6.4 课时5 三角形中的几何计算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 课时5 三角形中的几何计算 1.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.（逻辑推理） 2.能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题.（数学运算） 学习目标 1.初中学过的计算三角形面积的公式有哪些？ [答案] 底×高，（其中，,,是的各边长， 是 内切圆的半径）. 2.解三角形时，正弦定理和余弦定理分别能解哪些类型的题目？ [答案] 正弦定理:①已知两角和一边，②已知两边和其中一边的对角. 余弦定理:①已知两边及其夹角，②已知两边及一边的对角，③已知三边. 自主预习 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 三角形的面积公式适用于所有的三角形.( ) √ （2） 已知三角形的两边及其夹角不能求出其面积.( ) × （3） 已知三角形的两角及一边不能求出它的面积.( ) × （4） 在中， ，，，则 .( ) × 2.在中，已知，，，则 的面积等于( ) . C A.6 B.12 C. D. [解析] .故选C. 自主预习 3.在中，,,分别是角,,所对的边，,,，则 的面积为( ) . B A. B. C.2 D.4 [解析] 由正弦定理，得 . 由面积公式得 . 自主预习 4.在中，角，，所对的边分别为,,，且， ， 则 的值为__. [解析] 由以及正弦定理，得 . 又因为，所以 . 由余弦定理的推论，得 . 自主预习 探究1 三角形的面积公式 问题1: 如何用三角形的边和角的正弦值表示三角形的面积？ [答案] 在中，角，，所对的边分别为,,,则 的面积公式 为边上的高中的高，所以 ，同理 . 合作探究 问题2: 如何用外接圆的半径表示 的面积？ [答案] 由正弦定理，得,所以,所以（其中,, 是 的各边长，是 外接圆的半径）. 合作探究 在中，，，是的内角，，所对的边,则 面积的计算公式有： （1） 底×高； （2） ； （3）是内切圆的半径 ； （4）是外接圆的半径 . 合作探究 例1 已知的内角，，的对边分别为，，， . （1）求角 的大小； （2）若为锐角三角形，且，，求 的面积. 合作探究 [解析] （1）由正弦定理，得.又， ， 又为 的一个内角， ，或 . （2）为锐角三角形，.由余弦定理得 ， ，解得或 （舍去）， ， . 合作探究 方法总结 对于计算三角形面积的问题，一般用公式<m></m>进 行求解，可分为以下两种情况:（1）若所求图形为多边形，则可通过作辅助线或其他 途径构造三角形，将问题转化为求三角形的面积；（2）若所给条件为边角关系，则 需要运用正、余弦定理求出其中的两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解. 合作探究 巩固训练 在中，角,,所对的边分别为,,，且, . （1）求 的值； （2）若，求 的面积. 合作探究 [解析] （1）在中，，,，则 . ，， 由正弦定理，可得 . （2），，，故, ， 由（1）知， ， . ， ， . 合作探究 探究2 三角形中的几何计算问题 问题1: 你能用坐标法证明 吗？ [答案] 能.假设已知，，，如图，以的顶点为原点，射线的方向为 轴 正方向，过点作的垂线，以垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则顶点 的坐标为 . 合作探究 过点作边上的高，则根据三角函数的定义可得 ，所以 . 同理可得, . 故 . 合作探究 问题2: 应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？ [答案] （1）在中， ， ； . （2）若为锐角三角形，则, , , . 合作探究 三角形中几何计算问题的解题思路 （1）正确挖掘图形中的几何条件并简化运算是解题的要点，应用正弦定理、余 弦定理，通过解三角形，能很快解决一般问题. （2）突破此类问题的关键是发现图形中较隐蔽的几何条件. 合作探究 例2 如图，在中，，，点在线段 上. （1）若，求 的长； （2）若，求 的值. 合作探究 [解析] （1），为锐角， . ， . 在中，由正弦定理得，即，解得 . （2） ， ， . 在 中，由余弦定理，得 ， . 合作探究 在中，由正弦定理，得 . 故 . 在中，由正弦定理得 ， 故 . ， . 合作探究 方法总结 解题时，正弦定理和余弦定理经常结合起来应用.在边角互化过程中，注意正弦定 理和余弦定理的变形使用，如<m></m>等. 合作探究 巩固训练 已知在中，是边上一点，，， . （1）求 的长; （2）若，求 的面积. 合作探究 [解析] （1），， ， 在中， ， 即 ， . （2）在中，， ， 为等腰直角三角形， 故的面积为 . 合作探究 1.（改编）在中，角，，的对边分别为,,,,,的面积为 ， 则 ( ) . C A. B.1 C. D.2 [解析] ，，的面积为 ， ，解得 ， 由余弦定理可得 . 故选C. 随堂检测 2.在中，角，，的对边分别为，，.若，， ， 则 的面积为( ) . A A. B. C.1 D. [解析] ，， 由正弦定理可得，又 ， ， . 随堂检测 3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，， . （1）求角 的大小； （2）求的面积 . [解析] （1）由正弦定理，得 . 因为，且 ，所以 . （2）因为 ， 所以 ， 所以 . 随堂检测 $$