精品解析：广东省珠海市香洲区 2024—2025 学年上学期义务教育阶段质量监测九年级数学试题

香洲区2024—2025学年度第一学期义务教育阶段质量监测 九年级数学 说明：1．全卷共5页．满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，下列事件是必然事件的是（ ） A. 出现的点数大于 B. 出现的点数为 C. 出现点数为 D. 出现的点数为 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 4. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 5. 如图，点A，B，C，D都在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，从一块长、宽的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为，求长方形框的宽度．设长方形框的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（ ） A. 26寸 B. 13寸 C. 12寸 D. 5寸 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 10. 如图，已知抛物线经过等腰直角的三个顶点，点A在x轴上，点B是抛物线的顶点，，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标是______． 12. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果． 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率 0.56 0.46 048 0.52 0.50 0.51 0.50 0.50 根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为______（结果精确到0.1）． 13. 已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是________． 14. 如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二方程的解为______． 15. 如图，在中，，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转至，连接，．当时，的长为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，是的直径，，过点C作于点E． （1）求的度数； （2）证明：直线是的切线． 18. 甲、乙两人玩转盘游戏，如图是一个可以自由转动的转盘，转盘上有三个等面积区域，分别标有1、2、3．甲转动转盘两次，乙分别记录转盘两次停下时指针所在区域的数字（若指针落在两区域分界线上，则此次转动无效，重新转动）．当两次数字不相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克的虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． （1）当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？ （2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 20. 如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． （1）若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； （2）随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 21. 珠海市某中学举行秋季校运动会．如图1，跑道内圈是由长为87米的两条直道和半径为36米的两条半圆弧跑道组成．内道第1跑道长：．跑道分为8道，每条跑道宽1.2米．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） （1）400米分跑道划线时，终点线设置在分界线处（如图1和图2）．为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上（如图中A，C，E，…），那么各外圈跑道起跑线较相邻内圈跑道起跑线依次应向前延伸多少米？（结果保留π） （2）米接力赛的第三接力区一般都在弯道上，画接力区线的方法通常用固定基准点放射式丈量法，此方法需要用到圆心角的相关量（如图1和图3）．已知第六跑道内侧线米，试计算的大小（结果保留π）． 五、解答题（三）（本大题3小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点A旋转，从点B处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点P的坐标为． （1）求出抛物线解析式； （2）为了检验投石器的性能，在点O的正前方3米~ 3.5米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.75米，外壁高为1米的目标箱(其中、垂直x轴)．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在x轴正方向移动投石器．（注：假设每次都以相同的角度和力度投石；以下问题的取值范围都不取端点） ①当垫高投石器时，设垫高的高度为h米，求h的取值范围； ②当在x轴正方向上移动投石器时，设向前移动的距离为m米，求m的取值范围． 23. 已知：在等腰直角中，，．点是平面上不与点、点重合的一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到，连接、、． （1）如图1，当点在延长线上时，则的度数为 ，并说明理由； （2）如图2，当点在的延长线上时，若，求的面积； （3）如图3，点、分别是、的中点，点在直线上，当点、、共线时，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香洲区2024—2025学年度第一学期义务教育阶段质量监测 九年级数学 说明：1．全卷共5页．满分120分，考试用时120分钟． 2．答案写在答题卷上，在试卷上作答无效． 3．用黑色字迹钢笔或签字笔按各题要求写在答题卷上，不能用铅笔或红色字迹的笔． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D ． 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，下列事件是必然事件的是（ ） A. 出现的点数大于 B. 出现的点数为 C. 出现的点数为 D. 出现的点数为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点 【详解】解：A、出现的点数大于，是必然事件，故A符合题意； B、出现的点数为，是随机事件，故B不符合题意； C、出现的点数为，是随机事件，故C不符合题意； D、出现的点数为，是随机事件，故D不符合题意； 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根求解即可． 【详解】解：，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限， 故选：B． 5. 如图，点A，B，C，D都在上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，根据垂径定理的即可求得：，然后由圆周角定理，即可求得的度数． 详解】解：， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 6. 如图，从一块长、宽的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为，求长方形框的宽度．设长方形框的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据从一块长、宽的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为，列式，即可作答． 【详解】解：依题意，小长方形的长为，，小长方形的宽为， ∴， 故选：A． 7. 如图，《九章算术》记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，其大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯子去锯这根木材，锯口深为1寸，锯道长1尺（1尺寸），问圆形木材的直径是（ ） A. 26寸 B. 13寸 C. 12寸 D. 5寸 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的应用，过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，则寸，，设圆的半径为x寸，利用勾股定理在中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【详解】解：过圆心O作于点C，延长交圆于点D，连接，如图 ∵， ∴，， 则寸，（寸）， 设圆的半径为x寸，则寸， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴圆材直径为（寸）． 故选：A． 8. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE， ∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点， ∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 10. 如图，已知抛物线经过等腰直角的三个顶点，点A在x轴上，点B是抛物线的顶点，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等知识．先求出点A的坐标是，则，过点B作于点H，根据等腰直角三角形的性质可以得到点B的坐标是，把点B的坐标代入函数解析式即可求出答案． 【详解】解：令， 解得或， ∴点A的坐标是， ∴， 过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形， ∴垂直平分，， ∴， ∴点B的坐标是， ∵点B在抛物线上， ∴ ∴， 由图象得，， 由图象得， 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：由题意，关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 12. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果． 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率 0.56 0.46 0.48 0.52 0.50 0.51 0.50 0.50 根据以上数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为______（结果精确到0.1）． 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据表格数据得出游戏参与者投中的频率趋近于0.50，即可估计出其概率约为0.50． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投中次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.50附近， ∴估计这组游戏参与者投中的概率约为0.5 故答案为：0.5． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定． 13. 已知反比例函数的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：利用待定系数法，直接把已知点代入函数的解析式即可求得k=-6，所以函数的解析式为：. 14. 如图，二次函数 的图象与直线相交于点和点，那么关于的一元二方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，理解函数解析式就是方程，函数图象上点的坐标就是方程的解是本题的关键． 方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：一元二方程变形为， ∵方程的解就是二次函数与直线交点的横坐标， ∵二次函数 的图象与直线相交于点和点， ∴的解是，， 故答案为：，． 15. 如图，在中，，，点D为中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转至，连接，．当时，的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，根据题意可得，当时，分点在线段上和的延长线上，且，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：连接， 在中，，， ， 点为的中点， ，， ，， 由旋转可知， ， 当点在上时，如图， ， 在中，， 当点在的延长线上，如图， 在中，， ∴ ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质，确定点的位置是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——配方法，熟知配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 17. 如图，是的直径，，过点C作于点E． （1）求的度数； （2）证明：直线是的切线． 【答案】（1） （2）证明见解答 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等边三角形的判定及性质，切线的判定等；掌握圆的基本性质，切线的判定是解题的关键． （1）连接、，由，得，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，即可求解； （2）由于点E，得，由平行线的性质求得，由切线的判定方法即可求证． 小问1详解】 解：连接、， ∵， ， ， 是等边三角形， ， 的度数是． 小问2详解】 证明：于点E， ， ， ， ， 是的半径，且， ∴直线是的切线． 18. 甲、乙两人玩转盘游戏，如图是一个可以自由转动的转盘，转盘上有三个等面积区域，分别标有1、2、3．甲转动转盘两次，乙分别记录转盘两次停下时指针所在区域的数字（若指针落在两区域分界线上，则此次转动无效，重新转动）．当两次数字不相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由． 【答案】这个游戏不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图法．列表展示所有9种等可能的结果，再找出两次数字不相同得结果数为6，所以甲赢的概率为，则乙赢的概率为，然后比较两个概率的大小可判断游戏规则说法公平． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 1 2 3 共有9种机会均等的结果，其中数字相同的有3种，数字不相同的有6种， 所以，， ∴， ∴这个游戏不公平． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 珠海市某海鲜市场销售一种成本为40元/千克虾，若按50元/千克销售，一个月售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克． （1）当月销售利润达到8000元时，试计算销售单价定为多少元？ （2）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）当时销售单价定为60或80元月销售利润达到8000元 （2）当定价为70时，最大利润为9000元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和方程的思想解答． （1）根据月利润每千克的利润销售量列出一元二次方程，解方程即可； （2）根据月利润每千克的利润销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质求函数最值． 【小问1详解】 解：设定价为x元时，获利8000元， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：，， 答：当时销售单价定为60或80元月销售利润达到8000元； 【小问2详解】 解：设定价为x元，利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，利润w有最大值为9000， 答：当定价为70时，最大利润为9000元． 20. 如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，． （1）若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ； （2）随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积． 【答案】（1）4，8 （2）不变，8 【解析】 【分析】（1）延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，依题意得点，四边形是矩形，四边形是梯形，点，点，则，，，，，，由此可得的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，，由此得； （2）设点P的坐标为，则点点，点，同理可证明四边形是矩形，四边形是梯形，则，，，，，，由（1）可知． 此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示： ∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上， ∴点， ∵平行y轴，平行y轴， ∴，轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2， ∴四边形是矩形，四边形是梯形， 又∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， ∴，，，， ∴，， ∴， 根据反比例函数比例系数k的几何意义得：， ， ∴， 故答案为：4；8； 【小问2详解】 解：的面积不发生变化，始终等于8，理由如下： 设点P的坐标为， 则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为， ∵点A，B在反比例函数的图象上， ∴点，点， 同理可证明：四边形是矩形，四边形是梯形， 则，，，， ∴， ∴， 由（1）可知：． 21. 珠海市某中学举行秋季校运动会．如图1，跑道内圈是由长为87米的两条直道和半径为36米的两条半圆弧跑道组成．内道第1跑道长：．跑道分为8道，每条跑道宽1.2米．（注：跑道的长度近似于该跑道的内侧线的长度） （1）400米分跑道划线时，终点线设置在分界线处（如图1和图2）．为消除跑外圈与跑内圈的差距，起跑时让运动员处于不同的起跑线上（如图中A，C，E，…），那么各外圈跑道起跑线较相邻内圈跑道起跑线依次应向前延伸多少米？（结果保留π） （2）米接力赛的第三接力区一般都在弯道上，画接力区线的方法通常用固定基准点放射式丈量法，此方法需要用到圆心角的相关量（如图1和图3）．已知第六跑道内侧线米，试计算的大小（结果保留π）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的周长计算和弧长计算． （1）因为直线跑道长度相同，所以相邻两个跑道的长度差即为两个半圆形跑道的长度差，根据圆的周长公式计算即可； （2）先计算半径的长度，再根据弧长公式，计算圆心角即可． 【小问1详解】 解：设第n条圆弧形跑道内侧的半径为， ； 【小问2详解】 解：第6跑道内侧半径为， ． 五、解答题（三）（本大题3小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点A旋转，从点B处把石头甩出．石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点P的坐标为． （1）求出抛物线的解析式； （2）为了检验投石器的性能，在点O的正前方3米~ 3.5米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.75米，外壁高为1米的目标箱(其中、垂直x轴)．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在x轴正方向移动投石器．（注：假设每次都以相同的角度和力度投石；以下问题的取值范围都不取端点） ①当垫高投石器时，设垫高的高度为h米，求h的取值范围； ②当在x轴正方向上移动投石器时，设向前移动的距离为m米，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的额应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意设抛物线的解析式为，代入数据求解即可； （2）①设垫高后的抛物线解析式为，代入数据求解即可； ②设水平平移的解析式为，代入数据求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入可得， 解得：， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设垫高后的抛物线为， 把代入可得， 把代入可得， 所以， ②设水平平移的解析式为， 把代入可得，， 把代入可得，， ∵， ∴m的取值范围是或． 23. 已知：在等腰直角中，，．点是平面上不与点、点重合的一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到，连接、、． （1）如图1，当点在延长线上时，则的度数为 ，并说明理由； （2）如图2，当点在的延长线上时，若，求的面积； （3）如图3，点、分别是、的中点，点在直线上，当点、、共线时，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过作于，根据旋转的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，推出，于是得到； （2）取的中点，连接，，根据旋转的性质得到，，求得，，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）当点在线段上时，延长交的延长线于．根据平行线的性质得到，得到，推出，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，，，四点共圆，根据圆周角定理得到，，求得，得到，设，则，，于是得到；当点在线段上时，同法可证：，设,则，，得，得到． 【小问1详解】 解：的度数为，理由如下： 过作于，如图所示： 线段绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 取的中点，连接，，过作于， 如图所示： ， ， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， ，， 以点为圆心，长为半径画圆，，，，四点都在上 ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积； 【小问3详解】 当点在线段上时，延长交的延长线于，如图所示： ，， 是的中位线 ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，， 以点为圆心，长为半径画圆，，，，四点都在上 ，， ， ， 设，则， ， ， 当点在线段上时，同法可证：， 设,则， ， ， 得， 综上，或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $