2.4 三角形的中位线（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学下册同步备课（湘教版）

2.4 三角形的中位线 第2章 四边形 优翼八下数学教学课件（XJ） 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个同学，要求两人所分的大小相同，请 设计合理的解决方案；若平均分给四 个同学，要求他们所分的大小都相 同，请设计合理的解决方案. 情境引入 导入新课 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个同学，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案. 三角形的中位线及其性质 问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? 合作探究 问题2：连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形？ 四个全等的三角形 新课讲授 D 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. A B C E 知识要点 两层含义: ② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的 . ① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ； 中位线 中点 E D A B C 1. 画出△ABC 中所有的中位线. 2. 画出三角形的所有中线，并说出中位线和中线的区别. F 问题3：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 小明的做法：将△ADE 绕点 E 按逆时针方向旋转180° 到 △CFE 的位置（如图），这样就得到了一个与 △ABC 面积相等的平行四边形 DBCF. A D E F C B 猜一猜：三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ A D E F C B DE 和边 BC 的关系 数量关系： 位置关系： 平行 DE 是 BC 的一半 能说出理由吗? 请同学们测量： (1) ∠ADE， ∠ABC 度数； (2) DE，BC 长度. 测量法 已知：如图，在△ABC 中，DE 是 △ABC 的中位线. 求证： DE∥BC， DE = BC. E A B C D F 证明：如图，延长 DE 至 F，使 EF = DE，连接 CF. ∵ AE = CE， ∠AED = ∠CEF， ∴△ADE≌△CFE. ∴AD = CF，∠A = ∠ECF. ∴CF∥AB. 证明法 ∵AD = BD， ∴四边形 DBCF 是平行四边形. ∴BD = CF. E A B C D F ∴DE∥BC， 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于 第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示 D A B C E ∵DE 是 △ABC 的中位线 归纳总结 ∴DE∥BC， 【定理的理解】 (1) 从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理. (2) 从结论看，它既可以得到线段的位置关系(平行)，又可以得到线段的数量关系(倍分关系)，大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用. 1. 如左图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC = 61°，则∠AMN = °，若 MN = 12 ，则 BC = . A M B C N 61 24 练一练 A D B C E 2. 如右图，△ABC 中，D ，E 分别为 AB，AC 的中点，当 BC = 10 cm时，则 DE = cm. 5 A B C E F D 1. 图中有几个全等三角形，你是怎 么知道的？你能证明吗？ 2. 图中有几个平行四边形？你能证明吗？ 深入探究 3. (1) 已知：三角形的各边分别为 6 cm，8 cm，12 cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 ____ cm. 13 (2) 已知：三角形的周长为 64 cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 ____cm. 32 (3) △ABC 的周长为 a， D、E、F分别为△ABC各边中点，△DEF的周长为 ； G、H、I分别为△DEF各边中点，△GHI的周长为 ； C A B D F E G H I 像这样下去，第 3 个三角形的周长为 ； 第 n 个三角形的周长为 . 你发现了什么？ 你还有什么想法？ 4. (1) 如图：D、E、F 分别是△ABC 三边的中点你能发现△DEF 的面积与△ABC 的面积有什么关系吗？为什么？ ● ● ● A B C D E F 　(2) 已知：△ABC 的面积为 S ，连接各边中点得 △A1B1C1，再连接△A1B1C1 各边中点得△A2B2C2 ……， 则(1) 第 1 次连接所得，△A1B1C1 面积＝____； 　(2) 第 2 次连接所得， △A2B2C2 面积＝ ； (3) 第 3 次连接所得， △A3B3C3 面积＝ ； (4) 第 n 次连接所得， △AnBnCn 面积＝ . A C A１ B１ C１ A２ B２ C２ B C3 A3 B3 次数 1 2 3 … n 所得三角形周长 … 所得三角形面积 … 规律总结 3. 如图，已知△ABC 中，AB = 3 cm，BC = 3.4 cm，AC = 4 cm 且 D，E，F 分别为 AC，AB，BC 边的中点，则△DEF 的周长是 cm. A B C D E F 5.2 练一练 4. 如下图：在Rt△ABC 中，∠A = 90°，D、E、F 分别是各边中点，AB = 6 cm，AC = 8 cm，则△DEF 的周长 =______cm ． 12 E F B A C D 典例精析 例1 已知：如图，在四边形 ABCD 中， E，F，G，H 分别为各边的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 分析：将四边形 ABCD 分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明. A B C D E F G H 证明：连接 AC. ∵E，F，G，H 分别为各边的中点， ∴ EF∥HG，EF = HG. ∴EF∥AC， HG∥AC， ∴四边形 EFGH 是平行四边形. A B C D E F G H A B C D E F G H 不变化 你觉得四边形 EFGH 的形状和什么有关？ 变式：若平行四边形 ABCD 变成任意的四边形，其它条件不变，则四边形 EFGH 的形状会变化吗？为什么？ 1. 如图：EF 是△ABC 的中位线，BC = 20，则 EF =________； 10 2. 在△ABC 中，中线 CE、BF 相交点 O，M、N 分别是 OB、OC 的中点，则 EF 和 MN 的关系是_______________. 平行且相等 当堂练习 3. A，B 两村相隔一座大山，你能想办法测出 A，B 两村的直线距离 AB 的大小吗？若 MN = 360 m，则 AB = m. A B C 测出 MN 的长，就可知 A、B 两点的距离. M N 解析：在 AB 外选一点 C，使 C 能直接到达 A 和 B， 连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和BC 的中点 M、N. 720 如果，M、N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ 两次利用中位线，分别取 CM 和 CN 的中点. 4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， D 是斜边 AB 的中点，E 是 BC 的中点. （2）若 AB = 10，DE = 4， 求△ABC 的面积. （1）DE⊥BC 吗？为什么？ A B C D E ∴DE∥BC. 解：∵DE = 4，∴AC = 8. ∵AB = 10，AC = 8，∴BC = 6. 解：∵D、E 分别是 AB、BC 的中点， ∵∠C = 90°，∴∠DEC = 90°. ∴DE⊥BC. 你能看懂吗？ 趣味数学 三角形中位线 定 义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 性质 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 课堂小结 三角形的中位线微课 点击视频 开始播放 → $$还记得三角大铁锹吗？我们继续聊聊三角形。之前我们聊了很多三角形的线，高线、中线、角分线，还有人想到了372线，真是令人欲哭无泪，欲哭无声。三角形又不是包子，真是的。今天继续说说三角形的另一种线，三角形的中位线。中位线是什么线？没错，就是中间位置的线，就是图中连接AB中点与AC中点的线段FD因此你要注意中位线是一条线段，千万记住做人要专一。因此我们今天只研究三角形的中位线，因此就不用满世界游荡了，在三角形里折腾就好了。数学家们为了显示自己的高大上，总是喜欢这样说，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。有心急的同学要问了，中位线都有啥用？其实学中位线，你学了不吃亏，学了不上当，还能瞬间变高大上。那图中三角形ABC的中位线一共几条呢？让咱们来画一画。刚才我们已经连接过AB中点F与AC中点B得到第一条中位线FD。接下来我们找到BC中点E连接BE看又找到一条，最后咱们再连接FE，又来一条，现在已经没法再连了。所以三角形的中位线总共就这三条。三角形它的各种东西都和三有着扯不断理还乱的关系。那这些中位线还和三角形自身有啥关系呢？三角形自身无非就是边和角两部分，先看边，比如FD和BC有啥感觉。冥冥中有种强烈的暗示，平行对不对？还有什么关系呢？平行是位置关系，那长短有没有什么关系呢？并不是相等，这地球人都知道，那大概可能也许是多少呢？一半吗？别猜了让我来直接告诉你。曾经有一个伟大的数学家发现了一个伟大的不能再伟大的定律，三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。这个定理被数学江湖称为三角形中位线定理，这是为啥呢？好吧，今天我就牺牲一下自己的休息时间，给你们证明一下。首先延长FD到G使得FD等于GB。然后连接CG又因为角一和角二是对顶角AB还等于DC能想到什么？边角边三角形ADF和三角形CDG全等没错吧？那全等完了之后，显然是对应边对应角相等呗。因此咱们就得到两个结论，AF和CG相等，角FAD和角GCD相等。接下来你觉得根据这两个相等的角的位置关系又能干点啥呢？哈哈没错，由于CG和AB被AC所截，所以角FAD和角GCD恰好是内错角。既然内错角相等，CGAB就是平行了。刚才我们已经得到AF和CG是相等的，而AF还和BF相等，所以BF和CG就既平行也相等，平行且相等。这不得了了，那四边形FBCG岂不就是平行四边形？哈哈这真是柳暗花明又一村，四处焕发第二春。有了平行四边形的结论，后面那就好办多了。FG平行，那么装备线FD就是平行于BC且等于它的一半了。妈呀，累死我了。什么你不明白？算了，你明不明白我不管，反正我是明白了。有的同学可能心里已经泛起了波澜，本是同根生，相煎何太急。老师你十年、20年、30年前不是学生吗？这个中位线有啥用啊？您费了这么大劲到底是要干嘛？同学，话不能这样说，起码中位线可以揭示线段之间的位置关系和数量关系吧。不仅如此，在关键的时候，他还能拯救国家和民族的命运。万一你是国家主席的材料，因为这个知识没考上高中，对于国家有多大损失？来让咱们继续看看中位线还有哪些好玩的东西。依然还是这个三角形，我们发现它的三条中位线可以围成一新的三角形，对吧？那么问题来了，你觉得这个小三角形的周长和大三角形有什么关系呢？呵呵这个应该不难。小三角形的每一个边长都是大三角形的一半，那么小三角形的周长肯定也是大三角形的一半的。很好，继续周长的关系有了。那面积，细心的你肯定已经发现了，这里不是一个三角形在战斗，而是四个，他们还是全档的，只要调整方向，任意两个都能完全重合，大的三角形被分成四个全等的小三角形，显然小三角形的面积就是大三角形的4分之1了。不仅如此，我们发现任意两个相邻的三角形都能组成一个平行四边形，一共三个，它们的面积居然也是相等的。哈哈神奇吧。至于为啥组成每一个平行四边形的两个小三角形都是等等的，不必多说了吧。显然，因为这些平行四边形的存在，任意两条中位线的夹角都与其所对的三角形的底角相等。这两个角其实就是之前说的三个平行四边形的对角，能不相等吗？另外最容易与中位线混淆的中线，只要与中位线相交，就会无情的被其腰斩。少侠三角形的中位线你是不是略懂了呢？