精品解析：河南省商丘市睢县县城中学联考2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 计算的值是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于一元二次方程（，是不为的常数）的根的情况判断正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程有一个实数根 6. 若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A. B. C. D. 7. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若，则点M到直线l的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 已知二次函数，以下结论错误的个数为（　　） ①其图象的开口向上； ②其图象的对称轴为直线； ③其最大值为1； ④当时，y随x的增大而减小； ⑤顶点坐标为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 、分别是直角梯形两腰、的中点，于点，将沿翻折，与恰好重合，则等于( ) A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_____． 12. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则袋中红色幸运星颗数约为_____颗． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 14. 如图，在中，点E、F分别为边上的点，．若，，则的长为______． 15. 如图，四边形是菱形，点是边上的一动点，过点作于点，于点， (1)四边形的形状是__________． (2)若，，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）解方程：． 17. 2023年10月29日西安市迎来了一场激动人心的体育盛会——2023西安马拉松，当日，来自全国各地的参赛选手齐聚永宁门，通过参加比赛感受秀美西安的城市魅力和人文风情，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目． （1）甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是__________； （2）请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 19. 如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 如图，线段AC、BD表示两建筑物的高，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，从B点测得A点的仰角为30°，从B点测得C点的俯角为45°，已知BD＝69米，求两建筑物之间的距离CD与建筑物AC的高．（结果保留根号） 21. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每针降低1元，每周可多卖出20件． （1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？ （2）销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？ 22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，写出的取值范围； （3）当时，二次函数的最小值为，求的值． 23. 综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，，．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______； （2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形的面积； 【引申探究】（3）当点落在矩形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末考试试卷 九年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，利用最简二次根式的定义对各选项进行判断，熟知：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，是解题的关键． 【详解】解：A．为最简二次根式，所以A选项符合题意； B．，所以B选项不符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：A． 2. 计算的值是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】 ． 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：x²-5x=0, x(x-5)=0 x=0或x-5=0 ∴x=5或x=0 故选：C 【点睛】本题考查了用因式分解解方程． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断即可求解． 【详解】解：A、原式＝，所以A选项错误，不符合题意； B、原式＝2＋3＝5，所以B选项错误，不符合题意； C、原式＝，所以C选项正确，符合题意； D、原式＝，所以D选项错误，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，二次根式的加减先把二次根式化为最简二次根式，然后对被开方数相同的二次根式加减即可．熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 5. 下列关于一元二次方程（，是不为的常数）的根的情况判断正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 方程有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】首先用表示出根的判别式，结合非负数的性质即可作出判断． 【详解】由题可知二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ， 是不为的常数， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根③△＜0⇔方程没有实数根． 6. 若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 7. 九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：设九年级共有x个班，每个班都要赛场， 但两班之间只有一场比赛，一共有场比赛， 故，整理可得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用-比赛问题，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数），进而得出方程是解题关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若，则点M到直线l的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，，该方程有两个相等的实数根，则，设点M到直线l的距离为，则，，由题意知，，、是该方程的两个根，则，由，可得，即，，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，，该方程有两个相等的实数根， ∴， 设点M到直线l的距离为，则，， 当时，，、是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， 解得，， ∴点M到直线l的距离为4， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 9. 已知二次函数，以下结论错误的个数为（　　） ①其图象的开口向上； ②其图象的对称轴为直线； ③其最大值为1； ④当时，y随x的增大而减小； ⑤顶点坐标为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数的最值，解答本题的关键是掌握二次函数的图象性质． 根据二次函数的图象和性质，可以判断各个小题中的结论是否正确即可得出答案． 【详解】解：二次函数， 则， 该函数图象开口向上，故①正确； 其图象的对称轴为直线，故②错误； 当时，函数有最小值1，故③错误； 当时，随增大而减小，故④正确； 顶点坐标为，故⑤错误； ∴错误的有②③⑤，共3个， 故选：C． 10. 、分别是直角梯形两腰、的中点，于点，将沿翻折，与恰好重合，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设与交于点，由于是、的中点，所以根据梯形中位线定理，可知，在中，，是中点，根据相似三角形的性质可知也是中点，利用三角形中位线定理，可知，又由于沿翻折，重合，可知，在根据四边形是矩形，可知，那么就可求出的值． 【详解】解：连接，设与交于点， 、分别是、上的中点， ， ∴， 又是的中点， ∴ ， 又、重合， ，， ， 故选：A． 【点睛】考查综合运用梯形、三角形中位线定理及矩形、相似三角形的判定与性质等相关知识解决问题的能力． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义得出，然后求解即可得出答案．本题考查同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 12. 一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则袋中红色幸运星颗数约为_____颗． 【答案】35 【解析】 【分析】设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图，在中，点E、F分别为边上的点，．若，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，相似三角形判定及性质．根据题意可得，再由相似性质可得，继而利用平行四边形性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：9． 15. 如图，四边形是菱形，点是边上的一动点，过点作于点，于点， (1)四边形的形状是__________． (2)若，，连接，则的最小值为__________． 【答案】 ①. 矩形 ②. 【解析】 【分析】（1）由条件可知判断四边形是矩形； （2）连接，则，当时，的值最小，可由求出的值即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ，， 于点，于点， 四边形是矩形， 故答案为：矩形． （2）连接，则， 当时，的值最小， ，， ∴ ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积；熟练掌握菱形的性质，证明四边形为矩形是解决问题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，二次根式的运算法则，绝对值的意义进行计算，进行计算即可求得答案； （2）先将方程化成一般式，然后运用因式分解法解答即可； 本题考查了实数的运算，解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴或， ∴，． 17. 2023年10月29日西安市迎来了一场激动人心的体育盛会——2023西安马拉松，当日，来自全国各地的参赛选手齐聚永宁门，通过参加比赛感受秀美西安的城市魅力和人文风情，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目． （1）甲恰好参加的是：“半程马拉松”的概率是__________； （2）请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率． 【答案】（1） （2） 将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为A，B， 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种， ∴“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画出树状图是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况总数即可． 【小问1详解】 解：由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是． 【小问2详解】 略 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 【答案】（1） 证明： ， ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，平行四边形的性质和菱形的判定和性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，菱形的性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可得出答案； （2）当，是菱形，即可求出m的值，然后代入原方程，解方程即可得出菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是菱形， ∴， 的两边、的长是已知方程的两个实数根． ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， 此时菱形的边长为． 19. 如图，在矩形中，分别是的中点，连接，若． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由矩形的性质可得，利用余角性质得，进而由相似三角形的判定即可求证； （）由相似三角形的性质可得，进而可得，即得，据此即可求解； 本题考查了矩形的性质，余角性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得， ∴， ∵分别是的中点，且， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，线段AC、BD表示两建筑物的高，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，从B点测得A点的仰角为30°，从B点测得C点的俯角为45°，已知BD＝69米，求两建筑物之间的距离CD与建筑物AC的高．（结果保留根号） 【答案】两建筑物之间的距离CD为69米，建筑物AC的高为（69+23）米 【解析】 【分析】作BE⊥AC，知CE＝BD＝69米，由∠CBE＝45°知CE＝BE＝CD＝69米，根据AE＝BE•tan∠ABE＝23米，得AC＝AE+CE＝69+23（米），从而得出答案． 【详解】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E， 则CE＝BD＝69米， 在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°， ∴CE＝BE＝69米， ∴CD＝BE＝69米， 在Rt△ABE中，∵∠ABE＝30°，tan∠ABE＝， ∴AE＝BE•tan∠ABE＝69×tan30°＝69×＝23（米）， ∴AC＝AE+CE＝69+23（米）， 答：两建筑物之间的距离CD为69米，建筑物AC的高为（69+23）米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21. 某电商店铺销售一种儿童服装，其进价为每件50元，现在的销售单价为每件80元，每周可卖出200件，双十二期间，商家决定降价让利促销，经过市场调查发现，单价每针降低1元，每周可多卖出20件． （1）若想满足每周销售利润为7500元，同时尽可能让利于顾客，则销售单价为多少元？ （2）销售单价应为多少元，该店铺每周销售利润最大？最大销售利润为多少元？ 【答案】（1）销售单价为65元 （2）销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大，最大销售利润为8000元 【解析】 【分析】（1）设销售单价为x元，则每件附中的利润为(x-50)元，每周能卖出(×20+200)件，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于x的方程，求解并作出取舍即可． （2）设该店铺每周销售利润为W元，根据总利润等于每件的利润乘以销售量，列出W关于x的二次函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 设销售单价为x元，由题意得： ， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让利于顾客． ∴不符合题意， ∴． ∴销售单价为65元． 【小问2详解】 设该店铺每周销售利润为W元，由题意得： ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W有最大值，最大值为： （元）， ∴销售单价应为70元，该店铺每周销售利润最大，最大销售利润为8000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，写出的取值范围； （3）当时，二次函数的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴和点坐标，求得点的坐标，然后代入二次函数解析式，求解即可； （2）令求得的值，结合函数图像即可求解； （3）分三种情况，根据最小值为，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点与点关于直线对称，∴点的坐标为， 代入，得：，解得， 所以二次函数的表达式为； 【小问2详解】 当时 ∴， ∵ ∴ 【小问3详解】 若，即，则函数的最小值为， 解得（正值舍去）； 若，即， 则函数的最小值为，解得：（舍去）； 若，则函数的最小值为， 解得（负值舍去）； 综上，的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数与方程和不等式的关系、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用． 23. 综合与实践 【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，，．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为． 【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个矩形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______； （2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，与DN交于点G，求两个矩形重叠部分四边形的面积； 【引申探究】（3）当点落在矩形的对角线MD所在的直线上时，直线与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长． 【答案】（1）菱形，（2）（3） 【解析】 【分析】（1）先证△BFM≌△NFD，可得MF=FD，同理可证ME=ED，再证△BFM≌△AEM，可得ME=MF，即有ME=ED=DF=MF，则可知四边形MEDF是菱形；由AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME，即ED=5-AE=ME，在Rt△AEM中，，即可得，解得：，进而求出ED，则菱形的面积可求； （2）先求出，进而求出，再证明即可求解； （3）分两种情况讨论，第一种当点在线段MD上时，第二种情况当点在DM的延长线上时，两种情况均是先先利用勾股定理求出MD，进而求出，再证明即可求解． 【详解】（1）根据题意有AM=BM=AB=DC=DN=NC=3， ∵在矩形AMND和矩形MBCN′中，∠B=∠N=90°=∠A， ∵∠BFM=∠NFD， ∴△BFM≌△NFD， ∴MF=FD， 同理可证ME=ED， ∵∠AME+∠EMF=∠AMN=90°=∠EMB=∠EMF+∠BMF， ∴∠AME=∠BMF， ∴结合∠B=∠A，AM=MB可得△BFM≌△AEM， ∴ME=MF， ∴ME=ED=DF=MF， ∴四边形MEDF是菱形， ∵AD=AE+ED=5，AM=3，DE=ME， 即ED=5-AE=ME， ∴在Rt△AEM中，， ∴，解得：， ∴ED=5-AE=， ∴菱形MEDF的面积为， 故答案为：菱形，； （2）由折叠得，， ∴在中，． ∴． 由题知， ∴，， ∴， ∴． ∴，即，解得． ∴． （3）如图， 第一种当点在线段MD上时 ∵AD=5，AM=3， ∴在Rt△ADM中，， ∵BC=AD==5， ∴， 根据矩形的性质可知∠AMD=∠MDG，∠A==∠90°， ∴， ∴，即：， 第二种情况当点在DM的延长线上时， 如图： 同理可求得， 综上所述：DG为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $