精品解析：浙江省绍兴市柯桥区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024学年第一学期九年级期终学业评价调测试卷 数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷两部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共6页． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 3. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且．若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，以为直径的分别交于点，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，则______． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是____________________． 14. 如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是______．（结果保留） 15. 已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是______． 16. 如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为______． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题各8分，第22～23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）． （2）已知，求代数式的值． 18. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得，画出； （2）在（1）的条件下，求点A经过的路径长（结果保留）． 20. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． （1）求台灯光线最佳时的度数； （2）求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，） 21. 如图，在中，是的中点，，交于点为上一点，连结，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在古今中外许多著名建筑中，有很多应用圆弧设计的元素． 如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱． 图2是两心尖拱的示意图，其中，点称为起拱处，点称为拱尖，到的距离CD称为拱高，与关于直线成轴对称．和的圆心分别是点、，且、恰好落在直线上． （1）如图3，当点恰好与重合，点恰好与重合，若，求所在圆的半径长； （2）若图2中，，，求两心尖拱的两个圆心、之间的距离． 23. 设二次函数（，、是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： … 0 1 2 … … 1 1 … （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，有最小值为，求的值； （3）求的最大值． 24. 四边形内接于，为直径，连结，过A作于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，连结，且； ①求证：； ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级期终学业评价调测试卷 数学 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷两部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共6页． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，再根据比例的性质，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：C． 2. 已知的半径为5，，则点在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：， 点与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 【点睛】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 3. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况， ∴任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是：． 故选：A． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有m种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现n种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 4. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到大排列（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增加性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线； ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，，， ∴； 故选B． 5. 如图，在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正五边形的性质，进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 7. 如图，已知直线，，分别交直线于点，，，交直线于点，，，且．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，由，得，把，，代入求出，然后由线段和差即可求解，掌握平行线分线段成比例定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，中，，，以为直径的分别交于点，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用圆的内接四边形对角互补可得：，最后利用等角的补角相等可得，从而证明，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H， 在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 10. 如图，函数的图象与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连接交于点，连接，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．先将转化为，过点作轴的平行线交的延长线于点，得到，从而得到，将转化为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，设点的坐标为，点的坐标为，表示出的长，进而表示出，最后根据二次函数的图象与性质求得最大值． 【详解】解：由题知， 如图所示，过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ， ， ， 对于函数， 令，则有， 解得，， ，， ， 令，则有， ， 设直线的函数解析式为，则有： ，解得， 直线的函数解析式为， ， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，最大值为， 即的最大值为． 故选：B． 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据二次函数的顶点式的特点进行判断可以得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，网格线的特点，取格点D，连接，易得，再利用正切的定义即可解答． 【详解】解：取格点D，连接， 由网格线的特征得：， ∴． 故答案为：． 13. 已知点P是线段的黄金分割点，，那么的长是____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故答案为：． 14. 如图，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是：将阴影部分的面积转化为扇形的面积． 连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、． ∵，是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律． 根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6. 16. 如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作交于点P，交于点Q，则，，所以，而，则，推导出，然后可证明，再证明，得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点E作交于点P，交于点Q，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题各8分，第22～23题各10分，第24题12分，共72分） 17. 计算： （1）． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，比例的性质，熟记三角函数值，掌握消元变形代入计算的技能是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可． （2）变形得，代入化简计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：根据题意，即， 则． 18. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球． （1）摸出一个球是红球的概率； （2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率及用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用红球数除以总球数即可得解； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 两次摸到红球的概率为． 19. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得，画出； （2）在（1）的条件下，求点A经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图所示，为所求； （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转作图，求弧长，勾股定理． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可得到； （2）利用勾股定理求出，根据旋转角为，利用弧长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 点A经过的路径长为：． 20. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图如图2所示（台灯底座高度忽略不计），其中灯柱，灯臂，灯罩，，，分别可以绕点上下调节一定的角度．经使用发现：当，且时，台灯光线最佳． （1）求台灯光线最佳时的度数； （2）求台灯光线最佳时点到桌面的距离．（精确到，参考数值：，，） 【答案】（1） （2）点到桌面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）过点C作，由题意得，再结合，，利用平行线的性质即可解答； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，然后根据锐角三角函数，即可得到的长，再根据，即可求得的长，从而可以解答本题． 【小问1详解】 解：过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图所示， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴（cm）， 答：点到桌面的距离约为． 21. 如图，在中，是的中点，，交于点为上一点，连结，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴ ，， ∵是的中点，即， ∴，即， ∴即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质． （1）由，易证，，由相似三角形的性质得，，得出，从而可得结论； （2）由（1）知，推出，求出 ，再根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 在古今中外许多著名建筑中，有很多应用圆弧设计的元素． 如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱． 图2是两心尖拱的示意图，其中，点称为起拱处，点称为拱尖，到的距离CD称为拱高，与关于直线成轴对称．和的圆心分别是点、，且、恰好落在直线上． （1）如图3，当点恰好与重合，点恰好与重合，若，求所在圆的半径长； （2）若图2中，，，求两心尖拱的两个圆心、之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． （1）由，在中，根据勾股定理，即可求解， （2）先确定圆心的位置，再根据勾股定理，求出的长，由垂径定理，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 设， 根据题意得， 在中，，即：， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，在图中做出圆心M、圆心N，过点M作于点， ∵，， ∴， 在中，， 根据垂径定理可得垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：，解得：， ∵，关于直线成轴对称， ∴， ∴，即：， ∴． 23. 设二次函数（，、是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示： … 0 1 2 … … 1 1 … （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，有最小值为，求的值； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用表格数据以及待定系数法求解即可； （2）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可； （3）根据题意得出是二次函数的顶点，由，得出，则二次函数为，得出，求出求，代入，即可解答． 【小问1详解】 解：若时， 把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由表可知，抛物线经过两点， ∴当或时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴ ∵当时，有最小值为， ①当时， ∵， ∴时，有最小值为， ∴，解得：； ②当时，则，函数y取得最小值， ∴，解得：； 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：∵和时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点， ∵， ， ∴二次函数为， ∴， ， ∴， ∵， ， ∴的最大值为． 24. 四边形内接于，为直径，连结，过A作于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点，连结，且； ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为直径，于点H， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）由为直径，于点H，得，所以，，由圆周角定理得，则问题可求证； （2）①由，得，而，所以，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证； ②作于点L，由，且，得，则，设，由，得，则，然后根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 略 ②解：如图2，作于点L，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，此题综合性质强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $