精品解析：2025年湖南省长沙市望城区中考一模数学试题

2025年初中学业水平模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题要求； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 字母x说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数．那么表示的数（ ） A. 一定是负数 B. 一定是正数 C. 是0 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对有理数的认识，相反数，x可以表示正数，负数或0，而是x的相反数，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵是x的相反数， ∴当x表示正数时，表示负数； 当x表示负数时，表示正数； 当x表示0时，表示0； ∴表示正数，负数或0． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. （a2）3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a5÷a3＝a2 D. （a+2a）2＝4a2 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法和除法法则、合并同类项法则和积的乘方运算法则进行计算，即可得出答案. 【详解】解：A、（a2）3＝a6，所以此选项不正确； B、a2•a3＝a5，所以此选项不正确； C、a5÷a3＝a2，所以此选项正确； D、（a+2a）2＝（3a）2＝9a2，所以此选项不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了幂的运算性质和合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，18 D. 18，19 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义解题即可． 【详解】解：从小到大排列为：18，18，19，19，19，19，20， 其中出现最多次数的为：19，∴众数为19， 一共7个数，中位数为第4个数，∴中位数为：19， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，最后所得点的坐标是， 故选：B． 5. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 根据一次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴． 故选：D． 6. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（ ） A. 12寸 B. 24寸 C. 13寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用． 连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长． 【详解】解：连接， 设的半径是寸， ∵弦，垂足为点， 寸， 寸， 寸， ， ， ， ∴直径的长度为寸． 故选：D． 7. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ） A. B. C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图，设对角线相交于点O， ∵AC=8，DB=6， ∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3， 由勾股定理得AB===5， ∵DH⊥AB， ∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD， 即5DH=×8×6， 解得DH=． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 8. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球的个数为____ 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：设袋子中白球有个， 根据题意，可得：， 解得：， 所以估计袋子中白球大约有15个， 故答案为：15． 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式有意义， 则分母， 即． 故答案为：． 10. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积是______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，解题的关键是掌握扇形面积公式． 根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：， 故这个扇形的面积为． 故答案为：． 11. 如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得，则两地的距离为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 12. 在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了分数加法运算，先根据题意得出经过4次操作后所有数，然后将这些数相加，即可得出答案． 【详解】解：第一次操作后的各数为：1、4、3， 第二次操作后的各数为：1、、4、、3， 第三次操作后的各数为：1、、、、4、、、、3， 第四次操作后的各数为：1、、、、、、、、4、、、、、、、、3， ∴经过4次操作后所有数的和是： ． 故答案为：32． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先利用乘法分配律将算出来，然后经过去括号，合并同类项化简即可；最后再将值分别代入计算结果． 【详解】 当时，原式 【点睛】本题考查了整式的加减运算，以及求代数式的值；熟记整式的加减运算法则是解题关键． 14. 某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求区域扇形圆心角的度数； （3）已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数， （1）根据C项目所占百分比和人数，可求出总人数，即可求出B选项的人数，再补全统计图即可； （2）求出A选项所占的百分比，再乘以可得答案； （3）根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 样本的容量为， 则参加B项目的人数为． 补全统计图如下： 【小问2详解】 A区域扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是． 15. 如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． （1）求证：四边形是正方形． （2）当是的中点，且时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据即可得出结论； （2）连接，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，，，进而得到，在中由勾股定理得，据此可求的面积． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， 又， 菱形为正方形， 【小问2详解】 连接，如下图所示： 于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ，， ， 四边形为正方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， （负值舍去）， ． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时． ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②2 （2） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解不等式组等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①先求出时的函数解析式并化成顶点式，据此确定顶点坐标；假设顶点坐标在第三象限列出关于的不等式组，根据不等式组的解集情况即可证明结论； ②由二次函数与一元二次方程的关系结合题意可得，进而得到，从而确定函数解析式．最后求出、，然后作差即可解答； （2）先根据一次函数的性质得到，解得：；则，解得；抛物线解析式可化为，然后将点的坐标代入直线和抛物线解析式求得、，即可确定抛物线解析式，再确定对称轴，最后分三种情况分别根据二次函数的增减性即可解答． 【小问1详解】 ①证明：当时，代入抛物线并化为顶点式得： ， 顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则 解得：， 该不等式组无解， 抛物线的顶点不在第三象限； ②解：为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和， ． ， ， 抛物线为， 当时，，．则； 【小问2详解】 解：，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和， ． 解得：． ． ， ． ， 直线与该抛物线有交点，将点的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线为． 的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， 当时，取最小值为． ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， 当时，取最小值为0． ③当时，，随的增大而增大， 当时，取最小值为． 综上可知，当时，取最小值为；当时，取最小值为0；当时，取最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题要求； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 字母x说：我虽然不是具体的数，但是我可以表示各种各样的数．那么表示的数（ ） A. 一定是负数 B. 一定是正数 C. 是0 D. 以上都有可能 2. 下列计算正确的是（　　） A. （a2）3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a5÷a3＝a2 D. （a+2a）2＝4a2 3. 有一组数据：19，19，18，19，20，19，18，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 19，19 B. 19，18 C. 18，18 D. 18，19 4. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 6. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（ ） A. 12寸 B. 24寸 C. 13寸 D. 26寸 7. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ） A. B. C. 12 D. 24 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 8. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球的个数为____ 9. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 10. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积是______（结果保留）． 11. 如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得，则两地的距离为_________． 12. 在1、3两个数之间写上两个数之和4，看作第一次操作；再在1、4、3每相邻两个数之间写上两个数之和的，得到和两个数，看作第二次操作；第3次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；第4次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个数之间写上这两个数之和的；经过4次操作后所有数的和是________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 先化简，再求值：，其中． 14. 某校运动会田赛部分由、、、四个项目组成，学生可以任选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求区域扇形圆心角的度数； （3）已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰获奖的概率． 15. 如图，四边形是平行四边形，，，是边的延长线上的动点，连接，过点作于点． （1）求证：四边形是正方形． （2）当是的中点，且时，求的面积． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时． ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点，，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $