精品解析：福建省莆田锦江中学2024-2025学年高二下学期第一次（3月）月考数学试题

莆田锦江中学高二（下）数学第一次月考数学试卷 一、单选题： 1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 2. 已知函数，则（ ） A. 有极小值，无极大值 B. 既有极小值又有极大值 C. 有极大值，无极小值 D. 无极小值也无极大值 3. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 当时，有极值 D. 当时， 4. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题： 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为， B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有三个根，则 D. 若对于恒成立，则 11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题： 12. 若函数，则______. 13. 已知曲线经过点，则过点的曲线C的切线方程是______ 14. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为______． 四、解答题： 15. 已知函数在与处都取得极值． （1）求，的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数，若在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）求函数在上的极值． 17. 如图（1），一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图（2），所得容器的容积V（单位：）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数. （1）随着x的变化，容积V是如何变化的？ （2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 18. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 对数均值不等式在各个领域都有着重要应用． （1）讨论，的单调性 （2）试证明对数均值不等式： （3）设，试证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学高二（下）数学第一次月考数学试卷 一、单选题： 1. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. 有极小值，无极大值 B. 既有极小值又有极大值 C. 有极大值，无极小值 D. 无极小值也无极大值 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断三次函数的单调性，进而求出极值即可. 【详解】因为，所以， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 即极小值为，极大值为， 得到既有极小值又有极大值，故B正确. 故选：B 3. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 当时，有极值 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 4. 若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 5. 已知函数在上有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，分析可知，直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，可得， 令，则直线与函数的图象有三个交点， ，令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 如下图所示： 由图可知，当时，即当时， 直线与函数的图象有三个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 6. 已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记在上的零点为，结合导函数的图象可求出的单调区间，再根据可求出当时的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】记在上的零点为， 由在上的图象，知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在唯一的零点是1，即， 所以当时，，当时，． 又为偶函数，所以当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：B． 7. 已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案. 【详解】构造函数 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 故 ， 即 ， 即 . 同理， ， 即 . 故选 ： A. 8. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出． 【详解】对A，，当时，，所以A错误； 对B，，在上恒成立，所以B正确； 对C，，，所以C错误； 对D，，，因为，所以D错误． 故选：B． 二、多选题： 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 10. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为， B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有三个根，则 D. 若对于恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分式函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进而直接判断A和B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可判断C，设函数，并求出与函数的切点的横坐标，结合图象分析时，直线斜率增大，此时函数满足在时处于直线下方，从而判断D. 【详解】（i）当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. （ii）当时，，， 当在单调递增， 当在单调递减， 故， 且当时， ，，恒有. 综上可知，， 作出函数大致图象，如下图. 对于A，函数的单调减区间为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，方程有三个根， 则所以与有3个公共点， 由图象可知当时，与有3个交点，满足题意， 即的取值范围是，故C正确; 对于D，设函数为过定点的直线， 且与函数的切点为， 则有① ，②，且③， 由①②得， 将③代入上式可得，即， 即，解得或（舍去）， ，此时直线与函数相切，为临界情况； 当，直线斜率增大，此时函数满足在时，处于直线下方， 即对于恒成立， 因此，，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】总结点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对函数解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可以将问题转化为方程在区间内有唯一实数根，构造函数，，利用导数得在区间内单调递增，可得，进而确定答案. 【详解】由题意有方程在区间内有唯一实数根， 即方程在区间内有唯一实数根，令， ，所以在区间内单调递增， 所以，所以， 因为，， 故选：ABC 三、填空题： 12. 若函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数列方程，先求得，进而求得. 【详解】对求导，得， 所以，解得， 所以，将代入，可得. 故答案为： 13. 已知曲线经过点，则过点的曲线C的切线方程是______ 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，利用求导得切线斜率，写出切线方程，将点代入求得，回代入切线方程即可. 【详解】因为曲线经过点，所以，解得， 则曲线方程为，， 设切点为，切线斜率为，由导数的几何意义得， 则切线方程为，又切线经过点， 则，解得， 则切线方程为，即. 故答案为：. 14. 已知有两个极值点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】经求导转化可知，函数有两个极值点，等价于函数与的图象有两个交点.，故只需研究函数的图象即可求得参数范围. 【详解】由求导，，由可得：， 因不满足此式，故可得：， 则函数有两个极值点，即函数与的图象有两个交点. 由求导，，则当时，，当时，，当时， 则函数在和上是减函数，在上是增函数，故时，取得极小值. 且当时，，当从0的左边趋近于0时，，当从0的右边趋近于0时，，当时，. 故可作出函数的图象如图. 由图可知：函数与的图象有两个交点等价于. 故答案为：. 四、解答题： 15. 已知函数在与处都取得极值． （1）求，的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可. （2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）由题设，，又，，解得，． （2）由，知，即， 当时，，随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值， 要使对任意恒成立，则只需，解得或， ∴实数的取值范围为． 16. 已知函数，若在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）求函数在上的极值． 【答案】（1） （2）极大值，极小值 【解析】 【分析】（1）根据导数与切线方程的关系列式计算即可； （2）求出函数的单调区间，根据单调区间确定函数在区间内的极值． 【小问1详解】 因为，所以， 由题意得，所以，； 故的解析式为 【小问2详解】 由（1）得，， 因为，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故当时，函数取得极大值， 故当时，函数取得极小值 17. 如图（1），一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，如图（2），所得容器的容积V（单位：）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数. （1）随着x的变化，容积V是如何变化的？ （2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 【答案】（1）当时，函数单调递增；当时，函数单调递减． （2）当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192 【解析】 【分析】（1）首先写出V关于x的函数解析式，然后利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）根据函数的单调性即可求得最大值及自变量的取值. 【小问1详解】 根据题意可得，由实际情况可知函数的定义域为. 根据导数公式表及导数的运算法则可得 ，解方程，得，（舍）， 令得，令得， 所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减. 【小问2详解】 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减， 因此，是函数的极大值点也是最大值点，此时， 所以当截去的小正方形的边长为8cm时，得到的容器容积最大，最大容积为8192. 18. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况导数的符号，进而可求函数的单调区间； （2）将已知条件转化为恒成立，构造函数，求出，转化为成立，然后构造函数，借助导数判断的单调性，从而得出满足条件的的取值范围. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递减， 当时，令，得， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 综上所述，当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； 【小问2详解】 若不等式恒成立，又 则有恒成立 设函数，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，不合题意 当时，令，解得 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以， 由恒成立，则成立， 即成立 令，则 所以函数在上单调递增， 又，， 所以当时，成立. 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】关键点：第（1）问的关键是分和讨论；第（2）问的关键是构造两个函数和，借助导数求出最值和单调性，即可得解. 19. 对数均值不等式在各个领域都有着重要应用． （1）讨论，的单调性 （2）试证明对数均值不等式： （3）设，试证明： 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性. （2）先进行转化：，；，.在利用（1）的结论证明. （3）利用，可得，再累加求和即可. 【小问1详解】 在上恒成立，所以在上单调递增； 在上恒成立，所以在上单调递减. 【小问2详解】 不妨设 因为 设，，则问题转化为：，. 由（1）可知，函数在上单调递增，所以. 故，成立，所以： . 又因为. 由（1）知在上单调递减，所以，故，成立，所以. 所以：成立. 【小问3详解】 根据， 所以, 所以，成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $