7.4.2超几何分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2超几何分布 1. 二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p). 若X~B(n, p)，则有 2.二项分布的均值与方差 3.古典概型概率计算公式 复习回顾 复习回顾 2．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大． 复习回顾 5．某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)： （1）恰有8次击中目标的概率； （2）至少有8次击中目标的概率． 复习回顾 复习回顾 探究1：已知100件产品中有8件次品, 分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列. 思考2：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布? 思考1：如果采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？ 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4, 0.08). 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 新知探究 解：由题意可知，X可能的取值为0, 1, 2, 3, 4. 思考3：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从什么分布？如何求X的分布列？ 提示：根据古典概型求X的分布列. 由古典概型的知识，得X的分布列为 从100件产品中任取4件, 样本空间包含 个样本点, 且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有k件次品的结果数为 . X 0 1 2 3 4 P 新知探究 一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为: 超几何分布: 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-(N-M)}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. P(X＝k)＝ （k＝m，m+1，m+2，……，r.） 记为X~H(N,n, M). N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数(如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数（如次品数) 提醒：正确理解其条件以及参数的意义 新知生成 ①总体中含有两类不同的个体； ②不放回地抽取； ③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量. 追问 怎样判断一个变量是否服从超几何分布？ 新知生成 B 新知应用 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布， 且N＝50, M＝1, n＝5. 例1 .从50 名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程. 因此甲被选中的概率为 新知应用 解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为 例2 .一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. ∴至少有1件不合格的概率为 直接法 间接法 新知应用 1. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率. 设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为 解： 课本练习P80 新知应用 2. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班. 假设每名候选人都有相同的机会被选到, 求甲班恰有2名同学被选到的概率. 设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为 解： 课本练习P80 新知应用 探究2：服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数. 令 ，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率. 我们猜想 新知探究 下面对均值进行证明. 证明：令m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 由随机变量的定义： 当m>0时， 当m=0时，类似可以证明结论依然成立. 若随机变量X服从超几何分布，则有 新知探究 解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为 例3.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60 个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用X表示样本中黄球的个数. (1) 分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2) 分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立, X服从超几何分布, X的分布列为 新知应用 3．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A牌的概率(精确到0.000 01)． 课本练习P81 新知应用 6.有一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率（精确到0.001）. 解:设摸出红球的个数为X,则X的所有可能值为0、1、2、3、4、5,且X服从超几何分布，其中N=30，M=10，n=5. 一次从中摸出5个球,摸到k(k=0,1,2,3,4,5)个红球的概率为 课本练习P81 新知应用 1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1) 求X的分布列与均值； (2) 求所选3人中至多有1名女生的概率. 解：(1) 由题意可知，X服从超几何分布，所以X分布列为 所得金额的均值为 (2) 所选3人中至多有1名女生的概率为 新知应用 二项分布、超几何分布有什么区别和联系？ 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体容量 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 (1)对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，随机变量的取值更集中于均值附近 (2)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，此时超几何分布近似二项分布；从方差角度看，由于,两个分布的方差也近似相等。 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 22 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 1.超几何分布 若随机变量X服从超几何分布，则 2.超几何分布的均值 归纳小结 P(Y＝1)＝C××＝，P(Y＝2)＝C××＝，P(Y＝3)＝＝. 故Y的分布列为 E(Y)＝3×＝. 3.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2. (1)求a和b的值； (2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的分布列与均值． 解：(1)因为E(X)＝2，所以0×＋3×a＋6×b＝2，即3a＋6b＝2.① 又＋a＋b＝1，得a＋b＝，② 联立①②，解得a＝，b＝. (2)P(X>0)＝，依题意知Y～B， 故P(Y＝0)＝＝， 下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 $$