精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期3月份月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 2. 已知复数满足，则（ ） A 1 B. C. 2 D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种 7. 已知函数，如果点是角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 二、多选题 9. 已知随机变量 ，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线 对称 D. 函数在 上单调递增 11. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为5 C. 的最大值为7 D. 若在上，则的最小值为 三、填空题 12. 已知奇函数，且当时，.若，则 __________ 13. 最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场调研的情况推出了A，B两个旅游路线方案，通过实践发现，选择方案A旅游路线与选择方案B旅游路线的游客比为3:1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项目，即选择方案A旅游路线优惠200元，选择方案B旅游路线优惠100元（每位游客的选择相互独立），已知旅游公司的总优惠金额恰为的概率为，，则的关系式为______． 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 四、解答题 15. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表： 近视情况 每天看电子产品的时间 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0001 2.706 3.841 6.635 7879 10.828 ． （1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； （2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ （3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值． 16. 已知中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，底面 ,,， （1）证明：平面平面 ； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数，. （1）当时，求的严格增区间； （2）若恒成立，求a的值. 19. 阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）证明：对任意，，不等式恒成立； （2）设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称： （3）设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高三下学期3月份月考数学试题 一、单选题 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 2. 已知复数满足，则（ ） A 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方和模长公式求解即可. 【详解】设，则， 所以，解得， 所以， 故选：C 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数正余弦的定义可求得，，利用二倍角的正弦公式可求值. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以，，所以. 故选：A 4. 已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题设有设，，，如下图，为边长为1的菱形，数形结合及向量加减、数乘的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案. 【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量， 设，，，如下图，为边长为1的菱形， 若，即与垂直，， 即，而，且， 所以共线，即与共线； 若与共线，即且，而，即， 所以与垂直，故. 所以“”是“与共线”的充要条件. 故选：C 5. 若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式的系数和为即可得到方程求解. 【详解】根据的二项式系数和为32， 结合所有二项式系数的和满足， 可知， 故选：A. 6. 给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①，将4人分成3组，有种分法； ②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况， 将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况， 此时有种情况， 则有种不同的安排方法； 故选C． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 7. 已知函数，如果点是角终边上一点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，先求出角的正弦和余弦，再根据两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为点是角终边上一点， 所以，， 则. 故选：C 8. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得. 【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分， 其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面， 则. 故选：B 二、多选题 9. 已知随机变量 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正态分布期望的性质可得A错误；由正态分布方差的性质可得B正确；由正态分布曲线的对称性可得C、D正确； 【详解】对于A，由题意，得 ，而 ，故 A 错误; 对于B，又 ，则 ，而 ， 所以 ，故 B正确; 对于C， 因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线 对称， 所以 ，故 C 正确； 对于D，由对称性，得 ， 所以 ，故 D正确. 故选： BCD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线 对称 D. 函数在 上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】观察图象可得函数的周期，函数的图象过点，，列关系式求，再求函数的对称轴及单调递增区间即可判断结论. 【详解】对于A，B，观察图象可得函数的周期， 又，， 所以， 又函数的图象过点，， 所以，， 由，，可得或， 若，由可得，， 所以，，与矛盾，故，故A错误； 若，由可得，， 所以，，又， 所以，，故B正确； 由上分析可得：， 对于C，函数的对称轴方程为，， 即， ，取，可得， 所以函数的图象关于直线 对称，故C正确； 对于D，由，， 可得，， 取，可得， 所以函数在 上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 11. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为5 C. 的最大值为7 D. 若在上，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将、变形后可得其都为圆的一部分，借助的范围可得与抛物线的交点坐标，即可得抛物象方程，即可得A；结合抛物线定义即可判断B选项；设出直线的方程后，联立抛物线得到与横坐标有关的韦达定理，结合弦长公式与点到直线的距离公式表示出该三角形面积，结合函数单调性即可得；找到中点，结合向量的数量积运算将转化为求最小值问题，结合题意，可确定点在时，有最小值，再结合韦达定理表示出的值，确定直线斜率范围后计算即可得D选项. 【详解】可变形为， 表示以为圆心，2为半径的圆的上半部分； 可变形为， 表示以为圆心，2为半径的圆的上半部分． 对于A选项，抛物线过点，解得， ，故A选项正确； 对于B选项，抛物线的准线为， 过点作，垂足为， 则，则， 故B选项正确； 对于C选项，不妨设，显然离最远的点在上， 且， 联立，消去整理得， ， 则，， 则， 由对称性只考虑情况，在点时，，所以， 所以 ， 设，易得在上单调递增， 所以的最大值为，故C选项错误； 对于D选项，设的中点为， 联立，消去整理得， 则，， ，， ， 所以，， ， 最小，即最大，也即最小， 又的中点位于圆心的左侧， 故当在位置时，最小，最小， 所以 ， 故D选项正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中最值或范围问题有时需运用韦达定理将所需计算的量表示出来，再结合基本不等式或函数单调性去研究. 三、填空题 12. 已知奇函数，且当时，.若，则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数性质，结合题设求出时的函数的解析式，由代入方程求解即得 【详解】因为是奇函数，且当时,，则． 又因为，， 所以，将其化成对数式，，解得. 故答案为：. 13. 最近全国各地的旅游十分火爆，某旅游公司根据市场调研的情况推出了A，B两个旅游路线方案，通过实践发现，选择方案A旅游路线与选择方案B旅游路线的游客比为3:1，该公司为了激励大家消费，设立优惠项目，即选择方案A旅游路线优惠200元，选择方案B旅游路线优惠100元（每位游客的选择相互独立），已知旅游公司的总优惠金额恰为的概率为，，则的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】记当时，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，分析出关系式，凑配出等比数列，利用等比数列求得通项公式． 【详解】根据题意，当时，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为，累计优惠金额恰为的概率为， 优惠金额恰为，则是优惠金额恰为时再有一个人选择方案或优惠金额恰为再有一个人选择方案， 所以，设， 令，则，即，解得或． ①当时，可得， 所以为以为首项，以为公比的等比数列， 根据题意，，，，所以可得， ，，…，，叠加可得 ， 故，，也符合该式， 故. ②当时，可得， 所以，即， 而， 则为以为首项，为公比的等比数列， 所以，．综上，，． 故答案为：． 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示， 由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 四、解答题 15. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表： 近视情况 每天看电子产品的时间 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ． （1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； （2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ （3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值． 【答案】（1）认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）假设为：学生眼睛近视与长时间使用电子产品无关，求得，再根据小概率值判断； （2）根据给定条件，利用组合计数问题及互斥事件的概率公式计算即得. （3）分别求得，，，再将概率相加即可求解． 【小问1详解】 零假设为：学生眼睛近视与长时间使用电子产品无关． 计算可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为眼睛近视与长时间使用电子产品有关． 【小问2详解】 每天看电子产品超过一小时的人数为， 则， 所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是． 【小问3详解】 依题意，, , , . 则， ， 事件包含两种情况： ①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时； ②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时， 于是， 所以． 16. 已知中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换等知识求得. （2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理及倍角公式得 ，得， 即，故. 【小问2详解】 由余弦定理可得， 解得， 当且仅当时取等号， 的面积． 故面积的最大值为． 17. 如图，在四棱锥中，底面 ,,， （1）证明：平面平面 ； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的定理证明结果即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入公式计算即可； 【小问1详解】 证明：记， 因为，所以， 所以， 即， 又底面平面， 所以， 因为，且平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 取中点，连接，则，所以平面， 所以三条直线两两垂直， 分别以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 设平面的法向量为， 则，可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可取 所以，， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数，. （1）当时，求的严格增区间； （2）若恒成立，求a的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， 求导得，由，得， 所以的严格增区间为. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因此，所以. 19. 阅读材料一：设函数在区间上有定义，若对任意和任意，都有，则称是区间上的下凸函数；反之，如果都有，则称是区间上的上凸函数.阅读材料二：若函数在区间上可导，即存在，且导函数在区间上也可导，则称在区间上存在二阶导函数，即.设函数在区间上存在二阶导函数，则在区间上是下凸（上凸）函数的充要条件是对任意都有（）且在区间的任意子区间内不恒为0.阅读材料三：设函数在区间上连续，（其中为无限接近于0的正数），在上存在二阶导函数，若在和上的符号相反，则点为曲线的拐点.请根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）证明：对任意，，不等式恒成立； （2）设函数，若点是曲线的拐点，求实数，的值，并证明的图象关于拐点中心对称： （3）设函数，若点是曲线的一个拐点，且，其中，试证明：. 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）构造函数，证明是上凸函数即可推理得证. （2）利用“拐点”的意义可得，结合求出；再利用中心对称的定义计算推理即可. （3）利用“拐点”的定义求出“拐点”，构造函数，利用导数探讨单调性可得，再结合给定条件及函数的单调性推理即得. 【小问1详解】 当或时，不等式成立，令函数， ，，因此函数是上凸函数， 则对任意，，即， 所以对任意，，不等式恒成立. 【小问2详解】 函数，则，， 由点是曲线的拐点，得当时值与当时值符号相反， 因此，又，解得； ， ， 所以的图象关于拐点中心对称. 【小问3详解】 函数的定义域为，则，， 当时，，当时，，依题意，，， 当时，，即， 令 ，， 求导得， 即函数在上单调递增，，即， 而，则，即，因此， 当时，，当且仅当时取等号， 于是函数在上单调递增，又，因此，即， 所以. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $