精品解析：山西省朔州市朔城区第四中学校2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

山西省2024-2025学年度九年级上学期期末阶段评估 数学 上册第二十一章一下册第二十七章说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（ ） A. 路程与时间 B. 路程与速度 C. 时间与速度 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例关系概念，根据乘积一定的两个相关联的量成反比例关系进行求解，即可解题． 【详解】解：在数量关系路程速度时间中，当路程一定时，速度和时间成反比例关系， 时间与速度成反比例关系， 故选：C． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，直接利用二次函数的图象和性质求解，即可解题． 【详解】解：的对称轴是轴， 故选：A． 4. 今年国庆期间山西隰县小西天景区爆火．为接待外地游客，某停车场对外地游客免费开放，10月3日当天停车1000辆，10月5日当天停车1440辆．若每天停车数量的增长率相同，设为，由题意，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据每天停车数量的增长率相同，设为，且10月3日当天停车1000辆，10月5日当天停车1440辆，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵每天停车数量的增长率相同，设为，且10月3日当天停车1000辆，10月5日当天停车1440辆， ∴， 故选：A． 5. 如图，小刚利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小光屏孔成像特点的物理实验装置．在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，已知薯片筒的长度为，蜡烛火焰的高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒光屏的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键在于根据实际问题建立几何模型求解．根据题意建立几何模型，证明，根据相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解：根据题意建立几何模型如下图， 其中，， 由题意可知：，，，， ， ， ， 解得， 故选：B． 6. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的图象和性质求解，即可解题． 【详解】解：， 反比例函数图象在第一、三象限， ， ， 故选：B． 7. 如图，，为的直径，与相切于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 与相切于点， ， ， 故选：B． 8. 如图，斗兽棋是我国一种古老的棋类游戏，双方各有八只棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉和牛牛手中存有的棋子分别为虎、猫和狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率等于所求情况数与总情况数之比．根据题意列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：根据题意列表如下： 莉莉 牛牛 虎 猫 狮 狮、虎 狮、猫 豹 虎、豹 豹、猫 由表格可知，总共有4种情况数，其中莉莉获胜的情况数为1种， 莉莉获胜的概率为， 故选：A． 9. 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用求出和，得到点C坐标即可求出k值． 【详解】解：作轴，垂足为点D， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质直接解答即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 12. 如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为_____． 【答案】##34度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的旋转得到，因为，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 故答案为：． 14. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了_____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则有图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 把代入， ， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 度数减少了（度， 故答案为：． 15. 如图，正方形的对角线, 相交于点, 是上的一点，连接，交于点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据题意设，则，，结合正方形性质和勾股定理得到，以及证明，最后利用正方形性质和相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：， 设，则，， 四边形为正方形， ，，， ，， ， 为正方形的对角线， ，， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握解方程的方法是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）先整理原方程为，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得，； 17. 已知是的反比例函数，当时，，求该反比例函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查利用待定系数法求函数的解析式，是一道基础题，比较简单．由题意是的反比例函数，可设，然后利用待定系数法进行求解． 【详解】解：设， 当时，， 函数解析式为． 18. 刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，刺绣是山西十大民俗之一，下列为四幅山西刺绣作品． （1）四幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）亮亮和晨晨到山西旅游，都很喜欢刺绣作品，每人购买一款刺绣盲盒（盒中内容为3个刺绣作品中随机的一款），求两人购买到同一幅作品的概率． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形及列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图， （1）根据中心对称图形的概念求解； （2）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出两人购买到同一幅作品的概率． 【小问1详解】 解：在四幅山西刺绣作品中是中心对称的图形有②③④共3个． 故答案为：3； 【小问2详解】 解：将依次编号为， 树状图如下所示： 由上可得，一共有9种可能性，其中两人购买到同一幅作品的可能性有3种， 故两人购买到同一幅作品的概率为． 19. AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】当每间房间的定价为元时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立二次函数关系式．根据“每天的营业额每间房间的定价房间数”建立二次函数关系式，再结合二次函数性质求解，即可解题． 【详解】解：由题知，， 整理得， 有， 化为顶点式为， ， 当时，每天的营业额最大，最大营业额为元． 20. 研学实践：如图1，景德桥俗称西关大桥，横跨在山西晋城市城区西门外的沁水河上，是我国的著名古桥之一．实践小组成员在了解了相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集景德桥（其中）的相关数据． 数据采集：在河岸的一边选出点C，D，分别在，的延长线上取点E，F，使得，测得，，点到河岸的距离为． 数据应用：请根据上述数据，求景德桥的长． 【答案】景德桥长． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，以及相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相似三角形性质和判定．作的延长线交的延长线于点，证明，根据相似三角形性质得到进行求解，即可解题． 【详解】解：作的延长线交的延长线于点， ，， ，， ， 点到河岸的距离为． ， ，， ， ， 即景德桥长． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 托勒密定理 希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和（图1）， 即． 证明如下： 如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：___▲___）， ， ， ①．……，②． 由①②，得， 即． 启发：如图3，内接正五边形的边长为1，求对角线的长． 任务： （1）研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____； （2）将“……”处的证明过程补充完整； （3）材料“启发”中，对角线的长为_____． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等 （2） 解：（理由：同弧所对的圆周角相等）， 又， 即， ， ， （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形性质和判定，圆内接正多边形性质，解题的关键在于正确理解托勒密定理． （1）根据圆周角定理分析，即可解题； （2）结合题干所给步骤同理得到，进而证明，结合相似三角形性质即可解题； （3）连接，，结合正五边形性质和圆周角定理，得到，，再结合托勒密定理建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：根据题意可知，研究报告中，“▲”处空缺的内容为同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，， 内接正五边形的边长为1， ，， ， 同理可得， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 故答案为：． 22. 综合与实践 建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，图2是其横截面的平面示意图，它是轴对称图形，是由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干条线段围成的，其中四边形与四边形均为矩形，点E，F在上，，，，，，以的中点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）如图2，求所在图象的函数解析式和点的坐标． （2）如图2，在点和点处固定一条安全绳，安全绳自然状态呈抛物线型，其解析式为，其顶点为，求与地面之间的距离． （3）如图3，在曲面实现自动化操作中，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂，用来雕刻所在曲面的花纹．请直接写出点在上的滑动过程中，的最大值． 【答案】（1）所在图象的函数解析式为， （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和轴对称性质得到点的坐标， 设所在图象的函数解析式为，利用待定系数法求解，即可得到所在图象的函数解析式，再结合矩形性质和反比例函数性质求解，即可解题； （2）根据二次函数解析式求出点的坐标，利用矩形性质得到点的坐标，即可解题； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可得到直线的解析式，再结合曲线所在的反比例函数图象关于直线对称，得到值最大的情况，再联立直线的解析式为，以及曲线所在图象的函数解析式，求出，坐标，即可解题． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，， ， 由题知，轴平分， 轴平分， ， 到轴的距离为， 点E，F在上，， 到轴的距离为， ， 设所在图象的函数解析式为， ， 所在图象的函数解析式为， 四边形为矩形，， ， 横截面的平面示意图是轴对称图形， 的横坐标为， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：点的坐标为，， ， 顶点为，且， ， （）， 与地面之间的距离为． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 曲线所在的反比例函数图象关于直线对称， 且联立，解得，即， 又联立，解得或，即， 的最大值为． 【点睛】本题考查矩形性质，轴对称性质，利用待定系数法求函数解析式，反比例函数性质，坐标与图形，二次函数顶点坐标，一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 23. 综合与探究 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“如图2，在矩形中，点E，F，G，H分别在边，BC，CD，上．若，，，求的值．” 特例研究： （1）如图1，当点与点重合，点与点重合时，与交于点． 求证：． 问题解决： （2）根据特例研究，大家得出解决方案：如图2，过点作，交于点，过点作，交于点，请根据大家的方案，求的值． 拓展应用： （3）如图3，在矩形中，点在边上，点在边上，点在边上，，，，求的值． 【答案】 （1）证明：在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识点。通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键。 （1）根据同角的余角相等可证明得，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论， （2）根据（1）证明三角形相似的方法证明，从而可得，再由矩形的判定和性质可得，，从而求出结果， （3）由勾股定理可得，，列方程组，进而求出，，由（2）的结论求出. 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴，， ∴四边形和是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴. （3）∵在矩形中，，，， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∴， 解得（不合题意舍去）， 即，， ∴，， 由（2）可得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024-2025学年度九年级上学期期末阶段评估 数学 上册第二十一章一下册第二十七章说明：共三大题，23小题，满分120分，答题时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 从太原到大同的路程一定，则下列数量关系中，成反比例关系的是（ ） A. 路程与时间 B. 路程与速度 C. 时间与速度 D. 以上都不对 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线 4. 今年国庆期间山西隰县小西天景区爆火．为接待外地游客，某停车场对外地游客免费开放，10月3日当天停车1000辆，10月5日当天停车1440辆．若每天停车数量的增长率相同，设为，由题意，可得方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小刚利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小光屏孔成像特点的物理实验装置．在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，已知薯片筒的长度为，蜡烛火焰的高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒光屏的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，，为的直径，与相切于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，斗兽棋是我国一种古老的棋类游戏，双方各有八只棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，莉莉和牛牛手中存有的棋子分别为虎、猫和狮、豹，双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则莉莉获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 0 9. 若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（ ） A. B. C. 0 D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则_____． 12. 如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片绕点按逆时针方向旋转，得到三角形，则的度数为_____． 13. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 14. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了_____度． 15. 如图，正方形的对角线, 相交于点, 是上的一点，连接，交于点，若，则_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知是的反比例函数，当时，，求该反比例函数的解析式． 18. 刺绣，古代称之为针绣，是用绣针引彩线，在纺织品上刺绣运针，将设计的花纹以绣迹构成的一种工艺，刺绣是山西十大民俗之一，下列为四幅山西刺绣作品． （1）四幅刺绣作品中，是中心对称图形的有_____个． （2）亮亮和晨晨到山西旅游，都很喜欢刺绣作品，每人购买一款刺绣盲盒（盒中内容为3个刺绣作品中随机的一款），求两人购买到同一幅作品的概率． 19. AI自习室的出现方便了学生的学习，提高了学习效率．小李经营一家AI自习室，共有24个房间，当每个房间的定价为200元/天时，房间会全部被占用．小李调研发现，当每个房间的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．请利用二次函数的知识，帮助小李计算当每间房间的定价为多少时，AI自习室每天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 20. 研学实践：如图1，景德桥俗称西关大桥，横跨在山西晋城市城区西门外的沁水河上，是我国的著名古桥之一．实践小组成员在了解了相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集景德桥（其中）的相关数据． 数据采集：在河岸的一边选出点C，D，分别在，的延长线上取点E，F，使得，测得，，点到河岸的距离为． 数据应用：请根据上述数据，求景德桥的长． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 托勒密定理 希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和（图1）， 即． 证明如下： 如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：___▲___）， ， ， ①．……，②． 由①②，得， 即． 启发：如图3，内接正五边形的边长为1，求对角线的长． 任务： （1）研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____； （2）将“……”处的证明过程补充完整； （3）材料“启发”中，对角线的长为_____． 22. 综合与实践 建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，图2是其横截面的平面示意图，它是轴对称图形，是由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干条线段围成的，其中四边形与四边形均为矩形，点E，F在上，，，，，，以的中点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）如图2，求所在图象的函数解析式和点的坐标． （2）如图2，在点和点处固定一条安全绳，安全绳自然状态呈抛物线型，其解析式为，其顶点为，求与地面之间的距离． （3）如图3，在曲面实现自动化操作中，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂，用来雕刻所在曲面的花纹．请直接写出点在上的滑动过程中，的最大值． 23. 综合与探究 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“如图2，在矩形中，点E，F，G，H分别在边，BC，CD，上．若，，，求的值．” 特例研究： （1）如图1，当点与点重合，点与点重合时，与交于点． 求证：． 问题解决： （2）根据特例研究，大家得出解决方案：如图2，过点作，交于点，过点作，交于点，请根据大家的方案，求的值． 拓展应用： （3）如图3，在矩形中，点在边上，点在边上，点在边上，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $