广西贵港市桂平市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年广西贵港市桂平市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确） 1．（3分）在△ABC中，∠A＝22°，∠C＝90°，则∠B的度数是（　　） A．48° B．58° C．68° D．78° 2．（3分）以下各组数据为三边的三角形中，是直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，5，7 C．5，7，9 D．6，8，10 3．（3分）我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A．12 B．6 C．4 D．3 5．（3分）正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C的度数为（　　） A．40 B．50 C．100 D．130 7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则BC的长（　　） A．4 B． C．3 D．6 8．（3分）如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝3，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（　　） A．2.8 B．3 C．4.2 D．5 9．（3分）顺次连接任意四边形的各边中点得到的四边形一定是（　　） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 11．（3分）如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了（　　）米，却踩伤了花草． A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 12．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝4，∠BCD＝120°，点P是BC边上一动点（不与点B，点C重合），PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 13．（2分）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 　 　． 14．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10cm，则BC的长为 　 　cm． 15．（2分）如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是　 　米． 16．（2分）菱形ABCD的两条对角线相交于点O，已知AB＝5cm，OB＝3cm，则菱形ABCD的面积为 　 　． 17．（2分）如图所示，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可得出正方形A的面积是 　 　． 18．（2分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的动点，M、N分别是EF、AF的中点，则MN长的最大值是 　 　． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（6分）计算：（﹣2）×3+22÷（7﹣5）． 20．（6分）如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB＝DE．求证：Rt△ABC≌Rt△DEC． 21．（10分）（1）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． （2）已知：∠AOB和点M，N． 求作：点P，使点P到∠AOB的两边距离相等，且到M，N两点的距离也相等． 要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． （温馨提示：为便于扫描，请将作图痕迹加粗加黑） 22．（10分）如图，已知CD＝4，AD＝3，∠ADC＝90°，BC＝12，AB＝13． （1）求AC的长． （2）求图中阴影部分图形的面积． 23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）试判断AB与AF，EB之间存在的数量关系．并说明理由． 24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长． 25．（10分） 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 26．（10分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：如图1，将矩形纸片ABCD折叠，使AB落在边AD上，点B与点E重合，折痕为AF； 根据以上操作：四边形AEFB的形状是 　 　； 操作二：沿EF剪开，将四边形AEFB折叠，使边AB，AE都落在四边形的对角线AF上，折痕为AG，AH，连接GH，如图2． 根据以上操作：∠GAH的度数为 　 　；线段BG、GH、EH的数量关系是 　 　． （2）迁移探究 如图3，在BF、EF上分别取点I、J，使∠IAJ和图2中的∠GAH相等，连接IJ，探究线段BI，IJ，EJ之间的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究下，连接对角线BE，若图3中的∠IAJ的边AI，AJ分别交对角线BE于点K，R，将纸片沿对角线BE剪开，如图4，若BK＝1，ER＝2，直接写出KR的长． 2023-2024学年广西贵港市桂平市八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B B A D B A D A B 题号 12 答案 A 一、选择题（12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的四个选项中只有一项是正确） 1．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝22°，∠C＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝68°． 故选：C． 2．【解答】解：A、22+32≠42，故不是直角三角形； B、32+52≠72，故不是直角三角形； C、52+72≠92，故不是直角三角形； D、62+82＝102，故是直角三角形． 故选：D． 3．【解答】解：A．不是中心对称图形； B．是中心对称图形； C．不是中心对称图形； D．不是中心对称图形； 故选：B． 4．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12， 则CD＝AB＝×12＝6， 故选：B． 5．【解答】解：∵360÷30＝12， 则正多边形的边数为12． 故选：A． 6．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∠B＝50°， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠B＝180°， ∴∠C＝130°， 故选：D． 7．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝8， ∴AC＝BD＝8，∠ABC＝90°， ∴OA＝OB＝4， ∵∠AOB＝60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB＝OA＝4， ∴BC＝＝＝4， 故选：B． 8．【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥OB于H， ∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB， ∴DE＝DH＝3， ∵F是射线OB上的任一点，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短， ∴DF的长度不可能小于3， ∴DF的长度不可能是2.8， 故选：A． 9．【解答】解：连接BD， 已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点． 在△ABD中，E、H是AB、AD中点， 所以EH∥BD，EH＝BD． 在△BCD中，G、F是DC、BC中点， 所以GF∥BD，GF＝BD， 所以EH＝GF，EH∥DF， 所以四边形EFGH为平行四边形． 故选：D． 10．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB＝＝5， ∵D、E分别为CA、CB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE＝AB＝， ∴∠DFA＝∠FAB， ∵AF平分∠BAC， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴DF＝AD＝AC＝＝， ∴EF＝DE﹣DF＝1， 故选：A． 11．【解答】解：在Rt△ABC中，已知AB＝3m，AC＝4m， ∴， 所以他们仅仅少走了3+4﹣5＝2（m）． 故选：B． 12．【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，且∠BCD＝120°， ∴∠CBD＝， ∵PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F， ∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°， ∴四边形OEPF是矩形， ∴OP＝EF， ∵当OP取得最小值时，EF也最小， ∴当OP⊥BC时，OP最小， ∵AB＝4，∠BCD＝120°，∠CBD＝， ∴BC＝4，OB＝cos∠CBD•BC＝×4＝2，OC＝sin∠CBD•BC＝×4＝2， ∴S△BOC＝OB•OC＝OP•BC， ∴OP＝， ∴EF的最小值为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.） 13．【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得： 180（x﹣2）＝1080， 解得：x＝8， 故答案为：8． 14．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝10cm， ∴BC＝AB＝5cm， 故答案为：5． 15．【解答】解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m， ∴另一直角边长＝＝12m， 故梯子可到达建筑物的高度是12m． 故答案为：12． 16．【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3cm， 在Rt△ABO中，AB＝5cm， ∴AO＝＝4cm， ∴AC＝8cm， ∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝＝24cm2． 故答案为：24cm2． 17．【解答】解：由勾股定理可得： 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方， ∴正方形A的边长的平方＝18+6＝24， ∴正方形A的面积＝24， 故答案为：24． 18．【解答】解：如图所示，连接AE， ∵M，N分别是EF，AF的中点， ∴MN是△AEF的中位线， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°， ∴AE＝＝， ∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大， ∵点E是BC上的动点， ∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度， ∴此时AE＝＝4， ∴MN＝AE＝2， ∴MN的最大值为2． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．【解答】解：原式＝﹣6+4÷2 ＝﹣6+2 ＝﹣4． 20．【解答】证明：∵AD⊥BE， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∵C是BE中点， ∴BC＝CE， 在Rt△ABC和Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）． 21．【解答】解：（1）设这个多边形是n边形，由题意得（n﹣2）×180°＝360°×3， 解得n＝8， 答：这个多边形的边数是8； （2）如图，点P即为所求． 22．【解答】解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°， 由勾股定理，得：AC＝＝＝5； （2）∵AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴图中阴影部分图形的面积＝S△ABC﹣S△ACD＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24． 23．【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△FCD和Rt△BED中， ， ∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL）， ∴CF＝EB； （2）解：AB＝AF+2BE， 理由如下：在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， ∴AB＝AE+BE＝AF+FC+BE＝AF+2BE． 24．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形， ∵AC平分∠DAB， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3， ∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6， ∴∠AOB＝90°， ∴AB＝＝＝5， ∵CE⊥AB， ∴S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD， 即5CE＝×8×6， 解得：CE＝， 即CE的长为． 25．【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c2＝4×， 整理得，c2＝a2+b2； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝5， ∵， ∴CD＝； （3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴c2＝13，（b﹣a）2＝1， ∴a2+b2﹣2ab＝1， ∴2ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25， 即（a+b）2的值为25． 26．【解答】解：（1）操作一：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BAD＝90°， 将矩形纸片ABCD折叠，使AB落在边AD上，点B与点E重合，折痕为AF， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE为矩形， ∵AB＝AE， ∴四边形ABFE是正方形， 操作二：由折叠得∠BAG＝∠GAF＝∠BAF，∠EAH＝∠HAF＝∠EAF， ∠GAH＝∠FAG+∠FAH＝∠BAF+∠EAF＝∠BAD＝45°， 由折叠可知，BG＝MG，EH＝MH， ∴GH＝BG+EH， 故答案为：正方形，45°，GH＝BG+EH； （2）IJ＝EJ+BI．理由如下： 如图，将△AEJ顺时针旋转90°得到△ABJ'， 由旋转的性质可得AJ＝AJ'，EJ＝BJ'，∠EAJ＝∠BAJ，∠ABJ'＝∠E， ∵四边形ABFE为正方形， ∴∠BAE＝∠E＝∠ABF＝90°， ∴∠ABJ'＝90°， ∴∠ABJ'+∠ABF＝90°+90°＝180°， 即J'、B、F三点在同一直线上， 由（1）中结论可得∠IAJ＝45°， ∴∠BAI+∠EAJ＝45°， ∴∠BAJ'+∠BAI＝45°， ∴∠IAJ＝∠IAJ'． 在△AIJ和△AIJ'中， ∵AI＝AI，∠IAJ＝∠IAJ'，AJ＝AJ'， ∴△AIJ≌△AIJ'（SAS）， ∴IJ＝IJ'， ∵IJ'＝BJ'+BI， ∴IJ＝EJ+BI； （3）KR＝， 如图，将△AER绕点A顺时针旋转90°得到△ABR'，连接KR'， 根据旋转的性质可得∠E＝∠ABR'＝45°，ER＝BR， 由（2）中的结论可证．△AKR≌△AKR'， ∴KR＝KR'， ∴∠E＝45°，∠ABE＝45°， ∴∠KBR'＝∠ABE+∠ABR'＝90°， 在Rt△KBR'中，BK2+BR'2＝KR'2， ∴BK2+ER2＝KR2， ∴KR＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$