精品解析：河南省商丘市夏邑县县城中学联考2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3. 若二次三项式可以分解为，则方程的两根为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6. 若α是锐角，sinαcosα=p，则sinα＋cosα的值是（ ） A. 1＋2p B. C. 1－2p D. 7. 参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．若设有个球队参加比赛，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若，则点M到直线l的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A. 开口方向向上 B. 顶点坐标是（﹣2，1） C. 当x＜0时，y随x的增大而增大 D. 当x＝0时，y有最大值﹣ 10. 如图，梯形中，，，，交两腰于、．则下列结论： （1），． （2）． （3），． （4）． 其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计口袋中大约有红球 _______个． 13. 若点A（3，n）与点关于原点对称，则______． 14. 如图，在中，．若，则的面积为_____． 15. 如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于F，则的最小值为______________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16 （1）计算：； （2）解方程：． 17. 小朋和小亮报名参加运动会志愿者活动，他们将被随机分配到排球 A．游泳B．田径C．击剑D．四个项目中承担工作任务． （1）小朋被分配到游泳B项目概率为___________； （2）若小亮主动申请不到击剑D工作，并得到了允许．请用画树状图或列表的方法，求出小朋和小亮被分配到相同项目工作的概率． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 19. 如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，某中学九年级“智慧之星”数学社团的成员利用周末开展课外实践活动，他们要测量中心公园内的人工湖中的两个小岛，间的距离.借助人工湖旁的小山，某同学从山顶处测得观看湖中小岛的俯角为，观看湖中小岛的俯角为.已知小山的高为180米，求小岛，间的距离. 21. 某商场种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）设商品每件降价元，每天售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）为了每天盈利2100元，则每件商品应降价多少元？ （3）当商品每件降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，二次函数的最小值为，求a的值． 23. 在矩形中，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点． （1）如图1，当矩形是正方形时，若点在线段上，线段与数量关系是_________（填“相等”或“不相等”）； （2）如图2，当点在线段上，且，以点为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交于点，求的值； （3）如图3，若点，点，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，，连接，取的中点，连接，设，，求关于的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式具备的条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一进行判断即可得出答案． 【详解】A， ，不是最简二次根式，故错误； B，，不最简二次根式，故错误； C，，不是最简二次根式，故错误； D，是最简二次根式，故正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式具备的条件是解题的关键． 2. 计算的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 把三角函数值代入再按实数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：D． 3. 若二次三项式可以分解为，则方程的两根为（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次三项式可以分解为， ∴方程因式分解，得， ∴或， ∴，， 故选：． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式加法、乘法、除法的运算法则逐一计算，即可得到答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、，原计算错误，不符合题意，选项错误； C、，原计算正确，符合题意，选项正确； D、，原计算错误，不符合题意，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算判别式即可得到答案． 【详解】∵= ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程根的情况，正确掌握判别式的三种情况即可正确解题． 6. 若α是锐角，sinαcosα=p，则sinα＋cosα的值是（ ） A. 1＋2p B. C. 1－2p D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由sinα+cosα平方，得 (sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2p． ∵α是锐角， ∴sinα+cosα>0， ∴sinα+cosα=， 故选：B. 7. 参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．若设有个球队参加比赛，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．由球队总数×每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为： ， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若，则点M到直线l的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，，该方程有两个相等的实数根，则，设点M到直线l的距离为，则，，由题意知，，、是该方程的两个根，则，由，可得，即，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，，该方程有两个相等的实数根， ∴， 设点M到直线l的距离为，则，， 当时，，、是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴点M到直线l距离为4， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 9. 关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A. 开口方向向上 B. 顶点坐标是（﹣2，1） C. 当x＜0时，y随x的增大而增大 D. 当x＝0时，y有最大值﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误； 顶点坐标为（0，1），故选项B错误； 当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10. 如图，梯形中，，，，交两腰于、．则下列结论： （1），． （2）． （3），． （4）． 其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行的判定与性质，平行分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，延长交于，先证明，得到，从而判定是的中位线，从而推出，从而知道②正确；接着利用平行分线段成比例，可知，，从而知道①正确，是的中位线，是的中位线，接着利用三角形中位线的性质，可得到③正确，最后利用得到④正确． 【详解】解：连接，延长交于，如图所示: ， ，， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，故②正确； ， 是的中位线，是的中位线，，，故①正确； ， 同理可证，故③正确； ，， ，故④正确； 综上分析可知：正确的有4个． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的定义得出是解答本题的关键． 根据同类二次根式的定义得出，再求出的值，得到答案． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故答案为：． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计口袋中大约有红球 _______个． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式、解分式方程，正确运用概率公式是解题关键．根据题意，设口袋里面大约有个红球，根据摸到黄球的频率是，则，解出分式方程，即可． 【详解】解：设口袋中大约有个红球， ∵口袋里面有个黄球，摸到黄球频率是 ∴ 解得：． 经检验，是方程的解． 故答案为：． 13. 若点A（3，n）与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于圆点对称点的特征求出m、n的值，计算即可． 【详解】解：∵点A（3，n）与点关于原点对称， ∴，， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，熟知关于原点对称的两个点横纵坐标均互为相反数是解本题的关键． 14. 如图，在中，．若，则的面积为_____． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质，得到，进而得到，得到，，得到，根据同高三角形的面积比等于底边比求出，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：70． 15. 如图，在中，，P为边上一动点，于点E，于F，则的最小值为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接． ∵在中，， ∴， ∴． 又∵于点E，于F． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴当最小时，也最小， 即当时，最小， ∵， ∴， ∴线段EF的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数运算，解一元二次方程： （1）先计算立方根和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， 解得． 17. 小朋和小亮报名参加运动会志愿者活动，他们将被随机分配到排球 A．游泳B．田径C．击剑D．四个项目中承担工作任务． （1）小朋被分配到游泳B项目的概率为___________； （2）若小亮主动申请不到击剑D工作，并得到了允许．请用画树状图或列表的方法，求出小朋和小亮被分配到相同项目工作的概率． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率的意义求解即可； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可． 【小问1详解】 解：共4种可分配的可能性，其中分配到游泳B项的只有1种， 因此小朋被分配到游泳B项目的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 树状图如图： 由表可知，共有12种等可能出现的结果，其中分配到不同项目工作的有3种， 所以分配到不同项目工作的概率为． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，平行四边形的性质和菱形的判定和性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，菱形的性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可得出答案； （2）当，是菱形，即可求出m的值，然后代入原方程，解方程即可得出菱形的边长． 【小问1详解】 解： ， ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：是菱形， ∴， 的两边、的长是已知方程的两个实数根． ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， 此时菱形的边长为． 19. 如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由矩形的性质可得，利用余角性质得，进而由相似三角形的判定即可求证； （）由相似三角形的性质可得，进而可得，即得，据此即可求解； 本题考查了矩形的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵分别是的中点，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，某中学九年级“智慧之星”数学社团的成员利用周末开展课外实践活动，他们要测量中心公园内的人工湖中的两个小岛，间的距离.借助人工湖旁的小山，某同学从山顶处测得观看湖中小岛的俯角为，观看湖中小岛的俯角为.已知小山的高为180米，求小岛，间的距离. 【答案】小岛，间的距离为米. 【解析】 【分析】根据三角函数的定义解直角三角形 【详解】解：在中，由题可知，∴. 在中，由题可知. ∵， ∴. ∴. 答：小岛，间的距离为米. 【点睛】本题考查了利用三角函数解实际问题，注意三角函数的定义，别混淆 21. 某商场种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）设商品每件降价元，每天售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）为了每天盈利2100元，则每件商品应降价多少元？ （3）当商品每件降价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）20元 （3）当降价17.5元时，每天的利润最大，最大利润是2112.5元 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出与的函数关系式； （2）将数据代入（1）的函数关系式中，即可得到结果； （3）应用二次函数的性质，判断出最值． 【小问1详解】 （1）， 答：与的函数关系式为． 【小问2详解】 2）当时，， 整理得，解得，． ∵要尽快减少库存，∴不合题意，舍去，∴． 答：每件商品降价20元时，商场每天盈利可达到2100元． 【小问3详解】 （3）， ∵，抛物线开口向下，有最大值． 当时，最大． 答：当降价17.5元时，每天的利润最大，最大利润是2112.5元． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，及最值的判断；根据题意准确写出二次函数的表达式是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，二次函数的最小值为，求a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）二次函数的对称轴是直线，求出，将A的坐标代入中，即可求解； （2）分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：（1）∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入中， 解得． ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 （2）①若，即时， 则当时，函数值最小， ∴， 解得：或（舍去）； ②如，即时， 则当时函数值最小， ∴， 解得：（不合题意）； ③若， 则当时函数值最小， ∴， 解得：或（舍去）， ∴或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 在矩形中，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点． （1）如图1，当矩形是正方形时，若点在线段上，线段与的数量关系是_________（填“相等”或“不相等”）； （2）如图2，当点在线段上，且，以点为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交于点，求的值； （3）如图3，若点，点，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，，连接，取的中点，连接，设，，求关于的函数关系式． 【答案】（1）相等 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到，从而得到根据角边角判定即可得到证明； （2）先证，再证，结合相似三角形面积比等于相似比直接求解即可得到答案； （3）取中点，连接，过点作，垂足为，先证，再证，利用相似三角形及勾股定理，表示相应边的长度即可得到答案． 【小问1详解】 解：相等，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵矩形是正方形， ∴，， 在与中， ∴， ∴， 故答案为：相等； 【小问2详解】 解：是直角三角形 又 ∴四边形是平行四边形 ， ，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ； 小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ，， 取中点，连接，过点作，垂足为， 是的中点， 是的中位线，则，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，，， ． 【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定，三角形相似的性质与判定，三角形中位线定理，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $