数解共有3个．则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2025七年级下·湖南邵阳·学业考试）若不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 42．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围． 【易错必刷十五 一元一次不等式解的新定义运算】 43．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 44．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）在实数范围内定义一种新运算“”其运算规则为：，如． （1）若，则 ． （2）若关于的方程的解为非负数，求的取值范围． 45．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是多少？ 【易错必刷十六 不等式组和方程组结合的问题】 46．（23-24七年级下·福建南平·期末）已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 47．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知中的x，y满足，k的取值范围是 ． 48．（23-24八年级·全国·假期作业）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的相伴方程． （1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的相伴方程，求k的取值范围； （2）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的相伴方程，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式组的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n的取值范围． 【易错必刷十七 列一元一次不等式】 49．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉嘉将某服饰店的促销活动内容告诉淇淇后，淇淇假设某一商品的定价为x元，并列出关系式，则下列哪项可能是嘉嘉告诉淇淇的内容（    ） A．买两件该商品可减150元，再打2折，最后不到1600元 B．买两件该商品可减150元，再打8折，最后不到1600元 C．买两件该商品可打2折，再减150元，最后不到1600元 D．买两件该商品可打8折，再减150元，最后不到1600元 50．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a与1的差是非负数； (2)a的2倍比a与3的和小； (3)x的一半与3的差不大于2； (4)x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差． 【易错必刷十八 求一元一次不等式解的最值】 52．（2024·陕西西安·一模）若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？（　　） A．﹣15 B．﹣16 C．﹣17 D．﹣18 53．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 54．（2024·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【易错必刷十九 列一元一次不等式组】 55．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 56．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是 ． 57．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）阅读下面材料后，解答问题 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则：若，，则． 请解答下列问题： (1)①若则或 ___________； ②若则 ___________或 ___________； (2)根据上述规律，求不等式的解集． 【易错必刷二十 用一元一次不等式解决实际问题】 58．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）小柯用150元钱购买课外书和钢笔共10件，课外书和钢笔的单价如图所示，问小柯最多能买几本课外书？ 59．（2024·湖南永州·模拟预测）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 60．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（），是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举行．某村也要为市容做出一份努力，在“清洁乡村”活动中，村里要购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案： 方案一：买分类垃圾桶，需要费用4000元，以后每月的垃圾处理费用为300元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用为600元． 设交费时间为x个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为M元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为N元． (1)请直接用含x的式子表示方案一、二购买费用和垃圾处理费用M、N． M：________________，N：________________． (2)请你通过列式计算分析该村采用哪种方案更省钱． 【易错必刷二十一 用一元一次不等式解决几何问题】 61．（23-24七年级下·湖南邵阳·课后作业）若多边形有且只有四个钝角，那么此多边形的边数至多是多少？ 62．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 63．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）问题提出： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则． 问题解决： 如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小； 主图形得：；，， ∵，∴，则； 类比应用： （1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小； 联系拓展： （2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【易错必刷二十二 一元一次不等式组的新定义问题】 64．（23-24七年级下·湖南常德·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 65．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）定义新运算：，则不等式组的最大整数解为 ． 66．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【易错必刷二十三 不等式组的行程问题】 67．（2025七年级下·全国·专题练习）某人要走的路程去办事，要在内到达．已知这个人每分钟可走，每分钟可跑．如果在规定时间内到达，至少要跑几分钟？ 68．（23-24七年级下·广西南宁·期末）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，每年6，7月份是荔枝销售旺季，为了保持荔枝的新鲜度，种植大户李大爷需要合理安排荔枝的采摘整理，装卸搬运和车辆运送事宜．已知从李大爷的种植基地到水果集散中心要走两段道路，一段是三级路，一段是二级路．其中三级路比二级路短，两段路总长为． (1)从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路和二级路的路程各是多少？ (2)荔枝采摘整理后要及时送往水果集散中心冷库保鲜，因此装卸搬运和运送时间不能超过6小时．运送过程中，车辆在三级路的行驶速度为30km/h，在二级路的行驶速度为70km/h，那么装卸搬运最多能用多少小时？ 69．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）嘉淇沿公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，用某运动软件记录了跑步的运动轨迹，她每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于． （1）当嘉淇跑了时，她正在跑第 圈； （2）若嘉淇跑了且恰好回到起点，则该环形跑道一圈的周长为 ． 【易错必刷二十四 不等式组的工程问题】 70．（2024·湖南常德·三模）（1）解不等式组：； （2）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要多少天才能完成该工程？ 71．（2024·湖南邵阳·模拟预测）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 72．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【易错必刷二十五 不等式组的经济问题】 73．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）空气炸锅利用高速空气循环技术煎炸各种美味食物，既安全又经济．某品牌空气炸锅进价为元，标价为元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则至多打几折时销售最优惠？ 74．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的倍，且单价比第一批贵元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于元，那么销售单价至少为多少元？ 75．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）当阳的玉泉仙人掌茶是当地著名的土特产．友谊茶叶店购进一批玉泉仙人掌茶，已知第一次购进时，每千克茶叶的进价是m元，花费了元．第二次购进时，每千克茶叶的进价提高了，用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克． (1)求m的值； (2)该茶叶店以每千克800元的价格销售玉泉仙人掌茶，当销售了一部分后，剩下的茶叶按照售价的八折进行销售．若两次购进的茶叶全部售完后，总利润不低于元，求按八折销售的茶叶最多是多少千克？ (3)由于茶叶市场热度提升，该茶叶店打算再次购进玉泉仙人掌茶，准备在第一次进价基础上加价标价，再打九折出售，这样每千克仍可获利100元，求a的值．（a取整数） 【易错必刷二十六 一元一次不等式组的其他综合应用】 76．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 77．（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 78．（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次不等式（组）易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一 不等式的定义】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．根据不等式概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是不等式，不符合题意； B、是不等式，不符合题意； C、是等式，不是不等式，符合题意； D、是不等式，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，是校园内限速标志，若用V表示速度，请用含字母V的不等式表示这个标志的实际意义 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．正确的识图，是解题的关键． 根据题意，列出不等式即可． 【详解】解：由图可知：； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知是关于的一元一次不等式，求这个不等式的解集． 【答案】x＜-1 【分析】先根据一元一次不等式的概念得出k的值，代入不等式，解之可得答案． 【详解】解：∵（k+3）x|k|-2+5＜k-4是关于x的一元一次不等式， ∴k+3≠0且|k|-2=1， 解得k=3， 则不等式为6x+5＜3-4， 解得x＜-1． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤． 【易错必刷二 不等式的性质】 4．（2025七年级下·全国·专题练习）给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行逐个分析，作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故说法①正确； ∵， ∴， 故说法②错误； ∵且， ∴， 故说法③错误； ∵， ∴， 若，则，故； 若，则，故大小关系不能判断； 故说法④错误； 故选A． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，请写出一个有理数，使，你所写的有理数是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向要改变，即可解答即可求解，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，当时， ， ∴， 故答案为：．（答案不唯一） 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：，， 根据不等式的基本性质3，得， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得． 【易错必刷三 不等式的解集】 7．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据关于的不等式的解集为，得出的关系，即可求出答案． 【详解】关于的不等式的解集为， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变． 8．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）已知，是一次函数图象上不同的两个点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及不等式求解，根据一次函数的性质即可求出的范围． 【详解】是一次函数图像上不同的两个点 两式相减可得： 即： 故答案为：． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）在，，0，，1，3，5中，哪些值是的解？哪些是的解？ 【答案】不等式的解有，－1，0，；不等式的解有3，5． 【分析】解出第一个不等式的解集，分别找出满足两个解集的解即可． 【详解】解：不等式，可解得， ∵，，0，均小于1， ∴不等式的解有，－1，0，； ∵3，5均大于等于2， ∴不等式的解有3，5． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的定义是解题关键． 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，①；②；③；⑥都是一元一次不等式， ∴一元一次不等式有4个， 故选：B． 11．（23-24七年级下湖南株洲·期中）若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义可知，，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·湖南常德·期中）已知是关于x的一元一次不等式． (1)求m的值． (2)求出原一元一次不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可． （2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，解得，， 所以． （2）解：原一元一次不等式为， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【点睛】题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式两边同时乘上6，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴不等式两边同时乘上6，得， 故选：D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）下列各数：，0，1，1.5，．其中是不等式的解的是 ；是不等式的解的是 ． 【答案】 1.5 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，解题的关键是根据不等式的基本性质进行求解． 分别对两个不等式进行求解，依据不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变的性质． 【详解】①不等式， 不等式两边同时除以（因为，不等号方向不变）， 得到， 数，，0，1，1.5，中，1.5是不等式的解 故答案为：1.5； ②不等式， 不等式两边同时除以（因为，不等号方向改变）， 得到 数，，0，1，1.5，中，是不等式的解， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果关于x的不等式与的解集相同，请根据下面两名同学的提示求a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，正确求解是解题的关键． 分别解两个不等式，进而得出，即可求解． 【详解】解：， 解得：， 解得： ∵不等式与不等式的解集相同， ， ． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的非负整数解有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，先移项、合并同类项、系数化为1，再根据解集求出非负整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 即不等式的解集为， 非负整数有：2、1、0三个． 故选A． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）一元一次不等式的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，合并同类项，然后系数化为1，得出不等式的解，最后得出最小整数解即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最小整数解是． 故答案为：． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）解不等式，并写出它的负整数解； （2）解不等式，并写出它的正整数解． 【答案】（）该不等式的负整数解为，；（）该不等式的正整数解为，，，． 【分析】（）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，求出不等式解集，然后根据解集写出负整数解即可； 本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解：（）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 故该不等式的负整数解为，； （）去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故该不等式的正整数解为，，，． 【易错必刷七 在数轴上表示不等式的解集】 19．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式解集的表示方法是解题的关键．根据不等式解集的表示方法，即可解答． 【详解】 解：若不等式的解集为，在数轴上表示如图所示： 故选：D． 20．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）解不等式组：请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式及其在数轴上的表示，解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． （1）利用解一元一次不等式的法则求解即可； （2）利用解一元一次不等式的法则求解即可； （3）利用数轴表示不等式的方法表示即可，注意取等用实心，不取等用空心； （4）根据数轴即可表示出． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并，得， 系数化1，得， 故答案为：； （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 故答案为：； （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如图： （4）解：由图可知不等式组的解集为， 故答案为：． 【易错必刷八 一元一次不等式组的定义】 22．（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 23．（23-24七年级下·全国·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ． 【答案】m≠－2 【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m的求值． 【详解】mx－8≤4－2x， mx＋2x≤4＋8， (m＋2)x≤12， ∴m＋2≠0， 解得m≠－2， 故答案为m≠－2． 【点睛】此题主要考查不等式的定义． 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？ (1)；(2)；(3)；(4)；(5). 【答案】见解析 【分析】（1）中含有等号，是方程不是不等式； （2）x2的次数是二次，故不是一元一次不等式组； （3）符合一元一次不等式组的定义； （4）含有两个未知数，故不是一元一次不等式组； （5）符合一元一次不等式组的定义. 【详解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组； (2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； (3)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； (4)含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组； (5)符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组． 综上，可知(3)(5)是一元一次不等式组． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 【易错必刷九 求不等式组的解集】 25．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）不等式组的解集为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴． 故选B． 26．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：对于实数，表示不大于的最大整数．例如：，，．如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，根据已知条件转化为一元一次不等式组是解题的关键． 根据已知条件得一元一次不等式组，解一元一次不等式组求得解集，即可求得． 【详解】根据题意得， ∴ 解得． 故答案为：． 27．（23-24七年级下·湖南永州·期中）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，，解决下列问题： (1) ； ； (2)，则x的取值范围是 ；若，则y的取值范围是 ； (3)已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 【答案】(1)，5 (2)； (3)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）根据和的意义，对相应的数进行分析即可； （3）利用加减消元法求出相应的，的值，再分析，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵是不大于的最大整数， ∴， ∵是大于的最小整数， ∴； （2）解：∵表示大于x的最小整数是，，， ∴， ∵表示不大于的最大整数是4，，， ∴； （3）解：解方程组得， 表示不大于y的最大整数是． ∵，， ∴． 表示大于x的最小整数是． ∵，， ∴． 【易错必刷十 求一元一次不等式组的整数解】 28．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）关于x的一元一次不等式组的所有整数解的积是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，确定整数解即可，本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式组求解是解题的关键． 【详解】∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为， ∴整数解为， 故选B． 29．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）关于的一元一次不等式组的整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后求整数解即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·湖南娄底·期中）解不等式（组）： (1)解不等式：； (2)解不等式组，并求该不等式组的非负整数解． 【答案】(1) (2)，不等式组的非负整数解为0，1 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解集为 不等式组的非负整数解为0，1． 【易错必刷十一 由一元一次不等式组的解集求参数】 31．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）已知关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和整数解个数得出关于a的不等式是解题的关键．先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集和已知不等式组的整数解有5个即可得出a的取值范围． 【详解】解：由不等式，得， 由不等式，得， ∵不等式组的整数解有5个， ∴整数解为：，，，，， ∴． 故选：C． 32．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）已知不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 解集为， ，， 解得，， ， 故答案为：． 33．（2024七年级下·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 【易错必刷十二 解特殊不等式组】 34．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若分式的值为0，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】由题意得：，且≠0， ∴x=2， 故选A． 【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 35．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图，小圆A表示不等式2x﹣1≥3的解集，大圆B表示关于x的不等式m﹣x＜1的解集，则字母m的取值范围是 ． 【答案】m＜3 【分析】由2x﹣1≥3得x≥2，⊙A在⊙B的内部，可知m﹣x＜1的解集x＞m﹣1比x≥2的范围大，可求m的取值范围． 【详解】解：解不等式2x﹣1≥3得x≥2， 解不等式m﹣x＜1得x＞m﹣1， ∵小圆A在大圆B的内部， ∴m﹣1＜2， ∴m＜3． 故答案是：m＜3． 【点睛】本题运用了解不等式的知识点，关键是会用数形结合的观点分析问题． 36．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则； 即可以写成： ； 解不等式组得：； 当若，则， 即可以写成：， 解不等式组得：， 综合以上两种情况：不等式解集：或 （以上解法依据：若，则同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1) ； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题干给出的计算方法求解即可； （2）根据题干给出的计算方法求解即可； 【详解】（1）根据原不等式有： 或者： 解不等式组得： 或者， 综合以上两种情况：不等式解集：或 ； （2）根据原不等式有： 或者：， 解不等式组得： 或者：， 综合以上两种情况：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 【易错必刷十三 解|x|≥a型的不等式】 37．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 38．（23-24七年级·北京·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解:x＜-1时，-x+3+x+1＞2， 4>2 ∴x＜-1， -1≤x≤3时， -x+3-x-1＞2， x<0； x＞3时，x-3-x-1＞6，不成立. 故答案是:x<0 【点睛】考查绝对值不等式的解法，考查学生的计算能力，比较基础． 39．（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）已知、在数轴上分别表示、. (1)对照数轴填写下表： 、两点的距离 (2)写出数轴上到和的距离之和为的所有整数，并求这些整数的和； (3)若数轴上表示数a的点位于与6之间，求的值； (4)若x表示一个有理数，且，求有理数的取值范围． 【答案】(1)6；2；12 (2)0 (3)10 (4)或 【分析】（1）根据数轴上点表示的有理数，即可求出两点间的距离． （2）由数轴上两点间的距离，可得出只要在和7之间的整数均满足题意，进而即可求解． （3）由题意得：，去绝对值即可求解． （4）分类讨论：当时；当时；当时；去绝对值，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为； 当，时，A、B两点的距离为， 、两点的距离 6 2 12 故答案为：6、2、12． （2）7到的距离为，     7到之间的所有整数，均满足到和的距离之和为， ∴ 数轴上到7和的距离之和为14的所有整数有：，，，，，，，0，1，2，3，4，5，6，7； ， 答：所有这些整数的和为0． （3）由题意得：， 则． （4）当时， 不等式，即：， 解得：； 当时， 不等式，即， 则无解， 当时，不等式，即：， 解得：， 综上所述：有理数x的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离、解一元一次不等式及绝对值的意义，熟练掌握数轴上两点之间的距离及绝对值不等式的解法是解题的关键． 【易错必刷十四 由不等式组解集的情况求参数】 40．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）若关于x的不等式的整数解共有3个．则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用．分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到m的范围． 【详解】解：， 由①解得：， 由②解得：， 故不等式组的解集为， 由不等式组的整数解有3个，得到整数解为3，4，5， 则m的范围为． 故选：D． 41．（2025七年级下·湖南邵阳·学业考试）若不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，掌握不等式的性质求解，不等式组的取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质分别解出不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：不等式组的解集为， ∴， 故答案为： ． 42．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：，其中，等式右边是通常的加减运算．如：．若关于x的不等式组恰有3个整数解，求t的取值范围． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，新定义运算，熟练掌握不等式的解法及运算法则是解本题的关键．根据新定义得出关于x的不等式组，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可． 【详解】解：由题意得：．即， ∴， ∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解，8，9， ∴， 解得． 故t的取值范围是． 【易错必刷十五 一元一次不等式解的新定义运算】 43．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意易得，然后根据可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 44．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）在实数范围内定义一种新运算“”其运算规则为：，如． （1）若，则 ． （2）若关于的方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可． （2）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程得到x，再根据解为非负数，得到不等式，解之即可． 【详解】解：（1）∵， ∴x⊕4=2x-（x+4）=x-6=0， 解得：x=12； （2）∵， ∴ 解得：x=， ∵方程的解为非负数， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． 45．（23-24七年级下·湖南怀化·期中）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了求不等式的整数解，新定义运算，正确理解新运算公式得到不等式是解题的关键．根据新运算将不等式化为，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴可得， 解得：， ∴a的最大整数解为． 【易错必刷十六 不等式组和方程组结合的问题】 46．（23-24七年级下·福建南平·期末）已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程相减得出x﹣y＝1﹣2k，由0＜x﹣y＜1知0＜1﹣2k＜1，解之即可得出答案． 【详解】解：两个方程相减，得：x﹣y＝1﹣2k， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜1﹣2k＜1， 解得0＜k＜， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 47．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知中的x，y满足，k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程组两方程相减表示出，代入不等式计算即可求出k的范围． 【详解】解：， ①②得：， 代入不等式得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握其解法是解本题的关键． 48．（23-24八年级·全国·假期作业）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5．因为2＜3＜5．所以称方程2x﹣6＝0为不等式组的相伴方程． （1）若关于x的方程2x﹣k＝2是不等式组的相伴方程，求k的取值范围； （2）若方程2x+4＝0，1都是关于x的不等式组的相伴方程，求m的取值范围； （3）若关于x的不等式组的所有相伴方程的解中，有且只有2个整数解，求n的取值范围． 【答案】（1）3＜k≤4；（2）2＜m≤3；（3）4≤n＜6． 【分析】（1）首先求出方程2x﹣k＝2的解和不等式组的解集，然后根据“相伴方程”的概念列出关于k的不等式组求解即可； （2）首先求出方程2x+4＝0，1的解，然后分m＜2和m＞2两种情况讨论，根据“相伴方程”的概念即可求出m的取值范围； （3）首先表示出不等式组的解集，然后根据题意列出关于n的不等式组求解即可． 【详解】解：（1）∵不等式组为，解得， ∵方程为2x﹣k＝2，解得x， ∴根据题意可得，， ∴解得：3＜k≤4， 故k取值范围为：3＜k≤4． （2）∵方程为2x+4＝0，， 解得：x＝﹣2，x＝﹣1； ∵不等式组为， 当m＜2时，不等式组为， 此时不等式组解集为x＞1，不符合题意，应舍去； ∴当m＞2时不等式组解集为m﹣5≤x＜1， ∴根据题意可得，，解得2＜m≤3； 故m取值范围为：2＜m≤3． （3）∵不等式组为，解得1＜x， 根据题意可得，3，解得4≤n＜6， 故n取值范围为4≤n＜6． 【点睛】此题考查了新定义问题，一元一次方程和一元一次不等式组含参数问题，解题的关键是正确分析新定义的“相伴方程”概念，并列出方程求解． 【易错必刷十七 列一元一次不等式】 49．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉嘉将某服饰店的促销活动内容告诉淇淇后，淇淇假设某一商品的定价为x元，并列出关系式，则下列哪项可能是嘉嘉告诉淇淇的内容（    ） A．买两件该商品可减150元，再打2折，最后不到1600元 B．买两件该商品可减150元，再打8折，最后不到1600元 C．买两件该商品可打2折，再减150元，最后不到1600元 D．买两件该商品可打8折，再减150元，最后不到1600元 【答案】B 【分析】本题主要考查了由不等式联系实际问题，根据已知得出最后打7折是解题关键． 根据，可以理解为买两件减150元，再打8折得出总价小于1600元． 【详解】由关系式可知：， 由，得出两件商品减150元，以及由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件该商品可减150元，再打8折，最后不到1600元． 故选：B． 50．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过64分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）用不等式表示： (1)a与1的差是非负数； (2)a的2倍比a与3的和小； (3)x的一半与3的差不大于2； (4)x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． （1）根据非负数即列不等式即可． （2）根据题意直接列出不等式即可． （3）根据不大于即列不等式即可． （4）根据题意直接列出不等式即可． 【详解】（1）解：a与1的差是非负数即 （2）解：a的2倍比a与3的和小即 （3）解：x的一半与3的差不大于2即 （4）解：x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差即 【易错必刷十八 求一元一次不等式解的最值】 52．（2024·陕西西安·一模）若满足不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b，则a+b之值为何？（　　） A．﹣15 B．﹣16 C．﹣17 D．﹣18 【答案】C 【详解】解不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50，得：， ∵不等式20＜5﹣2（2+2x）＜50的最大整数解为a，最小整数解为b， ∴a=﹣5，b=﹣12， ∴a+b=（﹣5）+（﹣12）=﹣17. 故选C. 【点睛】本题考查不等式，解此题的关键在于先求出不等式的解集，再根据题意得到a，b的值，然后代入求值即可. 53．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ． 【答案】8 【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 54．（2024·河北石家庄·一模）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数． 例如： (1)___________，___________（用含的代数式表示） (2)若，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)的最小整数值为 【分析】（1）根据上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数即可得到答案； （2）根据题意求出，由得到，解不等式求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意得到，， 故答案为：， （2）由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴的最小整数值为． 【点睛】此题主要考查了整式的加减和求一元一次不等式的特殊解，理清题意和正确计算是解题的关键． 【易错必刷十九 列一元一次不等式组】 55．（23-24七年级下·湖南娄底·阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】船只顺流速度船静水中的速度水流流速， 船只逆流速度船静水中的速度水流流速， 根据“顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时”建立方程，即可得出答案． 【详解】根据题意，得， 故选：． 【点睛】此题是由实际问题抽象出二元一次方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题得关键． 56．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图，某长方体形状的容器长，宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用（单位：）表示新注入水的体积，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接利用长方体的体积公式得出答案． 【详解】解：∵某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm， ∴长方体容器的体积为：5×3×8＝120（立方厘米）， ∵容器内原有水的高度为2cm， ∴容器内原有水的体积为：5×3×2＝30（立方厘米）， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的应用，正确求出立体图形的体积是解题关键． 57．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）阅读下面材料后，解答问题 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （a）若，，则，若，，则； （b）若，，则：若，，则． 请解答下列问题： (1)①若则或 ___________； ②若则 ___________或 ___________； (2)根据上述规律，求不等式的解集． 【答案】(1)①，②， (2)或 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）根据题目中给出的信息，列出关于x的不等式组，然后解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：①若，则或； ②若，则或； 故答案为：①；②；． （2）解：， ∴①或②， 解不等式组①得：； 解不等式组②得：， ∴不等式的解集是或． 【点睛】本题主要考查了解不等式组的应用，解题的关键是理解题意，当时，或；当时，或． 【易错必刷二十 用一元一次不等式解决实际问题】 58．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）小柯用150元钱购买课外书和钢笔共10件，课外书和钢笔的单价如图所示，问小柯最多能买几本课外书？ 【答案】6本 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设购买x本课外书，支钢笔，利用总价＝单价数量，结合总价不超过150元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】解：设购买x本课外书，支钢笔， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为 答：小柯最多可买6本课外书． 59．（2024·湖南永州·模拟预测）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 60．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会（），是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举行．某村也要为市容做出一份努力，在“清洁乡村”活动中，村里要购买一些垃圾桶，商家给出了两种购买垃圾桶的方案： 方案一：买分类垃圾桶，需要费用4000元，以后每月的垃圾处理费用为300元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用1000元，以后每月的垃圾处理费用为600元． 设交费时间为x个月，方案一的购买费用和垃圾处理费用共为M元，方案二的购买费用和垃圾处理费用共为N元． (1)请直接用含x的式子表示方案一、二购买费用和垃圾处理费用M、N． M：________________，N：________________． (2)请你通过列式计算分析该村采用哪种方案更省钱． 【答案】(1)； (2)当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更省钱；当时，选择方案二更省钱． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，理解题意找到题目中的等量关系是解题关键． （1）方案一，根据每月垃圾处理费用300元，个月则需要垃圾处理费元，再加上买垃圾桶的费用即可得出关于的表达式，同理可得关于的表达式； （2）分，和时，三种情况讨论，由此列出方程或不等式，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，； 故答案为：；； （2）解：当时，即， 解得， 故交费时间为10个月时，两种方案费用相同； 当时，即， 解得， 故交费时间小于10个月时，选择方案二更省钱； 当时，即， 解得， 故交费时间超过10个月时，选择方案一更省钱． 【易错必刷二十一 用一元一次不等式解决几何问题】 61．（23-24七年级下·湖南邵阳·课后作业）若多边形有且只有四个钝角，那么此多边形的边数至多是多少？ 【答案】7 【分析】根据题意，列出一元一次不等式，求最大整数解即可． 【详解】设多边形的边数为，根据题意，得： 解得：， ∵n为正整数， ∴n=7， ∴此多边形的边数至多是7． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，理解题意列出一元一次不等式是解题的关键． 62．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 【答案】当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到了一元一次不等式，解题关键是列出一元二次方程并求解，本题根据生态园面积为96列出方程求解即可． 【详解】解：设生态园宽为x米， ， ∵要利用一面20米长的墙为一边， ∴， ∴， 此时长为， 答：当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米． 63．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）问题提出： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则． 问题解决： 如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小； 主图形得：；，， ∵，∴，则； 类比应用： （1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小； 联系拓展： （2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【答案】(1)；(2) 图5的方法用绳最短，图6的方法用绳最长 【分析】(1)根据两个代数式之差大于0，即可做出判断； (2)分别表示出图4的捆绑绳长为L1，图5的捆绑绳长为L2，图6的捆绑绳长为L3，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系． 【详解】(1)() ， 因为， 所以， 所以； (2)设图4的捆绑绳长为L1，则L1， 设图5的捆绑绳长为L2，则L2， 设图6的捆绑绳长为L3，则L3， ∵L1-L2， ∴L1＞L2， ∵L3-L2， ∴L3-L1=， ∵， ∴， ∴L3＞L1． ∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键． 【易错必刷二十二 一元一次不等式组的新定义问题】 64．（23-24七年级下·湖南常德·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ∴， 解得， 故选：C． 65．（23-24七年级下·湖南益阳·期末）定义新运算：，则不等式组的最大整数解为 ． 【答案】2 【分析】根据新定义运算，原不等式组可化为解这个不等式组，得．所以此不等式组的最大整数解为2． 【详解】解：由新定义可得：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最大整数解为2； 故答案为：2 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，理解新定义运算的含义是解本题的关键． 66．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集的关系，理解题中定义，正确得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键． 【易错必刷二十三 不等式组的行程问题】 67．（2025七年级下·全国·专题练习）某人要走的路程去办事，要在内到达．已知这个人每分钟可走，每分钟可跑．如果在规定时间内到达，至少要跑几分钟？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设在规定时间内到达，要跑，根据“要走的路程去办事，要在内到达”列出不等式求解即可． 【详解】解：设在规定时间内到达，要跑． 根据题意，得， 解得． 故如果在规定时间内到达，至少要跑． 68．（23-24七年级下·广西南宁·期末）“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人”，每年6，7月份是荔枝销售旺季，为了保持荔枝的新鲜度，种植大户李大爷需要合理安排荔枝的采摘整理，装卸搬运和车辆运送事宜．已知从李大爷的种植基地到水果集散中心要走两段道路，一段是三级路，一段是二级路．其中三级路比二级路短，两段路总长为． (1)从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路和二级路的路程各是多少？ (2)荔枝采摘整理后要及时送往水果集散中心冷库保鲜，因此装卸搬运和运送时间不能超过6小时．运送过程中，车辆在三级路的行驶速度为30km/h，在二级路的行驶速度为70km/h，那么装卸搬运最多能用多少小时？ 【答案】(1)三级路的路程是，二级路的路程是 (2)小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式成为解题的关键． （1）设从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，则二级路的路程是，然后根据等量关系“两段路总长为”列一元一次方程求解即可； （2）设装卸搬运的时间是y小时，然后根据不等式关系“装卸搬运和运送时间不能超过6小时”列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，则二级路的路程是， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：从种植基地到水果集散中心的路程中，三级路的路程是，二级路的路程是． （2）解：设装卸搬运的时间是y小时， 根据题意得：，解得：， ∴y的最大值为． 答：装卸搬运最多能用小时． 69．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）嘉淇沿公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，用某运动软件记录了跑步的运动轨迹，她每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．已知该环形跑道一圈的周长大于． （1）当嘉淇跑了时，她正在跑第 圈； （2）若嘉淇跑了且恰好回到起点，则该环形跑道一圈的周长为 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了不等式的应用，根据题意列出每的路程所在的圈数即可求出答案．再根据恰好跑3圈时，路程超过了，但小于，可得出时的圈数，即可求出跑道一圈的周长． 【详解】解：（1）嘉淇跑的时候，是第一圈， 嘉淇跑的时候，是第二圈， 嘉淇跑的时候，是第三圈， 嘉淇跑的时候，是第三圈， 嘉淇跑的时候，是第四圈， 故答案为：4． （2）嘉淇恰好跑3圈时，路程超过了，但小于， ∴嘉淇恰好跑9圈时，路程超过了，但小于， ∴嘉淇共跑且恰好回到起点，那么她共跑了10圈， ∴一圈的周长 故答案为：． 【易错必刷二十四 不等式组的工程问题】 70．（2024·湖南常德·三模）（1）解不等式组：； （2）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要多少天才能完成该工程？ 【答案】（1）；（2）甲还需要天才能完成该工程． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解分式方程的关键； （1）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）设甲还需要天才能完成该工程，由各部分的工作量之和等于1，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1） 由①得：， ∴， 解得：； 由②得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式组的解集为：； （2）设甲还需要天才能完成该工程，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意； 答：甲还需要天才能完成该工程． 71．（2024·湖南邵阳·模拟预测）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同. （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解； （2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000-y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析． 【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米. 根据题意得：.解得. 检验:是原分式方程的解. 答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米. 由题意，得 解得． 所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 72．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【易错必刷二十五 不等式组的经济问题】 73．（23-24七年级下·湖南湘潭·阶段练习）空气炸锅利用高速空气循环技术煎炸各种美味食物，既安全又经济．某品牌空气炸锅进价为元，标价为元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则至多打几折时销售最优惠？ 【答案】至多打七折时销售最优惠． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题干中的数量关系正确列不等式是解题关键．设促销活动打折销售，根据“利润率不低于”列不等式求解即可． 【详解】解：设促销活动打折销售， 由题意得：， 解得：，即最多可打七折， 至多打七折时销售最优惠． 74．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）随着电子技术的快速发展，小型无人机越来越受到孩子们的青睐，“元旦”前夕，某玩具商店用元购进一批小型无人机，销售时发现供不应求，销售完后又用元购进一批同型号的小型无人机，已知第二批小型无人机的数量是第一批的倍，且单价比第一批贵元． (1)第一批小型无人机的单价是多少元？ (2)若两次购进的小型无人机按同一价格销售，要使小型无人机全部售完后利润不少于元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】(1)第一批小型无人机的单价是元 (2)销售单价至少为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设第一批小型无人机的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设小型无人机销售价格为元，根据题意“小型无人机全部售完后利润不少于元，”列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）设第一批小型无人机的单价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验是原分式方程的解． 答：第一批小型无人机的单价是元． （2）第一批小型无人机的数量是． 设小型无人机销售价格为元． 根据题意，得． 解得，． 答：销售单价至少为元． 75．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）当阳的玉泉仙人掌茶是当地著名的土特产．友谊茶叶店购进一批玉泉仙人掌茶，已知第一次购进时，每千克茶叶的进价是m元，花费了元．第二次购进时，每千克茶叶的进价提高了，用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克． (1)求m的值； (2)该茶叶店以每千克800元的价格销售玉泉仙人掌茶，当销售了一部分后，剩下的茶叶按照售价的八折进行销售．若两次购进的茶叶全部售完后，总利润不低于元，求按八折销售的茶叶最多是多少千克？ (3)由于茶叶市场热度提升，该茶叶店打算再次购进玉泉仙人掌茶，准备在第一次进价基础上加价标价，再打九折出售，这样每千克仍可获利100元，求a的值．（a取整数） 【答案】(1)的值为； (2)按照售价的八折进行销售的茶叶最多是千克； (3)a的值为． 【分析】此题考查了分式方程、一元一次不等式、一元一次方程的应用． （1）用同样多的钱购进的茶叶重量比第一次少了10千克，据此列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）先求出两次购进茶叶的数量，设按照售价的八折进行销售的茶叶是千克，则按照原价销售的茶叶是千克，总利润不低于，据此列不等式，解不等式即可得到答案； （3）每千克仍可获利100元，据此列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 答：的值为； （2）解：第一次购进茶叶（千克），第二次购进茶叶（千克）， 设按照售价的八折进行销售的茶叶是千克，则按照原价销售的茶叶是千克， 根据题意可得，， 解得，， 答：按照售价的八折进行销售的茶叶最多是千克； （3）解：根据题意可得，， 解得． 答：a的值为． 【易错必刷二十六 一元一次不等式组的其他综合应用】 76．（24-25七年级下·全国·课后作业）某学校的编程课上，一名同学设计了一个运算程序，如图所示． 按上述程序进行运算，程序运行到“判断x是否大于23”为1次运行．若该程序只运行了2次就停止了，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据程序流程图列出不等式组，然后再解不等式组即可． 【详解】解：依题意，得， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 故x的取值范围为． 77．（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 78．（23-24七年级下·河南商丘·期末）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，调水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水，则再接温水的时间为______s； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的总时长是，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学先接的开水，再接的温水，如果要使最后杯中水的体积不多于，大于，应接多长时间的开水？（接水时间取整秒数） 【答案】(1)14 (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 (3)应接或的开水 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程或根据不等关系列出不等式． （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； （3）解：根据题意得： 解得：， ∵x为整数， ∴或， 答：应接或的开水． 学科网（北京）股份有限公司 $$