7.4.2超几何分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 温故知新 1. 二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p). 若X~B(n, p)，则有 2.二项分布的均值与方差 3.古典概型概率计算公式 【探究1】已知100件产品中有8件次品, 分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列. 【思考2】如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布? 【思考1】如果采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？ 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4, 0.08). 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 解：由题意可知，X可能的取值为0, 1, 2, 3, 4. 【思考3】如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从什么分布？如何求X的分布列？ X 0 1 2 3 4 P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002 计算的具体结果(精确到0.00001)如下表所示： 提示：根据古典概型求X的分布列. 由古典概型的知识，得X的分布列为 从100件产品中任取4件, 样本空间包含 个样本点, 且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有k件次品的结果数为 . 【探究2】从探究1中我们能够抽象出一个数学模型：从含有M件次品的N件产品中，不放回地抽取n件产品，用X表示抽取的次品数，则 【思考】k的取值范围是多少？ ·100件产品中有8件次品，抽4次； ·100件产品中有8件次品，抽94次； 两个例子的抽取次品上下限分别是多少？ 一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为 超几何分布: 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 超几何分布的三个特征： ①总体中含有两类不同的个体; ②不放回抽样; ③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量. 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数，则X服从超几何分布，且N＝50, M＝1, n＝5. 【例1】从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程. 因此甲被选中的概率为 解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为 【例2】一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. ∴至少有1件不合格的概率为 (直接法) (间接法) 【探究3】服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数. 令 ，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率. 我们猜想 下面对均值进行证明. 证明：令m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 由随机变量的定义： 当m>0时， 当m=0时，类似可以证明结论依然成立. 若随机变量X服从超几何分布，则有 解：(1) 对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此X~B(20, 0.4)，X的分布列为 【例3】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 对于不放回摸球, 各次试验的结果不独立, X服从超几何分布, X的分布列为 (2)利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001), 如下表所示. 样本中黄球的比例 是一个随机变量, 根据表中数据计算得 因此, 在相同的误差限制下, 采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 不放回摸球: 有放回摸球: 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布，虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图(如下图)看，超几何分布更集中在均值附近. 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同. 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似. 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 当 时，超几何分布 二项分布 不放回 放回 两 两 古典概型 独立重复试验 总体N很大 近似 超几何分布与二项分布的联系与区别： 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 1. 超几何分布 若随机变量X服从超几何分布，则有 2. 超几何分布的均值 课堂小结 THE END 16 $$