2.1.1 两角和与差的余弦公式课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第2章 三角恒等变换 2.1.1 两角和与差的余弦公式 2.1 两角和与差的三角函数 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 章节引言 三角恒等变换是研究三角函数性质及其应用的一种工具.三角恒等变换是只变其形而不变其质，它可以揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，使复杂变简单，化隐晦为明显，对于研究某些三角函数式及其在几何和物理等领域中的应用将发挥重要的作用. 复习回顾 复习1：你知道哪些特殊角的三角函数值？ 复习2：诱导公式有哪些？如何记忆？ 奇变偶不变 符号看象限 0° 30° 45° 60° 90° sinα cosα tanα 函数名 角度α 问题导入 问题1：我们会求一些特殊角的三角函数值，比如30º、45º、60º角的三角函数值。对于一些非特殊角的三角函数值怎么算呢？ 比如：cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30° ，正确吗? 问题2：那么如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？ 锐角下公式推导--方法一 β A B C D E α 设AD=1，DE⊥AC从图中找出表示cos（α-β）的线段，并尝试推导. 1 锐角下公式推导--方法二 在平面直角坐标系xOy中，角α和角β的终边分别与单位圆交于点A(cosα,sinα)、B(cosβ,sinβ),则∠AOB等于α-β或β-α,或者和其中一个相差2kπ (). 公式推广 y x O B α β A 牛刀小试：求 思考：在钝角下，公式是否不变？ 总结归纳 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 “同名相乘，符号反” 练习巩固 例1.求15°,75°角的余弦值. 典例剖析 例2.求下列各式的值: (1)cos20°cos40°-sin20°sin40°; (2)sin5°cos40°+sin85°sin40°. 典例剖析 例3.已知 且角 分別位于第二、四象限， 求的值. 分类研习 研习 1 给角求值 [典例1]　（1） cos 165°＝（　C　） A. B. － C. － D. － [解析]　 cos 165°＝ cos （180°－15°） ＝－ cos 15°＝－ cos （60°－45°） ＝－（ cos 60° cos 45°＋ sin 60° sin 45°） ＝－ ，故选C. （2） cos （35°－α） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°）· sin （25°＋α）＝ ⁠. [解析]　原式＝ cos [（α－35°）－（25°＋α）]＝ cos （－60°）＝ cos 60°＝ . 　 C 练习巩固 [练习1]　化简求值： cos 80° cos 35°＋ cos 10°· cos 55°. 解：原式＝ cos 80° cos 35°＋ sin 80° sin 35°＝ cos （80°－35°）＝ cos 45°＝ . 分类研习 研习 2 给值求值 [典例2]　若 cos α＝ ，α∈（0， ），则 cos （α－ ）＝ 　 　. [解析]　∵α∈ ， cos α＝ ， ∴ sin α＝ ＝ . ∴ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ × ＋ × ＝ . 　 练习巩固 [练习2]　（1）已知α，β为锐角， cos （α＋β）＝ ， cos （2α＋β）＝ ，求 cos α 的值. 解：（1）∵α，β为锐角， ∴0＜α＋β＜π，0＜2α＋β＜ . 又∵ cos （α＋β）＝ ，∴0＜α＋β＜ . 又∵ cos （2α＋β）＝ ，∴0＜2α＋β＜ ， ∴ sin （2α＋β）＝ ， sin （α＋β）＝ . ∴ cos α＝ cos [（2α＋β）－（α＋β）] ＝ cos （2α＋β） cos （α＋β）＋ sin （2α＋β） sin （α＋β） ＝ × ＋ × ＝ . 练习巩固 （2）已知 cos （α－ ）＝－ ， sin （ －β）＝ ，且 ＜α＜π，0＜β＜ ，求 cos 的值. 解：（2）∵ ＜α＜π，∴ ＜ ＜ . ∵0＜β＜ ，∴－ ＜－β＜0，－ ＜－ ＜0. ∴ ＜α－ ＜π，－ ＜ －β＜ . 又 cos ＝－ ＜0， sin ＝ ＞0， ∴ ＜α－ ＜π，0＜ －β＜ ， ∴ sin ＝ ＝ ， 练习巩固 cos ＝ ＝ . ∴ cos ＝ cos ＝ cos cos ＋ sin · sin ＝ × ＋ × ＝ . 分类研习 研习 3 给值求角 [典例3]　若 sin α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β都是锐角，则β＝（　A　） A. B. C. D. A [解析]　∵ sin α＝ ，α是锐角，∴ cos α＝ . 又α，β都是锐角， cos （α＋β）＝－ ，∴ ＜α＋β＜π.∴ sin （α＋β）＝ . cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝－ × ＋ × ＝ .∵β为锐角，∴β＝ .故选A. 练习巩固 [练习3]　已知 sin α＝ ， sin β＝ ，且α和β均为钝角，求α＋β的值. 解：∵α和β均为钝角. ∴ cos α＝－ ＝－ ， cos β＝－ ＝－ . ∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ ×（－ ）－ × ＝ . 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π. ∴α＋β＝ . 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$