2.1.2 两角和与差的正弦公式课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.1.1 两角和与差的余弦公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 简记： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 简记： 两角和与差的余弦公式 “同名相乘，符号反” 思考：两角和与差的正弦公式是怎样的呢? 在诱导公式 sin α＝ cos （ －α）中，将α替换为α－β即可 sin （α－β）＝ cos［ －（α－β）］ ＝ cos ［（ －α）＋β］ ＝ cos （ －α） cos β－ sin （ －α） sin β ＝ sin α cos β－ cos α sin β. 试一试：能否从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式？ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 如何快速推导 的值? 将β替换为－β即可 sin （α＋β）＝ sin [α－（－β）]＝ sin α cos （－β）－ cos α sin （－β） ＝ sin α cos β＋ cos α sin β. “异名相乘，符号同” 两角和与差的正弦公式 sin(α+β)= ，其中α，β∈R，简记为S(α+β)；  sin(α-β)= ，其中α，β∈R，简记为S(α-β).  sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β 注意：公式中的α，β为任意角，α加减β也是任意角. 例1 求值： (1)sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=　　　　；  解：（1）sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40°=sin(20°+40°)=sin 60°=. (2)sin 15°+sin 75°=　　　.  （2）sin 15°+sin 75° =sin(45°-30°)+sin(45°+30°) =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°+sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30° =2sin 45°cos 30°=. 5 1.化简求值. （1） （2） 解：（1） （2） (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式. 解决给角求值问题的策略 方法归纳 7 例2 已知sin α=，cos β=-，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α+β)，sin(α-β)的值. 解：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-， 所以cos α=，sin β=， 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. 8 只有一个已知角，如何确定其他项呢？ (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围. 解决“给值求值”问题的策略 方法归纳 变式：已知cos α=，sin(α+β)=，0<α<，0<β<，求角β的值. 说一说：求解此类给值求角问题，你有什么思路呢？ 解：因为0<α<，cos α=， 所以sin α=. 又因为0<β<，所以0<α+β<π. 因为sin(α+β)=<sin α， 所以<α+β<π，所以cos(α+β)=-， 所以sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =×-×=. 又因为0<β<，所以β=. 11 本节课我们解决了哪些问题？你学到了哪些知识与方法？ 1.知识点： (1)两角和与差的正弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围. 1.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于（ ） A.-　 B.-　 C.　 D. 解：原式=sin(21°-81°)=sin(-60°)=-. A 2. ＝（　C） A. － B. － C. D. 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ sin 30°＝ . C 3. 在△ ABC 中，三内角分别是 A ， B ， C ，若 sin C ＝2 cos A sin B ，则△ ABC 一定是（　C） A. 直角三角形 B. 正三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析：∵ sin C ＝ sin （ A ＋ B ）＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ＝2 cos A sin B ，∴ sin A cos B － cos A sin B ＝0， 即 sin （ A － B ）＝0，又－π＜ A － B ＜π， ∴ A ＝ B ，∴△ ABC 为等腰三角形. C 4. 已知 sin α＋ sin β＝ ， cos α＋ cos β＝ ，则 cos （α－β）＝（　D） A. B. C. D. － 解析：由已知，得 （ sin α＋ sin β）2＋（ cos α＋ cos β）2＝ ＋ ＝1， ∴2＋2（ cos α cos β＋ sin α sin β）＝1， 即2＋2 cos （α－β）＝1.∴ cos （α－β）＝－ . D 2.已知sin α＝－eq \f(3,5)，α是第四象限角，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值． 解：由sin α＝－eq \f(3,5)，α是第四象限角，得 cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2))＝eq \f(4,5)， 故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sin eq \f(π,4)cos α－cos eq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)－eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq \f(7\r(2),10)， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝cos eq \f(π,4)cos α－sin eq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)－eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝eq \f(7\r(2),10). $