2.1.1 两角和与差的余弦公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

第2章 三角恒等变换 2.1.1 两角和与差的余弦公式 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系. 3.掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用.能利用两角和与差的余弦公式进行求值、计算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的余弦 C(α+β) cos(α+β)=_________________ α，β∈R 两角差的余弦 C(α-β) cos(α-β)=__________________ α，β∈R cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β |微|点|助|解|　 (1)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. (2)cos(α-β)=cos α-cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立. (3)要掌握公式的逆用，如cos(α+β)cos β+sin(α+β)·sin β =cos[(α+β)-β]=cos α. 基础落实训练 1.cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=(　　) A.- B. C.- D. 解析：cos 72°cos 12°+sin 72°sin 12°=cos(72°-12°)=cos 60°=. √ 2.cos 75°=　　　　.  解析：cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45° =. 3.cos(x-y)cos y-sin(x-y)sin y=　　　.  解析：原式=cos[(x-y)+y]=cos x. cos x 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　给角求值 [例1]　求下列各式的值： (1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°; 解：原式=cos 63°cos 33°+sin 63°sin 33°=cos(63°-33°)= cos 30°=. (2)sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°; 解：原式=sin(270°-25°)sin(90°+35°)+sin(180°-25°)sin 35° =-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35° =-cos(25°+35°)=-cos 60°=-. (3)cos 15°+sin 15°. 解：原式=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°=cos(60°-15°)= cos 45°=. |思|维|建|模| 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形用公式. 针对训练 1.若a=(cos 80°，sin 80°)，b=(cos 10°，-sin 10°)，则a·b= (　　) A.cos 110°　　　　　　　　 B.sin 110° C.1 D.0 解析：a·b=cos 80°cos 10°-sin 80°sin 10°=cos(80°+10°)=cos 90°=0. √ 2.求值：(1)cos 105°=　　　　;  解析：原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45° =×-×=. (2)cos cos +cos sin =　　.  解析：原式=cos cos +sin sin =cos =cos =. 题型(二)　给值(式)求值 [例2]　已知α，β为锐角，且cos α=，cos(α+β)=-，求cos β 的值.　  解：∵0<α<，0<β<，∴0<α+β<π. 由cos(α+β)=-， 得sin(α+β)===.又∵cos α=，∴sin α=. ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=. |思|维|建|模| 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换：①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β). 3.已知sin=，-<α<，求： (1)cos的值; 解：因为sin=， 所以cos=cos =cos=sin=. 针对训练 (2)cos α的值. 解：∵-<α<，∴0<α+<. ∵sin=， ∴cos==， ∴cos α=cos =cos cos +sin sin=×+×=. 题型(三)　给值求角 [例3]　已知cos α=，cos(α-β)=，且0<β<α<，求β的值.　 解：由cos α=，0<α<， 得sin α===. 由0<β<α<，得0<α-β<.又∵cos(α-β)=， ∴sin(α-β)===. 由β=α-(α-β)， 得cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=×+×=. ∵0<β<，∴β=.  |思|维|建|模| 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 针对训练 4.已知sin α=，sin β=，α，β∈，求α+β. 解：∵sin α=，α∈， ∴cos α==. ∵sin β=，β∈， ∴cos β==. ∵cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=. 又sin α>0，sin β>0，∴α，β∈， ∴α+β∈(0，π)，∴α+β=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.cos 20°=(　　) A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.cos 30°cos 10°-sin 30°cos 10° 解析：cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.设α∈，若sin α=，则cos等于(　　) A. B. C.- D.- 解析：由α∈，sin α=，得cos α==， 所以cos=cos αcos -sin αsin=×-×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值等于 (　　) A. B.- C. D.- 解析：cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55° =cos 80°cos 35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°) =cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°) =cos 45°=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知cos α=-，α∈，sin β=-，β是第四象限角，则cos(β-α)的值是(　　) A.- B. C.- D.- 解析：由条件可得sin α=，cos β=，则cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=×+×=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)= (　　) A.-3m B.- C. D.3m 解析：法一：因为cos(α+β)=m，所以cos αcos β-sin αsin β=m，而tan αtan β=2，所以sin αsin β=2cos αcos β，故cos αcos β-2cos αcos β=m， 即cos αcos β=-m，从而sin αsin β=-2m， 故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m，故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二：设cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=t， 因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m， 所以==-3=，故t=-3m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.若α∈[0，2π]，sinsin+coscos=0，则α的值是　　　　.  解析：因为α∈[0，2π]，sinsin+coscos=cos α=0， 所以α=或α=. 或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.=　　.  解析：===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知△ABC中，sin(A+B)=，cos B=-，则sin B=　　，cos A=　　　　.  解析：在△ABC中，因为cos B=-<0，所以B为钝角，则sin B=.所以A+B∈.由sin(A+B)=，得cos(A+B)=-.所以cos A=cos[(A+B)-B] =cos(A+B)cos B+sin(A+B)sin B=-×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知cos α-cos β=，sin α-sin β=-，求cos(α-β). 解：由cos α-cos β=两边平方，得 (cos α-cos β)2=cos2α+cos2β-2cos αcos β=.① 由sin α-sin β=-两边平方，得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (sin α-sin β)2=sin2α+sin2β-2sin αsin β=.② 由①+②，得2-2(cos αcos β+sin αsin β)=. ∴cos αcos β+sin αsin β=，即cos(α-β)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)求证：(1)=1; 证明： = ==1， 即=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)cos(α+β)cos(α-β)=cos2β-sin2α. 证明：cos(α+β)cos(α-β)=(cos αcos β-sin αsin β)·(cos αcos β+sin αsin β) =cos2αcos2β-sin2αsin2β=(1-sin2α)cos2β-sin2α(1-cos2β)=cos2β-sin2α，即cos(α+β)cos(α-β)=cos2β-sin2α. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.(多选)若α，β为两个锐角，则(　　) A.cos(α+β)>cos α+cos β B.cos(α+β)<cos α+cos β C.cos(α-β)>cos αcos β D.cos(α-β)<sin αsin β √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：cos(α+β)-(cos α+cos β) =cos αcos β-sin αsin β-cos α-cos β =cos α(cos β-1)-sin αsin β-cos β. 因为α，β是锐角，所以cos β-1<0，cos α(cos β-1)<0， -sin αsin β<0，-cos β<0. 所以cos(α+β)<cos α+cos β，故A错误，B正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，α，β均为锐角， 所以cos αcos β>0，sin αsin β>0. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α-β)>sin αsin β，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)已知cos(α+β)=-，cos 2α=-，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是(　　) A.sin 2α= B.cos=- C.cos αcos β= D.tan αtan β= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为 cos(α+β)=-，cos 2α=-(α，β为锐角)，所以 sin(α+β)=，sin 2α==，故A正确.cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×=， 故B错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=，cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-，得cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]==，sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]==.所以tan αtan β=3.故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α=-，则cos(α-β)=　　　　.  解析：因为sin α=-，所以α的终边在第三或第四象限. 当α的终边在第三象限时，β的终边在第二象限， 且cos α=-，sin β=，cos β=-， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 当α的终边在第四象限时，β的终边在第一象限， 且cos α=，sin β=，cos β=， 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在一个圆形波浪实验水池中有三个振动器，在t时刻，它们引发水面波动，振幅分别用cos t，cos和cos表示.如果其中两个振动器同时启动，则水面波动由对应振幅之和表示.现在某一时刻这三个振动器同时开始工作，则原来平静的水面会呈现怎样的状态，试说明理由. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由题意得cos t+cos+cos=cos t+coscos t+sinsin t +coscos t-sinsin t=cos t-cos t-cos t=0，即三个振动源产生的振动被 相互抵消，所以原本平静的水面仍保持平静. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)已知a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)(0<α<β<π). (1)求证：a+b与a-b互相垂直; 解：证明：∵a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)， ∴|a|2=cos2α+sin2α=1，|b|2=cos2β+sin2β=1. ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0. ∴(a+b)⊥(a-b). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若ka+b与a-kb的模相等(其中k为非零实数)，求β-α的值. 解：∵ka+b=(kcos α，ksin α)+(cos β，sin β)=(kcos α+cos β，ksin α+sin β)， ∴|ka+b|2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k2cos2α+2kcos αcos β+cos2β+k2sin2α+2ksin αsin β+sin2β=k2+2kcos(α-β)+1. 同理可求|a-kb|2=k2-2kcos(α-β)+1. 又∵|ka+b|=|a-kb|， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴|ka+b|2=|a-kb|2. ∴2kcos(α-β)=-2kcos(α-β). ∵k≠0，∴cos(α-β)=0.∴cos(β-α)=0. 又∵0<α<β<π， ∴0<β-α<π.∴β-α=. $$