精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

重庆市巴蜀中学2025届高三3月月考 数学试卷 注意事项: 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号在答题卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时 的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线 的焦点为 为抛物线上的两点，满足 ，线段 的中点为 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 定义在上的函数满足，且的图象关于 对称，设，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 10. 数列 满足 ，且 ，数列的前 项和为 ，从 的前 项中任取两项，它们之和为奇数的概率为 ，数列的前 项积为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分) 11. 在 的展开式中系数最大的项为_____. 12. 已知椭圆的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 内切圆的半径为 ，则椭圆的方程为_____. 13. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在 上存在零点，则 的取值范围为_____. 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14. 已知的内角 所对的边分别为 ，面积为，且满足 （1）求角的大小； （2）若，求的周长. 15. 如图所示，在正三棱柱中，. （1）证明:; （2）点 在棱上且满足，求平面和平面所成锐二面角的余弦值. 16. 甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加两个闯关环节，闯关规则如下:①，两个环节共有3次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将3次机会全部用完；某同学参加环节(或环节)闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会. ②若环节闯关成功即进入环节；若环节闯关失败，那么继续重复环节，直到3次机会用完；若进入环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复环节，直到3次机会全部用完. ③参加环节，闯关成功可以获得奖金100元；参加环节，每次闯关成功可以获得奖金200元；不管参加哪一个环节，闯关失败均无奖金. 已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是;乙同学参加环节闯关成功的概率是，参加环节闯关成功的概率是.甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的. （1）已知甲同学环节闯关成功(多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功)，求他参加了两次环节闯关的概率; （2）活动结束时乙同学获得的奖金为元，求的分布列和期望. 17. 已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论 的单调性； （3）若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 18. 已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . （1）求双曲线 的方程； （2）设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对 . (其中 表示不超过 的最大整数，例如 ) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学2025届高三3月月考 数学试卷 注意事项: 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号，座位号在答题卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效. 3、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可求出，根据集合的交集运算即可求解． 【详解】由题意，，故； 又因为集合 ， 所以. 故选：C. 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求解即可. 【详解】由，得. 故选：A 3. 已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义列方程求结果. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 4. 直线 与圆 相交于 两点，当 面积最大时 的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】圆心到直线的距离， 则弦长 为， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 故选：B. 5. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记事件 子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件 子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述， . 因此，子三代中基因型为是的概率是. 故选：D. 6. 已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助圆台轴截面及内切圆的性质，求出圆台的两底半径及母线长，进而求得表面积. 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为 ，， 而等腰梯形的高，因此，解得 ， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 7. 已知抛物线 的焦点为 为抛物线上的两点，满足 ，线段 的中点为 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位线定理和余弦定理的应用可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】设，过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，如图， 因为点M为线段的中点，所以点M到抛物线C的准线的距离为， 在 中，因为，， 所以， 又，所以（当且仅当 时，等号成立）， 所以， 即的最大值为． 故选：C． 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是利用余弦定理的应用得出，结合分析即可求解. 8. 已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式两边同构函数，设，从而转化问题为恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，再构造函数， ，进而结合导数求解即可. 【详解】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 因为，即， 即函数在上单调递增， 则由恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即. 设， ，则， 令 ，即；令 ，即 ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为. 故选： . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，利用同构函数思想，将问题转化为恒成立，再结合导数进行求解即可. 二、多项选择题(本大题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分，在每个给出的四个选项中，有多项符 合题目要求， 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分) 9. 定义在上的函数满足，且的图象关于 对称，设，则（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数图象变换可得对称性，进而可得周期性，可得答案. 【详解】对于A，函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 直线 向右平移个单位可得直线， 因为函数的图象关于直线 对称， 所以函数的图象关于直线，即轴对称，函数为偶函数，故A错误； 对于BC，由A可知，由， 则，所以函数的图象关于成中心对称， 由， 则函数的图象可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由点与轴向左平移个单位，再向下平移个单位得到点与直线 ， 则点与直线 分别是函数图象的对称中心与对称轴， 易知函数图象的对称中心与对称轴分别是点与直线， ， 当 时，直线是函数图象的对称轴，函数是偶函数，故B正确， 当时，点是函数图象的对称中心，故C正确， 对于D，由，则， 易知函数的最小正周期， 则，易得 ，，，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 数列 满足 ，且 ，数列的前 项和为 ，从 的前 项中任取两项，它们之和为奇数的概率为 ，数列的前 项积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，求出数列的前几项，即可判断A，B；根据组合数以及概率的计算公式，即可判断C；理解数列的前n 项积的概念，并通过运算即可判断D． 【详解】对于A ，当时，，即 ， 又因为 的偶数项所成的数列是以首项为4，公差为2的等差数列， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由选项A得的奇数项所成的数列是以首项为 ，公差为的等差数列， 偶数项所成的数列是以首项为4，公差为2的等差数列， ，故C错误； 当时， ， 又 , 所以 ，故D正确. 故选：AD． 【点睛】思路点睛：利用数列的递推关系得出的偶数项和奇数项均为等差数列，根据组合数以及概率的计算公式表达出是解题关键. 三、填空题(本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分) 11. 在 的展开式中系数最大的项为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求结果. 【详解】的展开式的通项公式为, 所以系数为，其中， 当为奇数时，为负数，系数不是最大， ， 所以系数最大的项为 故答案为： 12. 已知椭圆的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 内切圆的半径为 ，则椭圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. 【详解】椭圆的离心率① 内切圆的半径， 则， 即②， 根据椭圆的知识有③， 由①②③解得 ， 所以椭圆的方程为. 故答案为： 13. 设函数 在 内有且只有两个极值点，且对任意实数 在 上存在零点，则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围. 【详解】由题意，当时，， 因为函数，若在上有且只有两个极值点， 则，解得． 又对任意实数 ，在上存在零点，且的长度为， 而函数的最小正周期为，则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14. 已知的内角 所对的边分别为 ，面积为，且满足 （1）求角的大小； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理与辅助角公式，可得答案； （2）由正切的和角公式，利用直角三角形的性质，可得答案. 【小问1详解】 由，则， 由余弦定理可得， 则，解得或（舍去），所以. 【小问2详解】 由 ，则， 整理可得，则， 由，解得，则， 由，则， 由正弦定理可得，则，， 所以的周长. 15. 如图所示，在正三棱柱中，. （1）证明:; （2）点 在棱上且满足，求平面和平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质与判定定理，可得答案； （2）由题意，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据公式，可得答案. 【小问1详解】 分别取 的中点分别为，连接，如下图： 在正三棱柱中，易知平面，为等边三角形， 因为 平面，所以， 在正中，由为 的中点，则， 因为，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为 平面，所以， 因为，，平面，所以 平面， 因为 平面，所以， 在三棱柱中，易知四边形四边形，则， 因为平面， 平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 取的中点为，连接，易知两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 设底面正的边长为，则，， 因为，所以， 在矩形中，，则， 由图可得，解得， 则， 取，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量为； 设平面的法向量为，则， 令 ，则，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则. 16. 甲、乙两名同学参加科技周活动，该活动需要依次参加两个闯关环节，闯关规则如下:①，两个环节共有3次闯关机会，为了累计奖金最高，甲、乙两人都将3次机会全部用完；某同学参加环节(或环节)闯关，无论闯关结果是成功还是失败都视为已使用了一次闯关机会. ②若环节闯关成功即进入环节；若环节闯关失败，那么继续重复环节，直到3次机会用完；若进入环节后，无论闯关成功还是失败，一直都重复环节，直到3次机会全部用完. ③参加环节，闯关成功可以获得奖金100元；参加环节，每次闯关成功可以获得奖金200元；不管参加哪一个环节，闯关失败均无奖金. 已知甲同学参加每一个环节闯关成功的概率都是;乙同学参加环节闯关成功的概率是，参加环节闯关成功的概率是.甲、乙同学每次参加各个环节闯关是否成功是相互独立的. （1）已知甲同学环节闯关成功(多次闯关中只要有一次成功即视为闯关成功)，求他参加了两次环节闯关的概率; （2）活动结束时乙同学获得的奖金为元，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法，列举出符合题意的情况，根据条件概率的公式，可得答案； （2）由题意写出随机变量的可能取值，利用概率的计算公式求得分布列，结合期望的公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得甲同学环节闯关成功且参加了两次环节闯关的情况为： ①第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关成功；第三次机会，环节闯关成功， ②第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关失败；第三次机会，环节闯关成功， ③第一次机会，环节闯关成功；第二次机会，环节闯关成功；第三次机会，环节闯关失败， 所以甲同学环节闯关成功且参加了两次环节闯关的概率； 甲同学环节闯关成功的情况为： ①环节闯关一次成功，环节闯关成功，概率为， ②环节闯关两次成功，环节闯关成功，概率为， 所以甲同学环节闯关成功的概率； 故所求条件概率为. 【小问2详解】 由题意可知的可能取值有， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为 则. 17. 已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论 的单调性； （3）若函数在上的最大值为 0，求实数 的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时， 在 上单调递增； 当时， 在上单调递减， 在当时， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在 上单调递减． （3） 【解析】 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【小问1详解】 当时，， ，， 所以 在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得 的定义域为 ， ， ①当时，， 所以 在 上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即， 故 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以 在 上单调递减． 综上，当时， 在 上单调递增； 当时， 在上单调递减， 在当时， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时， 在 上单调递减． 【小问3详解】 ①当时， 在上单调递增，，矛盾； ②当时， 在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以 在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数 的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 18. 已知双曲线 的离心率为 ，其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2 . （1）求双曲线 的方程； （2）设 ，若点 在双曲线 上， 在点 处的切线 与两条渐近线分别交于 两点， 是坐标原点，且 . （i）证明数列 是等差数列，并求通项公式 ; （ii）设数列的前 项和为 .求证: 对 . (其中 表示不超过 的最大整数，例如 ) 【答案】（1） （2）（i）证明：因在双曲线上， 则. 因，则在第一象限， 则此时点P满足方程：， 则，故点P对应切线斜率为： . 则切线方程为：. 与渐近线联立，可得，同理可得. 则， 又 ， 则 ， 又，则 ， 故数列 是以1为首项，公差为1的等差数列，则； （ii）证明：由（1）可得 ，则. 则， 注意到 ， 又 ，则； 另一方面，. 注意到时，，则. 则 ，又， 则. 下面证明：， 注意到， 则要证，即证， 注意到， 则证明 . 令 ，因，则，则对于函数. 有， 令，则， 则， 故在上单调递增，在上单调递减， 又注意到 ，则当时， . 则. 最后由不等式同向可加性可得： 又注意到 ，则， 则. 则 . 综上可知，. 【解析】 【分析】（1）由题可得 ，然后由虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2可得答案； （2）（i）由（1）可得， ，然后由导数知识可得切线斜率，即可得切线方程，与渐近线方程联立后可得坐标，最后结合可完成证明，并得到通项公式；（ii）由，可证明；由题可得，然后构造函数证明即可证明. 【小问1详解】 由题可得，又， 则 ，又其虚轴的两个端点与右顶点所构成的三角形的面积为 2， 则 ，则 ，故双曲线方程为： ； 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点睛：对于圆锥曲线的切线，可利用导数，从而简化运算；对于数列不等式，多利用放缩法，或将需证不等式两边化为代数式相加的形式，再利用作差法，构造函数，数学归纳法证明多项式的大小关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $