6.4 平面向量的应用2024-2025学年下学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.4平面向量 的应用 1.能用向量方法解决简单的几何问题.(重难点) 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 3.会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用.(重点) 学习目标 向量融合了“数”与“形”的特性，既具有代数的抽象性，又具备几何的直观性。这种特性使得向量能够将形象思维与抽象思维有机结合，成为几何研究中的一个重要工具。向量的概念源于物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等既有大小又有方向的量。它与物理学中力学和运动学的矢量概念有着天然的联系。因此，将向量应用于物理问题的解决中，可以极大地简化计算过程，使解题思路更加清晰。 导 语 目 录 1 2 3 4 向量在几何中的证明应用 向量求几何长度问题 向量在物理中的应用 CONTENTS 三角形“心”的向量表示 向量在几何中的证明应用 1 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 上述过程，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”. 2.向量运算有两种思路 ①基底法：先选取基底，再用基底表示相关向量，进行运算. ②坐标法：先建立平面直角坐标系，再写出各点和相关向量的坐标，从而进行运算. 知识梳理 6 题型一　平行(共线)问题 探究1 √ 题型二　垂直问题 探究2 √ 向量求几何长度问题 2 用向量法解决长度问题时，如果题目中能找到两条已知夹角和长度的线段，则可以选为基底，从而应用公式|a|2=a2求解；如果题目中能求出a的坐标(x，y)，则利用|a|=求解. 知识梳理 题型三　距离与长度 探究3 √ 向量在物理中的应用 3 题型四　向量在物理中的应用 探究4 三角形“心”的向量表示 4 √ √ √ √ 课 后 巩 固 √ √ √ 2.5 h 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝eq \f(1,3)AB，DF＝eq \f(1,4)DB，求证：A，E，F三点共线． 【证明】　连接EF，AF,要证明A，E，F三点共线,只需证明eq \o(EF,\s\up12(→))∥eq \o(AF,\s\up12(→))即可. 方法一：因为DE＝eq \f(1,3)AB，DF＝eq \f(1,4)DB，所以eq \o(DE,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(DF,\s\up12(→))＝eq \f(1,4) eq \o(DB,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(FB,\s\up12(→)). 于是eq \o(EF,\s\up12(→))＝eq \o(DF,\s\up12(→))－eq \o(DE,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(FB,\s\up12(→))－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(FB,\s\up12(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up12(→))＝eq \f(1,3) eq \o(FA,\s\up12(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AF,\s\up12(→))， 因此eq \o(EF,\s\up12(→))∥eq \o(AF,\s\up12(→))，又因为eq \o(EF,\s\up12(→))，eq \o(AF,\s\up12(→))有公共点F，所以A，E，F三点共线． 方法二：以A为原点，以eq \o(AB,\s\up12(→))为x轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则A(0，0)，设B(3a，0)，D(m，n)，则E(m＋a，n)． ∵eq \o(DF,\s\up12(→))＝eq \f(1,4) eq \o(DB,\s\up12(→))，∴eq \o(BF,\s\up12(→))＝3eq \o(FD,\s\up12(→))，设F(x，y)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3a＋3m,1＋3)＝\f(3,4)（m＋a），,y＝\f(0＋3n,1＋3)＝\f(3n,4)，))即Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m＋3a,4)，\f(3n,4)))， 又eq \o(AE,\s\up12(→))＝(m＋a，n)，eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m＋3a,4)，\f(3n,4)))＝eq \f(3,4)(m＋a，n)＝eq \f(3,4) eq \o(AE,\s\up12(→))， ∴eq \o(AE,\s\up12(→))∥eq \o(AF,\s\up12(→)).又A为公共点，∴A，E，F三点共线． 证明A，B，C三点共线的步骤： (1)证明其中两点组成的向量与两点中的一点和另外一点组成的向量共线． (2)说明两向量有公共点． (3)下结论，即A，B，C三点共线． 思考题1　(1)已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　) A．梯形　　　　　 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【解析】　∵eq \o(AB,\s\up12(→))＝(3，3)，eq \o(CD,\s\up12(→))＝(－2，－2)，∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝－eq \f(3,2) eq \o(CD,\s\up12(→))，∴eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(CD,\s\up12(→))共线．又|eq \o(AB,\s\up12(→))|≠|eq \o(CD,\s\up12(→))|，∴该四边形为梯形． (2)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC. 【解析】　方法一：设eq \o(BA,\s\up12(→))＝a，eq \o(BC,\s\up12(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2， 则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，eq \o(BD,\s\up12(→))＝a＋b. 设eq \o(BE,\s\up12(→))＝λeq \o(BC,\s\up12(→))＝λb，则eq \o(AE,\s\up12(→))＝eq \o(BE,\s\up12(→))－eq \o(BA,\s\up12(→))＝λb－a. 由AE⊥BD，得eq \o(AE,\s\up12(→))·eq \o(BD,\s\up12(→))＝0， 即(λb－a)·(a＋b)＝0，解得λ＝eq \f(2,5)，所以BE∶EC＝eq \f(2,5)∶eq \f(3,5)＝2∶3. 方法二：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图所示，设B(0，0)，C(2，0)， 则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2))). 设E(m，0)，则eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，eq \o(AE,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))). 由AE⊥BD，得eq \o(AE,\s\up12(→))·eq \o(BD,\s\up12(→))＝0， 即eq \f(5,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝0，解得m＝eq \f(4,5)，所以BE∶BC＝eq \f(4,5)∶eq \f(6,5)＝2∶3. 例2　如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 【证明】　方法一：设eq \o(AD,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0. 又eq \o(DE,\s\up12(→))＝eq \o(DA,\s\up12(→))＋eq \o(AE,\s\up12(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \o(AF,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(BF,\s\up12(→))＝b＋eq \f(a,2)， 所以eq \o(AF,\s\up12(→))·eq \o(DE,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(a2,2)－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0. 故eq \o(AF,\s\up12(→))⊥eq \o(DE,\s\up12(→))，即AF⊥DE. 方法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，则eq \o(AF,\s\up12(→))＝(2，1)，eq \o(DE,\s\up12(→))＝(1，－2)． 因为eq \o(AF,\s\up12(→))·eq \o(DE,\s\up12(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0.所以eq \o(AF,\s\up12(→))⊥eq \o(DE,\s\up12(→))，即AF⊥DE. 对于非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，垂直问题往往用公式a·b＝0或x1x2＋y1y2＝0解决． 思考题2　如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且eq \o(DE,\s\up12(→))⊥eq \o(AC,\s\up12(→))，则|eq \o(DE,\s\up12(→))|等于(　　) A.eq \f(5,2)　　　　　 B．2eq \r(3) C．3 D．2eq \r(2) 【解析】　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，所以eq \o(DE,\s\up12(→))＝(2，－a)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝(4，a)． 因为eq \o(DE,\s\up12(→))⊥eq \o(AC,\s\up12(→))，所以eq \o(DE,\s\up12(→))·eq \o(AC,\s\up12(→))＝0，所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8. 所以a＝2eq \r(2)，所以eq \o(DE,\s\up12(→))＝(2，－2eq \r(2))， 所以|eq \o(DE,\s\up12(→))|＝eq \r(22＋（－2\r(2)）2)＝2eq \r(3). 例3　如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 【思路】　设eq \o(AD,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，从而问题转化为求|a＋b|的值．将它平方并展开，只要求出a·b即可解决问题． 【解析】　设eq \o(AD,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，则eq \o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq \o(BD,\s\up12(→))＝a－b. 由已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2. ∴(a－b)2＝|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4.∴1－2a·b＋4＝4，∴a·b＝eq \f(1,2). ∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×eq \f(1,2)+4＝6.∴|a＋b|＝eq \r(6)，即|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝eq \r(6). 故对角线AC的长为eq \r(6). (1)在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决． (2)用向量方法求长度的策略： ①利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2). (3)平行四边形ABCD中，AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． 思考题3　在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2eq \r(5) B.eq \f(5\r(5),2) C．3eq \r(5) D.eq \f(7\r(5),2) 【解析】　方法一：∵BC的中点为Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))，eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，5))，∴|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝eq \f(5\r(5),2). 方法二：|AB|2＝25，|AC|2＝100，|BC|2＝125. ∴∠BAC＝90°，AD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5\r(5),2). 例4　如图，一物体受到两个大小均为60 N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向． 【思路】　作出向量图，由图可知合力与分力的关系，向量的模即为力的大小． 【解析】　设eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))分别表示两力，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则eq \o(OC,\s\up12(→))就是合力．由已知可知△OAC为等腰三角形且∠COA＝30°. 过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中， |eq \o(OD,\s\up12(→))|＝|eq \o(OA,\s\up12(→))|cos 30°＝60×eq \f(\r(3),2)＝30eq \r(3)， 故|eq \o(OC,\s\up12(→))|＝2|eq \o(OD,\s\up12(→))|＝60eq \r(3).即合力的大小为60eq \r(3) N，方向与水平方向成30°角． 用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下： (1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系． (2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题． (3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解． (4)利用这个结果，对原物理现象作出解释． 思考题4　某人在静水中游泳，速度为4eq \r(3) 千米/时，现他在水流速度为4千米/时的河中游泳． (1)若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？ 【思路】　作出向量图，由图可知分速度与合速度的关系，向量的模即为速度的大小． 【解析】　(1)如图所示，设人的游泳速度为eq \o(OB,\s\up12(→))，水流速度为eq \o(OA,\s\up12(→))，以eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))为邻边作平行四边形OACB. 人的实际速度eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))， ∴|eq \o(OC,\s\up12(→))|＝eq \r(（4\r(3)）2＋42)＝8. 在Rt△ACO中，∠COA＝60°. ∴人实际沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时． (2)他必须向哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？ 【解析】　(2)如图所示，设此人的实际速度为eq \o(OD,\s\up12(→))，水流速度为eq \o(OA,\s\up12(→))，则游速为eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(OD,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))，在Rt△AOD中，|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝4eq \r(3)，|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝4，|eq \o(OD,\s\up12(→))|＝4eq \r(2)，cos∠DAO＝eq \f(\r(3),3). ∴∠DAO是余弦值为eq \f(\r(3),3)的一个锐角． ∴此人必须沿与河岸成余弦值为eq \f(\r(3),3)的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为4eq \r(2) 千米/时． 三角形的“心”的向量表示及应用 1．三角形各心的概念介绍 重心：三角形的三条中线的交点； 垂心：三角形的三条高线的交点； 内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． 根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2∶1；垂线与对应边垂直；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． 2．三角形各心的向量表示 (1)O是△ABC的重心⇔eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(OB,\s\up12(→))＋eq \o(OC,\s\up12(→))＝0； (2)O是△ABC的垂心⇔eq \o(OA,\s\up12(→))·eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))·eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))·eq \o(OA,\s\up12(→))； (3)O是△ABC的外心⇔|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|(或eq \o(OA,\s\up12(→))2＝eq \o(OB,\s\up12(→))2＝eq \o(OC,\s\up12(→))2)； (4)O是△ABC的内心⇔eq \o(OA,\s\up12(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|)－\f(\o(AC,\s\up12(→)),|\o(AC,\s\up12(→))|)))＝eq \o(OB,\s\up12(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up12(→)),|\o(BA,\s\up12(→))|)－\f(\o(BC,\s\up12(→)),|\o(BC,\s\up12(→))|)))＝eq \o(OC,\s\up12(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(CA,\s\up12(→)),|\o(CA,\s\up12(→))|)－\f(\o(CB,\s\up12(→)),|\o(CB,\s\up12(→))|)))＝0. 注意　向量λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up12(→)),|\o(AC,\s\up12(→))|)))(λ≠0)所在直线(是∠BAC的平分线所在直线)过△ABC的内心． 1．将平面向量与三角形外心结合考查 例1　(1)若O为△ABC内一点，|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝|eq \o(OB,\s\up12(→))|＝|eq \o(OC,\s\up12(→))|，则O是△ABC的(　　) A．内心　　　　 B．外心 C．垂心 D．重心 【解析】　由向量模的定义知O到△ABC三顶点的距离相等，故O是△ABC的外心．故选B. (2)在△ABC中，AB＝10，BC＝6，CA＝8，且O是△ABC的外心，则eq \o(CA,\s\up12(→))·eq \o(AO,\s\up12(→))＝(　　) A．16 B．32 C．－16 D．－32 【解析】　方法一：由题意得AB2＝BC2＋CA2，所以△ABC为直角三角形，则O为斜边AB的中点，所以eq \o(CA,\s\up12(→))·eq \o(AO,\s\up12(→))＝－eq \o(AC,\s\up12(→))·eq \o(AO,\s\up12(→))＝－|eq \o(AC,\s\up12(→))|·|eq \o(AO,\s\up12(→))|cos∠BAC＝－|eq \o(AC,\s\up12(→))|·eq \f(1,2)|eq \o(AB,\s\up12(→))|·eq \f(|\o(AC,\s\up12(→))|,|\o(AB,\s\up12(→))|)＝－eq \f(1,2)|eq \o(AC,\s\up12(→))|2＝－32，故选D. 方法二：由题意得AB2＝BC2＋CA2，所以△ABC为直角三角形，则O为斜边AB的中点，设eq \o(AO,\s\up12(→))在eq \o(AC,\s\up12(→))上的投影向量为eq \o(AD,\s\up12(→))，则|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝4，所以eq \o(CA,\s\up12(→))·eq \o(AO,\s\up12(→))＝－|eq \o(AC,\s\up12(→))|·|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝－4|eq \o(AC,\s\up12(→))|＝－32.故选D. 2．将平面向量与三角形垂心结合考查 例2　点P是△ABC所在平面上一点，若eq \o(PA,\s\up12(→))·eq \o(PB,\s\up12(→))＝eq \o(PB,\s\up12(→))·eq \o(PC,\s\up12(→))＝eq \o(PC,\s\up12(→))·eq \o(PA,\s\up12(→))，则点P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】　由eq \o(PA,\s\up12(→))·eq \o(PB,\s\up12(→))＝eq \o(PB,\s\up12(→))·eq \o(PC,\s\up12(→))，得eq \o(PA,\s\up12(→))·eq \o(PB,\s\up12(→))－eq \o(PB,\s\up12(→))·eq \o(PC,\s\up12(→))＝0，即eq \o(PB,\s\up12(→))·(eq \o(PA,\s\up12(→))－eq \o(PC,\s\up12(→)))＝0，即eq \o(PB,\s\up12(→))·eq \o(CA,\s\up12(→))＝0，则PB⊥CA. 同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心．故选D. 【讲评】　本题将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合． 3．将平面向量与三角形内心结合考查 例3　O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \o(OP,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋λeq \b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|)＋)) eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up12(→)),|\o(AC,\s\up12(→))|)))，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】　因为eq \f(\o(AB,\s\up12(→)),|\o(AB,\s\up12(→))|)是向量eq \o(AB,\s\up12(→))方向上的单位向量，设eq \o(AB,\s\up12(→))与eq \o(AC,\s\up12(→))方向上的单位向量分别为e1和e2，又eq \o(OP,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝eq \o(AP,\s\up12(→))，则原式可化为eq \o(AP,\s\up12(→))＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，P的轨迹一定通过三角形的内心．故选B. 4．将平面向量与三角形重心结合考查 例4　证明：点P是△ABC所在平面内任一点，G是△ABC的重心⇔eq \o(PG,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→)))． 【证明】　连接AG，BG，CG，∵eq \o(PG,\s\up12(→))＝eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(AG,\s\up12(→))＝eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(BG,\s\up12(→))＝eq \o(PC,\s\up12(→))＋eq \o(CG,\s\up12(→))， ∴3eq \o(PG,\s\up12(→))＝(eq \o(AG,\s\up12(→))＋eq \o(BG,\s\up12(→))＋eq \o(CG,\s\up12(→)))＋(eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→)))． ∵点G是△ABC的重心，∴eq \o(GA,\s\up12(→))＋eq \o(GB,\s\up12(→))＋eq \o(GC,\s\up12(→))＝0. ∴eq \o(AG,\s\up12(→))＋eq \o(BG,\s\up12(→))＋eq \o(CG,\s\up12(→))＝0，即3eq \o(PG,\s\up12(→))＝eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→)). 由此得eq \o(PG,\s\up12(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(PA,\s\up12(→))＋eq \o(PB,\s\up12(→))＋eq \o(PC,\s\up12(→)))．反之亦然(证明略)． 1．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　) A．7　　　　　 B．10 C．14 D．70 解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×eq \f(1,2)＝70. 2．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，则(　　) A．s>|a| B．s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小 解析　由三角形中，两边之和大于第三边，得A成立．故选A. 3．若eq \o(AB,\s\up12(→))＝2e1，eq \o(CD,\s\up12(→))＝－3e1，|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(BC,\s\up12(→))|，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．等腰梯形 D．菱形 解析　由于eq \o(AB,\s\up12(→))＝－eq \f(2,3) eq \o(CD,\s\up12(→))，所以eq \o(AB,\s\up12(→))∥eq \o(CD,\s\up12(→))且|eq \o(AB,\s\up12(→))|≠|eq \o(CD,\s\up12(→))|，所以四边形ABCD是梯形．又因为|eq \o(AD,\s\up12(→))|＝|eq \o(BC,\s\up12(→))|，即梯形的腰长相等，因此四边形ABCD是等腰梯形，故选C. 4．一条河宽40 km，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________． 解析　∵合速度大小|v合|＝eq \r(202－122)＝16(km/h)， ∴t＝eq \f(40,16)＝2.5(h)． 5．已知向量eq \o(OA,\s\up12(→))＝(k，12)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(4，5)，eq \o(OC,\s\up12(→))＝(－k，10)，若|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(BC,\s\up12(→))|，则k＝________；若A，B，C三点共线，则k＝________． eq \f(3,2) －eq \f(2,3) 解析　∵向量eq \o(OA,\s\up12(→))＝(k，12)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(4，5)，eq \o(OC,\s\up12(→))＝(－k，10)， ∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝(4－k，－7)，eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))－eq \o(OB,\s\up12(→))＝(－k－4，5)． 若|eq \o(AB,\s\up12(→))|＝|eq \o(BC,\s\up12(→))|，则eq \r(（4－k）2＋49)＝eq \r(（－k－4）2＋25)，解得k＝eq \f(3,2). 若A，B，C三点共线，则向量eq \o(AB,\s\up12(→))，eq \o(BC,\s\up12(→))共线， ∴5(4－k)＝－7(－k－4)，解得k＝－eq \f(2,3). $$