专题03 平面内的两条直线易错必刷题型专训（81题27个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题03 平面内的两条直线易错必刷题型专训（81题27个考点） 【易错必刷一 生活中的平移现象】 1．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）某酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯．已知楼梯的宽度是米，楼梯的总长度为米，总高度为米，其侧面如图所示．已知这种地毯每平方米的售价是元．请你帮老板算下，购买地毯至少需要花费 元． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，凯瑞酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯，已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，已知这种地毯每平方米的售价是60元.请你帮助酒店老板算下，购买地毯至少需要多少元？ 【易错必刷二 对顶角的定义】 4．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 6．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）如图，直线，相交于点O，平分． (1)的对顶角是______， (2)若，求的度数． 【易错必刷三 对顶角相等】 7．（24-25七年级下·益阳·阶段练习）如图，直线，交于点，若增大，则（  ） A． 不变 B．增大 C．减少 D．增大 8．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，直线、被直线所截，，若，则的度数是 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）平面内有3条直线相交于一点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10条呢？n条呢？（不包括平角） （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立吗？ 【易错必刷四 同位角、内错角、同旁内角】 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，三角形的边在直线上，直线平行于分别交，于点，则图中共有内错角的对数为 ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示的是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角跳到终点角，可以走以下两条不同的路径： 路径1：． 路径2：． 试一试： (1)写出一条从起始角跳到终点角的路径； (2)从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出其路径；若不能，请说明理由． 【易错必刷五 垂线的定义理解】 13．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，，垂足为点，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是（   ） A．互为对顶角 B．相等 C．互补 D．互余 14．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，直线、相交于点，射线，垂足为点，若，则的度数为 ． 15．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，直线，相交于点．射线于点，，求的度数． 【易错必刷六 相交线】 16．（23-24七年级下·湖南永州·期中）平面上的三条直线最多可将平面分成（    ）部分 A．4 B．6 C．7 D．8 17．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    18．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【易错必刷七 用直尺、三角板画平行线】 19．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 20．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 21．（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【易错必刷八 平面内两直线的位置关系】 22．（2025七年级下·湖南邵阳·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 23．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 24．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图： （1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E； （2）线段 的长度是点C到AB的距离； （3）求三角形ABC的面积． 【易错必刷九 画垂线】 25．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 26．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 27．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图是小亮跳远后沙坑里的脚印示意图，直线表示起跳线，怎样测量他的跳远成绩？请作出测量示意图，简要叙述作法，并说明理由． 【易错必刷十 垂线段最短】 28．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，点表示一个村庄，表示一条河道．某测绘队沿河道路线上的动点进行测量，测量角度与线段的长度关系如表所示： 度数（） 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8 长度（） 693 587 549 550 570 620 则下面说法正确的是（   ） A．村庄到河道距离等于 B．村庄到河道距离小于 C．村庄到河道距离大于 D．村庄到河道距离等于 29．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修的公路旁有一家超市，现要在公路上建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，应建在处，其依据是 ． 30．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在 中，请用尺规作图法，在边上找一点D，连接，使最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【易错必刷十一 垂直于同一直线的两直线平行】 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 32．（2024·湖南株洲·一模）如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，即可得到．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是 ．（只需填序号） 33．（23-24七年级下·湖南常德·期中）已知：如图，∠1=∠2，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠CDG与∠B的关系，并说明理由． 【易错必刷十二 两直线平行同位角相等】 34．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是（   ） A． B． C． D． 35．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，点B在直线b上，且，若，则 ． 36．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知A，B，D，E在同一直线上，，求证：． 【易错必刷十三 两直线平行内错角相等】 37．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知，则三者之间的关系是（　　） A． B． C． D． 38．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长方形纸片的一角沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为 ． 39．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【易错必刷十四 两直线平行同旁内角互补】 40．（2025·湖南·模拟预测）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（　　） A． B． C． D． 41．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、与直线相交于、，，当 时，能使．    42．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图：已知，，你能确定与的数量关系吗？请说明理由．    【易错必刷十五 同位角相等两直线平行】 43．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）如图，已知在直线外有一点C，用“推三角板”的方法，经过点C作直线，则所作直线与直线平行，这种画法的依据是 ． 45．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由． 解：（已知） （　　）； （　　）； 又，（已知）， ___________（垂直的定义）； （　　）； 即______________________； ______________________（同位角相等，两直线平行）． 【易错必刷十六 内错角相等两直线平行】 46．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下： 下列说法正确的是（    ） A．小明的方法不正确，小亮的方法正确 B．小明的方法正确，小亮的方法不正确 C．小明和小亮的方法都不正确 D．小明和小亮的方法都正确 47．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点A，C 分别在射线，上，不添加辅助线，请写出一个能判断的条件 ． 48．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）完成下面推理过程．如图，点，分别在，上，连接、、，、分别交于点、，已知，求证：． 证明：（已知），（___________）， （等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， ___________（___________）． （已知）， ___________（等量代换）， ___________（内错角相等，两直线平行）， （___________）． 【易错必刷十七 同旁内角互补两直线平行】 49．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）如图，在四边形中，O为和的交点，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ． 51．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）填空：如图，，，图中哪些直线会平行？ 解：∵（已知）， ∴________________（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（________）， ∴________（________）， ∴（________）． 【易错必刷十八 利用平移的性质求解】 52．（2025七年级下·全国·专题练习）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8 53．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 54．（2025七年级下·湖南常德·模拟预测）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【易错必刷十九 点到直线的距离】 55．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）在下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是（　　） A． B． C． D． 56．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）    57．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在直角三角形中，，． (1)点B到的距离是_____________；点A到的距离是_____________． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求出这个距离． 【易错必刷二十 求平行线间的距离】 58．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，．若，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．不确定 59．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，垂足分别为D，F，则与之间的距离是 的长． 60．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）按下列要求画图并填空：    (1)如图，作边上的高，垂足为点，并过点作直线的平行线． (2)直线和直线的距离是线段_______的长． 【易错必刷二十一 利用平行线间距离解决问题】 61．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 62．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 63．（23-24七年级下·湖南娄底·假期作业）梯形中，平行于，对角线交于点，平行于，交腰于点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米． 【易错必刷二十二 根据平行线的性质求角的度数】 64．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图为户外坐椅的侧面图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则（   ） A． B． C． D． 65．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数是 ． 66．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如图，在三角形中，，点D在上． (1)求作线段，使得，且交于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【易错必刷二十三 根据平行线判定与性质求角度】 67．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图所示，直线被直线所截，且于点，在内部作射线中，已知，要使直线，则的度数应为（　　） A． B． C． D． 68．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，则等于 ． 69．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知，，求的大小． 【易错必刷二十四 根据平行线的性质探究角的关系】 70．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，已知，，则，，之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 71．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，，，则图中与相等的角（除外）共有 个． 72．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【易错必刷二十五 根据平行线判定与性质证明】 73．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列结论中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 74．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在的延长线上，，交于点F，且，P为线段上一动点，Q为上一点，且满足．．下列结论：①；②；③平分．其中正确的序号是 ． 75．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，在三角形中，点D，F分别在边上，连接并延长至E点，连接，已知，．试判断与的位置关系，并说明理由． 【易错必刷二十六 平行线的性质在生活中的应用】 76．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 77．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 78．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜，一束光线射在其中一块上，经另外一块反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明 【易错必刷二十七 平行公理推论的应用】 79．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 80．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）山西省多名山大川，爬山成为许多旅友喜爱的一项活动．某盘山天梯结构如图所示，支撑架，天梯“拐点”为点，且各点均在同一平面内，若，则的度数为 ． 81．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图1，，点P为直线上方一点． (1)若，，则度数为______； (2)猜想、、所满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，若点P为直线下方一点，此时、、满足怎样的数量关系？如图3，，若点P在直线和直线之间，此时、、又满足怎样的数量关系？请你在图2和图3中任选一个直接写出你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面内的两条直线易错必刷题型专训（81题27个考点） 【易错必刷一 生活中的平移现象】 1．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）如图所示的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查生活中的平移现象，仔细观察各选项图形是解题的关键． 根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一固定的方向移动相同的距离，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案． 【详解】解：A．不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意； B．不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意； C．不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不符合题意； D．是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）某酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯．已知楼梯的宽度是米，楼梯的总长度为米，总高度为米，其侧面如图所示．已知这种地毯每平方米的售价是元．请你帮老板算下，购买地毯至少需要花费 元． 【答案】1400 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为8米，6米， 即可得地毯的长度为6+8=14（米），地毯的面积为14×2=28（平方米）， 故买地毯至少需要28×50=1400（元）． 购买地毯至少需要1400元． 故答案为：1400． 【点睛】此题考查生活中的平移现象，解题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，凯瑞酒店准备进行装修，把楼梯铺上地毯，已知楼梯的宽度是2米，楼梯的总长度为8米，总高度为6米，已知这种地毯每平方米的售价是60元.请你帮助酒店老板算下，购买地毯至少需要多少元？ 【答案】购买地毯至少需要1680元 【分析】根据平移的性质可得，所需的地毯的总长度等于楼梯的总长度与总高度的和，从而求出所需地毯的总面积，即可解答． 【详解】如图， 利用平移线段，把楼梯的横、竖两面分别向下、向右平移， 即所需的地毯的总长度等于楼梯的总长度与总高度的和， 即可得地毯的长度为6+8=14（米）， 地毯的面积为14×2=28（平方米）， 故买地毯至少需要：28×60=1680(元). 答：购买地毯需要1680元． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【易错必刷二 对顶角的定义】 4．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角，解答即可． 【详解】解：根据对顶角的定义：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角，可知只有C项是对顶角， 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律．对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共对； ……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：； 故答案为：． 6．（23-24七年级下·湖南张家界·期中）如图，直线，相交于点O，平分． (1)的对顶角是______， (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意即可得； （2）根据题得，根据对顶角可得，根据，进行计算即可得． 【详解】（1）解：根据题意得，的对顶角是， 故答案为：； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角，角平分线，解题的关键是掌握这些知识点． 【易错必刷三 对顶角相等】 7．（24-25七年级下·益阳·阶段练习）如图，直线，交于点，若增大，则（  ） A．不变 B．增大 C．减少 D．增大 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角的性质，熟记对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：与是对顶角， ， 增大，也增大， 故选：B． 8．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，直线、被直线所截，，若，则的度数是 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 根据对顶角相等得出，根据平行线的性质得出． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）平面内有3条直线相交于一点，共有多少对对顶角？4条直线呢？10条呢？n条呢？（不包括平角） （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立吗？ 【答案】（1）3条直线相交于一点，共有6对对顶角；4条直线相交于一点，共有12对对顶角；10条直线相交于一点，共有90对对顶角；n条直线相交于一点，共有对对顶角． （2）若（1）中的直线两两相交（没有重复的交点），（1）中的结论仍然成立 【分析】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律． （1）由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． （2）由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解． 【详解】解：（1）如图， 图①中2条直线相交于一点共有对对顶角， 图②中3条直线相交于一点共有对对顶角， 图③中4条直线相交于一点共有对对顶角， ……， 根据上面的规律，10条直线相交于一点有对对顶角； 若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （2）（1）中的结论仍然成立．如图， 2条直线相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， 3条直线两两相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， 4条直线两两相交于一点（没有重复的交点）共有对对顶角， ……， 根据上面的规律，若有n条直线相交于一点（没有重复的交点），则可形成对对顶角． 【易错必刷四 同位角、内错角、同旁内角】 10．（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和不是同位角，故该选项不符合题意； B、和是同位角，故该选项符合题意； C、和不是同位角，故该选项不符合题意； D、和不是同位角，故该选项不符合题意； 故选：B． 11．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，三角形的边在直线上，直线平行于分别交，于点，则图中共有内错角的对数为 ． 【答案】对 【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可得到答案． 【详解】解：内错角有和，和，和，与，和，和，和，和，和，和， ∴图中共有内错角的对数为对． 故答案为：对． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图所示的是一个特殊的棋盘，游戏规则如下：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上．例如，从起始角跳到终点角，可以走以下两条不同的路径： 路径1：． 路径2：． 试一试： (1)写出一条从起始角跳到终点角的路径； (2)从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角？若能，写出其路径；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，． 【分析】本本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）路径为（内错角）（同旁内角）（答案不唯一）； （2）路径为（ 同位角 ）（ 内错角 ）（同旁内角）． 【详解】（1）解：路径为（内错角）（同旁内角）（答案不唯一）； （2）解：从起始角依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角． 其路径为（ 同位角 ）（ 内错角 ）（同旁内角）． 【易错必刷五 垂线的定义理解】 13．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，，垂足为点，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是（   ） A．互为对顶角 B．相等 C．互补 D．互余 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线的定义，余角与补角的定义，根据垂线的定义得到，则由平角的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与互余， 故选：D． 14．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，直线、相交于点，射线，垂足为点，若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】此题考查垂线的性质，对顶角的性质，根据对顶角和垂线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，直线，相交于点．射线于点，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的定义，角度的和差计算，解决本题的关键是根据图形，弄清楚角度之间的和差关系．由垂直可得的度数，结合的度数，根据角度的和差计算可得的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， ； 【易错必刷六 相交线】 16．（23-24七年级下·湖南永州·期中）平面上的三条直线最多可将平面分成（    ）部分 A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】题目主要考查相交线，理解题意，掌握相交线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，三条直线两两相交时将平面分为7部分， 故选C． 17．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 18．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图所示，直线、相交于点O，，，判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】，证明见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，垂直的定义等知识，根据可得，问题随之得解． 【详解】位置关系：． 理由如下：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【易错必刷七 用直尺、三角板画平行线】 19．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）下列说法正确的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】由对顶角的概念可判断A，由平面内直线与直线的位置关系可判断B，由过直线外一点画已知直线的平行线可判断C，由过一点画已知直线的垂线可判断D，从而可得答案． 【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意； 在同一平面内，两直线的位置关系有二种：平行，相交，故B不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不符合题意； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，描述正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平面内，直线与直线的位置关系，平行线的含义，垂直的性质，掌握以上基础的概念是解本题的关键． 20．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 21．（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 【易错必刷八 平面内两直线的位置关系】 22．（2025七年级下·湖南邵阳·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】此题主要考查平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．根据平行线的定义选择． 【详解】解：A．应该是不相交的两条直线，故错误； B．还有平行的情况，故错误； C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线，正确； D．应该是在同一平面内，故错误． 故选：C． 23．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【答案】 相交 垂直 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故答案为：相交；垂直． 24．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点．已知点A、B、C都在格点上． 按下列要求画图： （1）过点C和一格点D画直线CD，使AB∥CD；过点C和一格点E画AB的垂线CE，垂足为F，并在图中标出格点D和E； （2）线段 的长度是点C到AB的距离； （3）求三角形ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）CF；（3）3 【分析】（1）根据网格的特点即可作图，画出直线CD，CE，标出F点的位置； （2）根据点到直线的距离的定义即可判断； （3）根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】(1) 如图，直线CD，CE为所求，F点为所求； (2)由图可知，线段CF的长度是点C到AB的距离； 故答案为：CF； (3)△ABC的面积为3． 【点睛】此题主要考查直线、线段、垂线的作图，解题的关键是熟知垂线的定义． 【易错必刷九 画垂线】 25．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】根据垂线的定义可直接得出答案． 【详解】解：由垂线的定义可知，直线， 因此垂线经过的点是点C， 故选C． 【点睛】本题考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足． 26．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，线段和的端点A，B，C均在格点上，请按要求用无刻度的直尺在如图所示的网格中画图． （1）过点A画线段的垂线，垂足为点D； （2）作经段，； （3）在线段上确定点F，使得最小，在图中画出点F(保留作图痕迹)． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据网格线的特征画图； （2）根据网格线的特征画图； （3）根据两点之间线段最短求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）∵两点之间线段最短， ∴直接连接即可， 如图，点即为所求． 【点睛】本题考查了作图，熟悉网格线的特征是解题的关键． 27．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图是小亮跳远后沙坑里的脚印示意图，直线表示起跳线，怎样测量他的跳远成绩？请作出测量示意图，简要叙述作法，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可， 【详解】解：作法：过点作于点，则的长度即为小亮的成绩． （作图） 理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【易错必刷十 垂线段最短】 28．（24-25七年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，点表示一个村庄，表示一条河道．某测绘队沿河道路线上的动点进行测量，测量角度与线段的长度关系如表所示： 度数（） 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8 长度（） 693 587 549 550 570 620 则下面说法正确的是（   ） A．村庄到河道距离等于 B．村庄到河道距离小于 C．村庄到河道距离大于 D．村庄到河道距离等于 【答案】B 【分析】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短的含义，理解题意是解本题的关键．根据表格信息可得最短距离是549米，此时还不是垂线段，从而可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：村庄A到河道的距离小于549米． 故选：B． 29．（23-24七年级下·湖南永州·期中）如图，某地进行城市规划，在一条新修的公路旁有一家超市，现要在公路上建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，应建在处，其依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据直线外一点与直线上所有的点连接的线段中，垂线段最短，可知为了使超市距离车站最近，应建在处． 【详解】解：， 又直线外一点与直线上所有的点连接的线段中，垂线段最短， 为了使超市距离车站最近，应建在处． 故答案为：垂线段最短． 30．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在 中，请用尺规作图法，在边上找一点D，连接，使最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】画图见解析 【分析】本题考查的是过直线外一点作已知直线的垂线，垂线段最短，要使最短，则，即过作于即可． 【详解】解：如图， ∵最短，则最短， ∴过作的垂线，垂足为即可． 【易错必刷十一 垂直于同一直线的两直线平行】 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和．这样做的道理是（   ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线 【答案】B 【分析】由本题是平行线判定在实质中的应用，根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可作出判断． 【详解】解：亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平行的直线和， 则都垂直于同一直线，则，这样做的道理是垂直于同一条直线的两条直线平行 故选：B． 32．（2024·湖南株洲·一模）如图，小红看到工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线和，即可得到．请你帮小红从下列真命题中找到工人师傅画图的一个依据．真命题为：①连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；②在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（选自人教版初中数学教科书七年级下册第14页例）；③在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．”这个依据是 ．（只需填序号） 【答案】② 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可． 【详解】解：由题意：a⊥AB，b⊥AB， ∴（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）， 故答案为：②． 【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．（23-24七年级下·湖南常德·期中）已知：如图，∠1=∠2，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，试判断∠CDG与∠B的关系，并说明理由． 【答案】∠CDG=∠B，理由见解析 【分析】先证得，可得∠2=∠BAD，从而得到∠1=∠BAD，进而得到，即可求解． 【详解】解∶ ∠CDG=∠B，理由如下： ∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F， ∴∠BFE=∠BDA=90°， ∴， ∴∠2=∠BAD， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠BAD， ∴， ∴∠CDG=∠B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【易错必刷十二 两直线平行同位角相等】 34．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的余角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵直尺的上下两边平行， ∴． 故选：A． 35．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，点B在直线b上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平角的定义求得的度数，再根据平行线的性质即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 36．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，已知A，B，D，E在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握几种全等三角形的判定方法是解题的关键． 先由平行得到，再由即可证明． 【详解】证明：， ，即． ， ， 在和中， ． 【易错必刷十三 两直线平行内错角相等】 37．（24-25七年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，已知，则三者之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于H，依据平行线的性质，即可得到，即，进而得到．此题考查平行线的性质，解题关键是掌握平行线性质定理：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：如图所示，延长交于H， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 38．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长方形纸片的一角沿折叠，使点落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的折叠，平行线的性质，根据折叠的性质可以得到，由长方形可得，，根据平行线的性质即可求解．理解折叠的性质是关键． 【详解】解：∵将长方形纸片的一角沿折叠，， ∴， ∴，即， ∴， ∵长方形纸片中，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 39．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 【易错必刷十四 两直线平行同旁内角互补】 40．（2025·湖南·模拟预测）将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；根据题意，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故选C． 41．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、与直线相交于、，，当 时，能使．    【答案】105 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等．根据平行线的性质，得到的度数，再利用对顶角相等，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：105． 42．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图：已知，，你能确定与的数量关系吗？请说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质；根据平行线的性质可得，进而根据等式的性质即可得出结论． 【详解】解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴． 【易错必刷十五 同位角相等两直线平行】 43．（23-24七年级下·湖南株洲·阶段练习）如图所示，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法分析即可． 【详解】解：A、，由同位角相等，两直线平行，可得，不符合题意； B、，不能判定，符合题意； C、，由同旁内角互补，两直线平行，可得，不符合题意； D、，由内错角相等，两直线平行，可得，不符合题意； 故选：B ． 44．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）如图，已知在直线外有一点C，用“推三角板”的方法，经过点C作直线，则所作直线与直线平行，这种画法的依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了作图一复杂作图，平行线的判定，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握平行线的判定． 根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点C的直线与平行． 【详解】解：如图， 由图形痕迹可得，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 45．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，，，．与平行吗？与平行吗？抄写下面的解答过程，并填空或填写理由． 解：（已知） （　　）； （　　）； 又，（已知）， ___________（垂直的定义）； （　　）； 即______________________； ______________________（同位角相等，两直线平行）． 【答案】等量代换；同位角相等，两直线平行；；等式的性质；；；；． 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：，，理由如下： 如图所示， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， 又，（已知）， （垂直的定义）， （等式的性质）， 即， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：等量代换；同位角相等，两直线平行；；等式的性质；；；；． 【易错必刷十六 内错角相等两直线平行】 46．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下： 下列说法正确的是（    ） A．小明的方法不正确，小亮的方法正确 B．小明的方法正确，小亮的方法不正确 C．小明和小亮的方法都不正确 D．小明和小亮的方法都正确 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，平行线的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 根据作图的意义，平行线的判定解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故． 根据基本作图，得， 故． 故选：D． 47．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，点A，C 分别在射线，上，不添加辅助线，请写出一个能判断的条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答此类要围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：（答案不唯一）． 48．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）完成下面推理过程．如图，点，分别在，上，连接、、，、分别交于点、，已知，求证：． 证明：（已知），（___________）， （等量代换）， ___________（同位角相等，两直线平行）， ___________（___________）． （已知）， ___________（等量代换）， ___________（内错角相等，两直线平行）， （___________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据题意得到，可证明，得出，得到．可证明，即可得到结论． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 【易错必刷十七 同旁内角互补两直线平行】 49．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）如图，在四边形中，O为和的交点，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.可得，故此选项不符合题意； B. 不能得出或，故此选项不符合题意； C. 可得，故此选项符合题意； D. ，可得，故此选项不符合题意； 故选C． 50．（23-24七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，在下列四组条件中：①，②，③，④，能判定的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，逐一判断即可解答． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ； ④， ； 所以，能判定的是①②③， 故答案为：①②③． 51．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）填空：如图，，，图中哪些直线会平行？ 解：∵（已知）， ∴________________（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（________）， ∴________（________）， ∴（________）． 【答案】；；已知；3；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．利用同旁内角互补，两直线平行证明，根据，，得出，根据同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；已知；3；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【易错必刷十八 利用平移的性质求解】 52．（2025七年级下·全国·专题练习）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（　　） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，平移的距离的长度为7， 则之间的距离为7． 故选：B． 53．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了正方形的性质和平移的性质，求出阴影部分的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：如图， ∵将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形， ∴，， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：15． 54．（2025七年级下·湖南常德·模拟预测）如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平移的性质，平行线的性质，互余的性质，平角的定义解答即可； （2）根据平移的性质，线段和解答即可． 【详解】（1）解：∵，分别平移到和的位置， ∴． ∴． ∵与互余， ∴． ∴． ∵ ∴． （2）解：∵，分别平移到和的位置，， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，互余的性质，平角的定义，熟练掌握平移性质是解题的关键． 【易错必刷十九 点到直线的距离】 55．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）在下列图形中，线段的长表示点到直线的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的定义是解题关键．根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得答案． 【详解】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离的是A选项． 故选：A． 56．（23-24七年级下·湖南湘潭·期中）如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有 （填序号）    【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②不正确；根据点到直线的距离可判断③④⑤⑥． 【详解】解：①∵， ∴；故①说法正确； ②，由垂线的性质知与不垂直；故②说法错误； ③点C到的垂线段是线段的长度；故③说法错误； ④点A到的距离是线段的长度；故④说法正确； ⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤说法正确； ⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥说法错误； 综上：正确的是：； 故答案为：①④⑤． 57．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在直角三角形中，，． (1)点B到的距离是_____________；点A到的距离是_____________． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求出这个距离． 【答案】(1)8； 6 (2)图见解析；点C到的距离是 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的概念及等面积法是解题的关键， （1）根据点到直线的距离的概念进行求解即可得到答案； （2）过点作，则线段表示点C到的距离，再利用等面积法即可求得线段的长． 【详解】（1）解：∵三角形为直角三角形，，， ∵， ∴点B到的距离是的长度为8， ∵ ∴点A到的距离是的长度为6． 故答案为：8；6． （2）解：过点作，如图，线段即为所求． ，即， ， ∴点C到的距离是． 【易错必刷二十 求平行线间的距离】 58．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，．若，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，求出和是平行线和之间的距离，根据平行线间的距离处处相等求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 59．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，垂足分别为D，F，则与之间的距离是 的长． 【答案】 【分析】本题主要考查平行间的距离，先证明，由可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴与之间的距离是的长, 故答案为：． 60．（23-24七年级下·湖南益阳·阶段练习）按下列要求画图并填空：    (1)如图，作边上的高，垂足为点，并过点作直线的平行线． (2)直线和直线的距离是线段_______的长． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形的高及平行线的性质可进行求解； （2）根据（1）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：所作图形如下所示：    （2）解：由（1）可知直线和直线的距离是线段的长； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与作图及三角形的高，熟练掌握作图是解题的关键． 【易错必刷二十一 利用平行线间距离解决问题】 61．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 62．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 63．（23-24七年级下·湖南娄底·假期作业）梯形中，平行于，对角线交于点，平行于，交腰于点，如果三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米． 【答案】三角形的面积是平方厘米 【分析】四边形是梯形，可知，在梯形中，，在梯形中，，根据题意可知，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴平行线间的距离相等，即三角形的高相等， ∴在梯形中，；在梯形中，；在梯形中，，且， ∴， ∴， ∴三角形的面积是平方厘米． 【点睛】本题主要考查梯形，三角形的综合，掌握平行线间的距离相等，三角形的面积则相等，代数式中等量代换的计算方法等知识是解题的关键． 【易错必刷二十二 根据平行线的性质求角的度数】 64．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图为户外坐椅的侧面图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平角的定义等知识点，掌握两直线平行、内错角相等成为解题的关键． 由平角的定义可得，再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∵与地面平行， ∴． 故选：C． 65．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）城市几条道路的位置关系如图所示，道路与道路平行，道路与道路的夹角为．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线性质，三角形的外角性质．根据题意可知，再利用三角形的外角性质即可得到本题答案． 【详解】解：将图中与交点命名为，如下图所示： ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 66．（23-24七年级下·湖南娄底·期中）如图，在三角形中，，点D在上． (1)求作线段，使得，且交于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质． （1）利用基本作图作交于点E即可； （2）利用平行线的性质求得，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所作， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷二十三 根据平行线判定与性质求角度】 67．（23-24七年级下·湖南邵阳·期中）如图所示，直线被直线所截，且于点，在内部作射线中，已知，要使直线，则的度数应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定，要使直线，推出，根据垂线的定义可得，由，即可求解． 【详解】解：要使直线， 则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 68．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先证明，再根据两直线平行同旁内角互补可得的度数． 【详解】设的对顶角分别为 ， ， ． 故答案为： 69．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）如图，已知，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据“同位角相等，两直线判断”证明，然后根据“两直线平行，同位角相等”求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷二十四 根据平行线的性质探究角的关系】 70．（23-24七年级下·湖南常德·期中）如图，已知，，则，，之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，过点分别作的平行线，，则，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作的平行线，， ∵， ∴ ∴，，则 ∵ ∴ 即 ∴ 故选：C． 71．（24-25七年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，，，则图中与相等的角（除外）共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行线的性质以及角的等量代换，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴图中与相等的角（除外）有、、、、，共5个． 故答案为：5． 72．（24-25七年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键： （1）根据内错角相等，两直线平行可证明，则由两直线平行，同旁内角互补即可得到答案； （2）根据平行线的性质可证明，，则可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷二十五 根据平行线判定与性质证明】 73．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列结论中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质．利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、若，则，不能得到，故本选项符合题意； B、若，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、若，则（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、若，则（两直线平行，同旁内角互补），故本选项不符合题意； 故选：A． 74．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点E在的延长线上，，交于点F，且，P为线段上一动点，Q为上一点，且满足．．下列结论：①；②；③平分．其中正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据，得到，进而得到，推出，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分；故③正确； 故答案为：①②③ 75．（23-24七年级下·湖南株洲·期中）如图，在三角形中，点D，F分别在边上，连接并延长至E点，连接，已知，．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由同旁内角互补，两直线平行证明，再由平行线的性质和已知条件证明，则可得到． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错必刷二十六 平行线的性质在生活中的应用】 76．（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角，则第二次的拐角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等，可知，进而得出结果． 【详解】解：如图， ∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同， ∴， ∴， 故选：C． 77．（24-25七年级下·湖南益阳·阶段练习）如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 78．（23-24七年级下·湖南湘潭·期末）实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图有两块互相垂直的平面镜，一束光线射在其中一块上，经另外一块反射，两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明 【答案】会，理由见解析 【分析】作，，根据可得出，再由平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：． 理由如下：作，，如图， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知入射角等于反射角是解答此题的关键． 【易错必刷二十七 平行公理推论的应用】 79．（24-25七年级下·湖南常德·阶段练习）如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 过点E作，首先求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 80．（24-25七年级下·湖南株洲·阶段练习）山西省多名山大川，爬山成为许多旅友喜爱的一项活动．某盘山天梯结构如图所示，支撑架，天梯“拐点”为点，且各点均在同一平面内，若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，平行公理推论，掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，则，则得到，再由即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 81．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）如图1，，点P为直线上方一点． (1)若，，则度数为______； (2)猜想、、所满足的数量关系，并说明理由； (3)如图2，，若点P为直线下方一点，此时、、满足怎样的数量关系？如图3，，若点P在直线和直线之间，此时、、又满足怎样的数量关系？请你在图2和图3中任选一个直接写出你的结论． 【答案】(1) (2) (3)选择图2，，选择图3， 【分析】本题主要考查了平行线的公理以及性质， （1）过点P作平行，由平行线的公理可得出，由平行线的性质可得出，，即可求出，，进一步可求出的度数． （2）同（1）可得出，，进而可得出． （3）若选择图2，过点 P作，则，，进一步有，即可得出． 若选择图3， 过点P作，由平行线的公理可得出，由平行线的性质可得出，，进一步即可得出，即． 【详解】（1）解：过点P作平行，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）猜想：， 理由如下：如图：过点P作平行， ∵， ∴， ∴，， 即， ∴． （3）选择图2，过点 P作，如图， ∵， ∴， 则，， 即：， 选择图3， 过点P作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$